Ôn tập chương VII trang 35 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
A CÂU HỎI (Trắc nghiệm)
1. Biểu thức nào sau đây không là đa thức một biến?
A. \(\sqrt{3}\) \(\hspace{3cm}\) B. \(-x\)
C. \(x+\displaystyle\frac{-1}{x}\) \(\hspace{1,5cm}\) D. \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{2}}-1\)
Giải
Chọn đáp án C.
\(\)
2. Cho đa thức \(G(x) = 4x^3 + 2x^2-5x.\) Hệ số cao nhất và hệ số tự do của G(x) lần lượt là:
A. 4 và 0;
B. 0 và 4;
C. 4 và -5;
D. -5 và 4.
Giải
Vì đa thức \(G(x) = 4x^3 + 2x^2-5x\) có hạng tử có bậc cao nhất là \(4x^3,\) bậc 3, nên G(x) có hệ số cao nhất là 4 và hệ số tự do là 0.
Chọn đáp án A.
\(\)
3. Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác đa thức không sao cho tổng f(x) + g(x) khác đa thức không. Khi nào thì bậc của f(x) + g(x) chắc chắn bằng bậc của f(x)?
A. f(x) và g(x) có cùng bậc;
B. f(x) có bậc lớn hơn bậc của g(x);
C. g(x) có bậc lớn hơn bậc của f(x);
D. Không bao giờ.
Giải
Trong mọi trường hợp khi f(x) có bậc lớn hơn bậc của g(x) thì bậc của f(x) + g(x) chắc chắn bằng bậc của f(x).
Chọn đáp án B.
\(\)
4. Cho đa thức \(P(x) = x^2 + 5x-6.\) Khi đó:
A. P(x) chỉ có một nghiệm là \(x = 1\)
B. P(x) không có nghiệm
C. P(x) chỉ có một nghiệm là \(x =-6\)
D. \(x = 1\) và \(x = -6\) là hai nghiệm của P(x)
Giải
Thay \(x = 1\) và \(x =-6\) vào P(x) ta có:
\(P(1) = 1^2 + 5.1-6 = 1 + 5-6 = 0\)
\(P(-6) = (-6)^2 + 5.(-6)-6 = 36-30-6 = 0\)
Do đó \(x = 1\) và \(x = -6\) là hai nghiệm của P(x).
Chọn đáp án D.
\(\)
5. Phép chia đa thức \(2x^5-3x^4+x^3-6x^2\) cho đa thức \(5x^{7-2n}\ (n ∈ \mathbb{N}\) và \(0 ≤ n ≤ 3)\) là phép chia hết nếu
A. n = 0
B. n = 1
C. n = 2
D. n = 3
Giải
Đa thức đã cho chia hết cho \(5x^{7-2n}\) nếu từng hạng tử của nó chia hết cho \(5x^{7-2n},\) nói riêng thì bậc của \(5x^{7-2n}\) nhỏ hơn hoặc bằng bậc nhỏ nhất của đa thức.
Khi đó \(7-2n ≤ 2 ⇔ n ≥ 5^2.\) Chỉ có \(n = 3\) thỏa yêu cầu đề bài.
Chọn đáp án D.
\(\)
B BÀI TẬP
7.34. Thu gọn và sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.
a) \(x^5 + 7x^2-x-2x^5 + 3-5x^2;\)
b) \(4x^3-5x^2 + x-4x^3 + 3x^2-2x + 6.\)
Giải
a) \(x^5 + 7x^2-x-2x^5 + 3-5x^2\)
\(= (x^5-2x^5) + (7x^2-5x^2)-x + 3\)
\(=-x^5 + 2x^2-x + 3.\)
Vì đa thức trên có hạng tử có bậc cao nhất là \(-x^5\) nên đa thức có bậc 5, hệ số cao nhất là -1 và hệ số tự do là 3.
b) \(4x^3-5x^2 + x-4x^3 + 3x^2-2x + 6\)
\(= (4x^3-4x^3) + (-5x^2 + 3x^2) + (x-2x) + 6\)
\(=-2x^2-x + 6.\)
Vì đa thức trên có hạng tử có bậc cao nhất là \(-2x^2\) nên đa thức có bậc 2, hệ số cao nhất là-2, hệ số tự do là 6.
