Bài tập cuối chương VIII

Bài tập cuối chương \(VIII\) trang \(48\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

\(A -\) TRẮC NGHIỆM

Bài \(1\). Một nhóm có \(4\) học sinh, mỗi học sinh chọn một trong ba lớp môn thể thao: bóng đá, bóng rổ và cầu lông. Có bao nhiêu kết quả khác nhau về sự chọn của các học sinh trong nhóm?
\(A.\) \(3^4\);
\(B.\) \(4^3\);
\(C.\) \(3!\);
\(D.\) \(4!\).

Trả lời:

Một học sinh có \(3\) cách chọn lớp thể thao.

Áp dụng quy tắc nhân ta có \(3. 3. 3. 3 = 3^4\) kết quả khác nhau về sự chọn của các học sinh trong nhóm.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). \(90. 91. … 100\) bằng:
\(A.\) \(A_{100}^9\);
\(B.\) \(A_{100}^{10}\);
\(C.\) \(A_{100}^{11}\);
\(D.\) \(A_{100}^{12}\).

Trả lời:

Ta có: \(M = 90. 91. …100 = \displaystyle \frac{1. 2. 3. … 100}{1. 2. 3. …89} = \displaystyle \frac{100!}{89!}\)

\(= \displaystyle \frac{100!}{(100 \ – \ 11)!} = A_{100}^{11}\)

Chọn \(C\).

\(\)

Bài \(3\). Một tập hợp có \(10\) phần tử. Tập hợp này có bao nhiêu tập hợp con có \(3\) phần tử?
\(A.\) \(3!\);
\(B.\) \(10. 9. 8\);
\(C.\) \(10^3\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{10!}{3! 7!}\).

Trả lời:

Số tập hợp con có \(3\) phần tử trong số \(10\) phần tử là tổ hợp chập \(3\) của \(10\) phần tử nên số tập hợp là:

\(C_{10}^3 = \displaystyle \frac{10!}{3!. 7!}\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(4\). Một tập hợp có \(5\) phần tử. Tập hợp này có bao nhiêu tập hợp con có nhiều nhất \(2\) phần tử?
\(A.\) \(1 + C_5^1 + C_5^2\);
\(B.\) \(C_5^0C_5^1C_5^2\);
\(C.\) \(C_5^1C_5^2\);
\(D.\) \(1 + 2! + 3!\).

Trả lời:

Trường hợp \(1\): Có \(1\) tập hợp con có \(0\) phần tử.

Trường hợp \(2\): Số tập hợp con có \(1\) phần tử là tổ hợp chập \(1\) của \(5\) phần tử và bằng \(C_5^1\).

Trường hợp \(3\): Số tập hợp con có \(2\) phần tử là tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử và bằng \(C_5^2\)

Theo quy tắc cộng ta có số tập hợp con có chứa nhiều nhất \(2\) phần tử là:

\(1 + C_5^1 + C_5^2\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(5\). Trong khai triển \((\sqrt{x} \ – \ 2)^5\), hệ số của \((\sqrt{x})^4\) bằng:
\(A.\) \(\ – \ 5\);
\(B.\) \(5\);
\(C.\) \(\ – \ 10\);
\(D.\) \(10\).

Trả lời:

Ta có: \((\sqrt{x} \ – \ 2)^5 = (\sqrt{x})^5 + 5(\sqrt{x})^4. (\ – \ 2) + 10. (\sqrt{x})^3. (\ – \ 2)^2 + 10. (\sqrt{x})^2. (\ – \ 2)^3 + 5. \sqrt{x}. (\ – \ 2)^4 + (\ – \ 2)^5\)

\(= (\sqrt{x})^5 \ – \ 10(\sqrt{x})^4+ 40(\sqrt{x})^3 \ – \ 80 (\sqrt{x})^2 + 80\sqrt{x} \ – \ 32\)

Vậy hệ số của \((\sqrt{x})^4\) là \(\ – \ 10\).

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

\(B -\) TỰ LUẬN

Bài \(1\). Một bài kiểm tra có \(6\) câu hỏi trác nghiệm, mỗi câu có \(4\) phương án chọn. Nếu chọn một cách tuỳ ý một phương án cho mỗi câu hỏi thì có bao nhiêu cách hoàn thành bài kiểm tra?

Trả lời:

Mỗi câu có \(4\) phương án chọn.

Áp dụng quy tắc nhân với \(6\) câu hỏi ta có \(4^6 = 4096\) cách hoàn thành bài kiểm tra.