\(\)
7.35. Cho hai đa thức \(f(x) = 4x^4-5x^3 + 3x + 2\) và \(g(x) =-4x^4 + 5x^3 + 7.\) Trong các số -4; -3; 0 và 1, số nào là nghiệm của đa thức \(f(x) + g(x)?\)
Giải
\(f(x) + g(x)\)
\(= (4x^4-5x^3 + 3x + 2) + (-4x^4 + 5x^3 + 7)\)
\(= 4x^4-5x^3 + 3x + 2-4x^4 + 5x^3 + 7\)
\(= (4x^4-4x^4) + (-5x^3 + 5x^3) + 3x + (2 + 7)\)
\(= 3x + 9.\)
\(f(x) + g(x)=0\)
\(\Rightarrow 3x + 9 = 0\)
\(\Rightarrow x = (-9) : 3 =-3.\)
Vậy nghiệm của đa thức \(f(x) + g(x)\) là \(x =-3.\)
\(\)
7.36. Cho hai đa thức \(f(x) =-x^5 + 3x^2 + 4x + 8\) và \(g(x) =-x^5-3x^2 + 4x + 2.\) Chứng minh rằng đa thức \(f(x)-g(x)\) không có nghiệm.
Giải
Ta có \(f(x)-g(x)\)
\(= (-x^5 + 3x^2 + 4x + 8)-(-x^5-3x^2 + 4x + 2)\)
\(=-x^5 + 3x^2 + 4x + 8 + x^5 + 3x^2-4x-2\)
\(= (-x^5 + x^5) + (3x^2 + 3x^2) + (4x-4x) + (8-2)\)
\(= 6x^2 + 6.\)
\(f(x)-g(x) = 6x^2 + 6 ≥ 6\) với mọi \(x\) nên \(f(x)-g(x)\) không có nghiệm.
\(\)
7.37. Cho hai đa thức sau:
\(P(x) = 3x^5-2x^4 + 7x^2 + 3x-10\) và \(Q(x) =-3x^5-x^3-7x^2 + 2x + 10.\)
a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức
S(x) = P(x) + Q(x) và D(x) = P(x) – Q(x).
b) Trong tập hợp {-1; 0; 1}, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức S(x) và D(x).
Giải
a) S(x) = P(x) + Q(x)
\(= (3x^5-2x^4 + 7x^2 + 3x-10) + (-3x^5-x^3\) \(-7x^2 + 2x + 10)\)
\(= 3x^5-2x^4 + 7x^2 + 3x-10-3x^5-x^3-7x^2\) \( + 2x + 10\)
\(= (3x^5-3x^5)-2x^4-x^3 + (7x^2-7x^2)\) \(+ (3x + 2x) + (-10 + 10)\)
\(=-2x^4-x^3 + 5x.\)
\(S(x) =-2x^4-x^3 + 5x\) là đa thức bậc \(4\) với hệ số cao nhất là \(-2\) và hệ số tự do là \(0.\)
D(x) = P(x) – Q(x)
\(= (3x^5-2x^4 + 7x^2 + 3x-10)-(-3x^5-x^3\) \(-7x^2 + 2x + 10)\)
\(= 3x^5-2x^4 + 7x^2 + 3x-10 + 3x^5 + x^3 + 7x^2\) \(-2x-10\)
\(= (3x^5 + 3x^5 )-2x^4 + x^3 + (7x^2 + 7x^2)\) \(+ (3x-2x) + (-10-10)\)
\(= 6x^5-2x^4 + x^3 + 14x^2 + x-20.\)
\(D(x) = 6x^5-2x^4 + x^3 + 14x^2 + x-20\) là đa thức bậc \(5\) với hệ số cao nhất là \(6\) và hệ số tự do là \(-20.\)
b)
\(S(-1) =-2.(- 1)^4-(-1)^3 + 5.(-1) =-6 ≠ 0\)
\(S(0) =-2.0^4-0^3 + 5.0 = 0.\)
\(S(1) =-2.1^4-1^3 + 5.1 = 2 ≠ 0\)
Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức S(x).
D(–1) = 6.(–1)5 – 2.(–1)4 + (–1)3 + 14.(–1)2 + (–1) – 20 = – 6 – 2 – 1 + 14 – 1 – 20 = –16 ≠ 0.
D(0) = 6.05 – 2.04 + 03 + 14.02 + 0 – 20 = –20 ≠ 0
D(1) = 6.15 – 2.14 + 13 + 14.12 + 1 – 20 = 6 – 2 + 1 + 14 + 1 – 20 = 0
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).