\(\)

Bài \(2\). Chợ Bến Thành có \(4\) cổng ra vào. Một người đi chợ ở chợ này thì,
\(a)\) có bao nhiêu cách vào và ra chợ?
\(b)\) có bao nhiêu cách vào và ra chợ bằng hai cổng khác nhau?

Trả lời:

\(a)\) Có \(4\) cách chọn cổng để vào chợ và có \(4\) cách chọn cổng để ra chợ.

Áp dụng quy tắc nhân ta có \(4. 4 = 16\) cách vào và ra chợ.

\(b)\) Có \(4\) cách chọn cổng để vào chợ và có \(3\) cách chọn cổng để cổng ra khác với cổng vào.

Áp dụng quy tắc nhân ta có \(4. 3 = 12\) cách vào và ra chợ bằng hai cổng khác nhau.

\(\)

Bài \(3\). Chọn \(3\) cuốn thì \(6\) cuốn sách khác nhau và đưa cho bạn cùng lớp, mỗi bạn \(1\) cuốn. Có bao nhiêu cách thực hiện việc này?

Trả lời:

Chọn \(3\) cuốn từ \(6\) cuốn sách khác nhau và đưa cho \(3\) bạn cùng lớp, mỗi bạn \(1\) cuốn là chỉnh hợp chập \(3\) của \(6\) cuốn sách.

Vậy số cách thực hiện \(A_6^3 = \displaystyle \frac{6!}{3!} = 120\) cách thực hiện.

\(\)

Bài \(4\). Từ một danh sách gồm \(9\) người, người ta bầu ra một uỷ ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch và \(3\) uỷ viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu uỷ ban này?

Trả lời:

Công việc bầu ra uỷ ban bao gồm \(3\) công đoạn:

Chọn \(1\) chủ tịch trong \(9\) người, có \(9\) cách.

Chọn \(1\) phó chủ tịch trong \(8\) người còn lại, có \(8\) cách.

Chọn \(3\) ủy viên trong \(7\) người còn lại, có \(C_7^3 = 35\) cách.

Vậy có tất cả \(9. 8. 35 = 2520\) khả năng có thể về kết quả cầu ủy ban này.

\(\)

Bài \(5\). Trên một trạm quan sát, có sẵn \(4\) là cờ màu khác nhau ( đỏ, xanh, vàng, cam). Mỗi khi muốn báo một tín hiệu, chiến sĩ thông tin lấy \(2\) hoặc \(3\) trong số \(4\) lá cờ đó và cắm thành một hàng trên nóc của trạm. Bao nhiêu tín hiệu khác nhau có thể được tạo ra?

Trả lời:

Trường hợp \(1\): Có \(2\) lá cờ được cắm.

Cách chọn \(2\) lá cờ màu khác nhau và sắp xếp \(2\) lá cờ đó là chỉnh hợp chập \(2\) của \(4\) lá cờ.

Khi đó, có \(A_4^2 = \displaystyle \frac{4!}{2!} = 12\) tín hiệu được tạo ra.

Trường hợp \(2\): Có \(3\) lá cờ được cắm.

Cách chọn \(3\) lá cờ màu khác nhau và sắp xếp \(3\) lá cờ đó là chỉnh hợp chập \(3\) của \(4\) lá cờ.

Khi đó, có \(A_4^3 = \displaystyle \frac{4!}{1!} = 24\) tín hiệu được tạo ra.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(12 + 24 = 36\) tín hiệu khác nhau có thể được tạo ra.

\(\)

Bài \(6\). Giả sử \((2x + 1)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4\). Hãy tính:
\(a)\) \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4\);
\(b)\) \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\).

Trả lời:

Ta có: \((2x + 1)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4\)

\(a)\) Chọn \(x = 1\), ta được:

\(2. 1 + 1)^4 = a_0 + a_1. 1 + a_2. 1^2 + a_3. 1^3 + a_4. 1^4\)

\(\Rightarrow 3^4 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4\)

\(\Rightarrow a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 81\)

\(b)\) Chọn \(x = 0\), ta được:

\(2. 0 + 1)^4 = a_0 + a_1. 0 + a_2. 0^2 + a_3. 0^3 + a_4. 0^4\)

\(\Rightarrow 1^4 = a_0\)

Mặt khác \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 81\)

\(\Rightarrow a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 81 \ – \ a_0 = 81 \ – \ 1 = 80\)

Vậy \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 80\)