\(\)
7.38. Biết rằng đa thức \(f(x) = x^4 + px^3-2x^2 + 1\) có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng \(p = 0.\)
Giải
Gọi hai nghiệm đối nhau của f(x) là \(a\) và \(-a\ (a ≠ 0).\) Khi đó ta có:
\(f(a) = a^4 + pa^3-2a^2 + 1 = 0 = f(- a)\) \(= (- a)^4 + p(-a)^3-2(-a)^2 + 1\)
Suy ra: \(a^4 + pa^3-2a^2 + 1 = a^4-pa^3-2a^2 + 1.\)
Thu gọn ta được \(pa^3 =-pa^3,\) suy ra \(2pa^3 = 0.\) Do \(a ≠ 0\) nên từ đẳng thức này suy ra \(p = 0.\)
\(\)
7.39. Thực hiện các phép tính sau:
a) \((5x^3-2x^2 + 4x-4)(3x^2 + x-1);\)
b) \((9x^5-6x^3 + 18x^2-35x-42) : ( 3x^3\) \(+ 5x + 6);\)
c) \([(6x^3-5x^2-8x+5)-(4x^2-6x+2)\) \(: (2x-3).\)
Giải
a) \((5x^3-2x^2 + 4x-4)(3x^2 + x-1)\)
\(= 3x^2(5x^3-2x^2 + 4x-4) + x(5x^3-2x^2 + 4x\) \(-4)-1(5x^3-2x^2 + 4x-4)\)
\(= 15x^5-6x^4 + 12x^3-12x^2 + 5x^4-2x^3 + 4x^2\) \(-4x-5x^3 + 2x^2-4x + 4\)
\(= 15x^5 + (-6x^4 + 5x^4) + (12x^3-2x^3-5x^3)\) \(+ (-12x^2 + 4x^2 + 2x^2)+ (-4x- 4x) + 4\)
\(= 15x^5-x^4 + 5x^3-6x^2-8x + 4.\)
b) \((9x^5-6x^3 + 18x^2-35x-42) : ( 3x^2\) \(+ 5x + 6)\)
Vậy \((9x^5-6x^3 + 18x^2-35x-42) : ( 3x^2\) \(+ 5x + 6)=3x^2-7.\)
c) \([(6x^3-5x^2-8x+5)-(4x^2-6x+2)]\) \(: (2x-3)\)
Vế trái: \((6x^3-5x^2-8x + 5)-(4x^2-6x + 2)\)
\(= 6x^3-5x^2-8x + 5-4x^2 + 6x-2\)
\(= 6x^3 + (-5x^2-4x^2) + (-8x + 6x) + (5-2)\)
\(= 6x^3-9x^2-2x + 3.\)
\(\)
7.40. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = (x-1)(x + 2)(x-3)-(x + 1)\)\((x-2)(x + 3);\)
b) \(B = (x-1)(x + 1)( x^2 + 1)(x^4 +1)-x^8.\)
Giải
a) \(A = (x-1)(x + 2)(x-3)-(x + 1)\)\((x-2)(x + 3)\)
Ta có: \((x-1)(x + 2)(x-3)\)
\(= (x^2 + 2x-x-2)(x-3)\)
\(= (x^2 + x-2)(x-3)\)
\(= x^3 + x^2-2x-3x^2-3x + 6\)
\(= x^3 + (x^2-3x^2) + (-2x-3x) + 6\)
\(= x^3-2x^2-5x + 6.\)
\((x + 1)(x-2)(x + 3)\)
\(= (x^2-2x + x-2)(x + 3)\)
\(= (x^2-x-2)(x + 3)\)
\(= x(x^2-x-2) + 3(x^2-x-2)\)
\(= x^3-x^2-2x + 3x^2-3x-6\)
\(= x^3 + (-x^2 + 3x^2) + (-2x-3x)-6\)
\(= x^3 + 2x^2-5x-6.\)
Khi đó: \(A = (x-1)(x + 2)(x-3)-(x + 1)\)\((x-2)(x + 3)\)
\(= (x^3-2x^2-5x + 6)-(x^3 + 2x^2-5x-6)\)
\(= x^3-2x^2-5x + 6-x^3-2x^2 + 5x + 6\)
\(= (x^3-x^3) + (-2x^2-2x^2) + (-5x + 5x)\) \(+ (6 + 6)\)
\(=-4x^2 + 12.\)
b) \(B = (x-1)(x + 1)( x^2 + 1)(x^4 +1)-x^8\)
Với X là một biểu thức tùy ý, ta có:
\((X-1)(X + 1) = X^2-X + X-1\) hay \((X-1)(X + 1) = X^2-1\) (1)
Từ đó, ta có:
\((x-1)(x + 1)\) (áp dụng (1) với \(X = x\))
\((x^2-1)(x^2 + 1) = (x^2)2-1 = x^4-1\) (áp dụng (1) với \(X = x^2\));
\((x^4-1)(x^4 + 1) = (x^4)2-1 = x^8-1\) (áp dụng (1) với \(X = x^4\)).
Sử dụng các kết quả trên, ta được:
\((x-1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)
\(= [(x-1)(x+1)] (x^2 +1)(x^4 + 1)\)
\(= (x^2-1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)
\(= [(x^2-1)(x^2+1)] (x^4 + 1)\)
\(= (x^4-1)(x^4 + 1)\)
\(= x^8-1.\)
Vậy \(B = (x-1)(x + 1)( x^2 + 1)(x^4 +1)-x^8\) \(= x^8-1-x^8 =-1.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 28: Phép chia đa thức một biến
Xem bài giải tiếp theo: Bài 29: Làm quen với biến cố
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
