Ôn tập chương II trang 33 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
A CÂU HỎI (TRẮC NGHIỆM)
Tìm câu trả lời đúng trong các đáp án đã cho.
1. Số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
A. \(\displaystyle\frac{27}{512};\) \(\hspace{2cm}\) B. \(\displaystyle\frac{33}{528};\)
C. \(\displaystyle\frac{31}{528};\) \(\hspace{2cm}\) D. \(\displaystyle\frac{25}{512}.\)
Giải
Ta có \(512=2^9\), phân số trong A và D được viết thành số thập phân hữu hạn.
\(\displaystyle\frac{33}{528}=\displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}\), phân số này cũng viết thành số thập phân hữu hạn.
Mặt khác 528 chia hết cho 3 (tổng các chữ số bằng 15 chia hết cho 3), mẫu có ước nguyên tố là 3 (khác 2 và 5) viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn
Chọn đáp án C.
2. Số 3,(5) viết được thành phân số nào sau đây?
A. \(\displaystyle\frac{41}{11};\) \(\hspace{2cm}\) B. \(\displaystyle\frac{32}{9};\)
C. \(\displaystyle\frac{42}{11};\) \(\hspace{2cm}\) D. \(\displaystyle\frac{31}{9}.\)
Giải
\(3,(5)=3+0.(5)=3+5\ .\ 0,(1)\)
\(=3+5.\displaystyle\frac{1}{9}=3+\displaystyle\frac{5}{9}=\displaystyle\frac{32}{9}.\)
Chọn đáp án B.
\(\)
3. Số nào dưới đây là bình phương của một số hữu tỉ?
A. 17;
B. 153;
C. 15,21;
D. 0,10100100010000… (viết liên tiếp sau dấu phẩy các lũy thừa của 10: 1010010001000…)
Giải
Ta đã biết, căn bậc hai số học của các số tự nhiên không chính phương đều là số vô tỉ nên \(17\) không phải là bình phương của một số hữu tỉ.
Mặt khác vì \(153 = 17.9\) nên nếu \(153\) là bình phương của số hữu tỉ x thì \(17.9 = x^2\), nên \(17 = \left(\displaystyle\frac{x}{3}\right)^2\) suy ra \(17\) là bình phương của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{x}{3}\) (vô lí).
Do đó A và B đều sai. Mặt khác, nếu \(0,101001000…\) là bình phương của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{p}{q}\) thì \(0,101001000… = \displaystyle\frac{p}{q}.\displaystyle\frac{p}{q}\). Suy ra \(0,101001000…\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn, điều này là vô lí.
Do đó D cũng sai.
Dễ thấy \(15,21\) xấp xỉ \(4^2\), Ta thử \(3,9^2\) đúng bằng \(15,21.\) Vì vậy \(15,21 = 3,9^2.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{x^2+16}-8\) là:
A. \(-4\); \(\hspace{2cm}\) B. \(8\);
C. \(0\); \(\hspace{2,2cm}\) D. \(-8\).
Giải
Ta có \(x^2 \geq 0\) nên \(x^2 +16 \geq 16\), do đó:
\(\sqrt{x^2+16}-8 \geq \sqrt{16}-8\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+16}-8 \geq -4\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(-4.\) Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
5. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2-4\sqrt{x-5}\) là:
A. \(-2\); \(\hspace{2cm}\) B. \(2-4\sqrt{5}\);
C. \(2\); \(\hspace{2,2cm}\) D. \(2-4\sqrt{5}\).
Giải
\(\sqrt{x-5} \geq 0\) Với mọi \(x ≥ 5\) nên \(-\sqrt{x-5} \leq 0\), do đó \(2-4\sqrt{x-5} \leq 2-4.0=2.\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 đạt được khi x = 5.
Chọn đáp án C.
\(\)
6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ;
B. Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ;
C. Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ;
D. Thương của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
Giải
A. Sai vì tích của hai số vô tỉ \(\sqrt{2}.\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\) là số hữu tỉ.
B. Sai vì tổng của hai số vô tỉ \(\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)=0\) là số hữu tỉ.
C. Đúng vì tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.
D. Sai vì \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ nhưng \(\sqrt{2}:\sqrt{2} = 1\) là số hữu tỉ.
\(\)
7. Với mọi số thực \(x\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(|x|=x\); \(\hspace{2cm}\) B. \(|x|≥-x\);
C. \(|x^2|=x^2\); \(\hspace{1,5cm}\) D. \(||x||=x\).
Giải
Ta có \(|x|=\left\{ \begin{matrix} x, \ \ (x \geq 0) \\ \ -x, \ \ (x < 0) \end{matrix} \right.\) nên A, B và C đúng. D sai với mọi x < 0.
Chọn đáp án D.
\(\)
8. Cho x, y là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. |x – y| = x – y;
B. | x – y| = |x| – |y|;
C. |x + y| = |x| + |y|;
D. |x + y| = |x| – |y| nếu x > 0 > y và |x| ≥ |y|.
Giải
A. Sai, khi x < y
B. Sai, nếu x = 0 và y khác 0
C. Sai, chẳng hạn khi x = -y và y khác 0
D. Đúng, theo quy tắc cộng hai số trái dấu.
Chọn đáp án D.
\(\)
B BÀI TẬP
2.37. Bằng cách ước lượng tích, giải thích vì sao kết quả phép nhân sau đây là sai:
\(\hspace{2cm} 6,238\ .\ 3,91 = 21,390558.\)
Giải
Ước lượng hai thừa số của tích xấp xỉ \(6\) và \(4\) nên ta ước lượng \(6,238\ .\ 3,91 \approx 24,\) do đó phép tính trên không đúng.
Đặt tính ta thấy tích đúng là \(9,238\ .\ 3,91=23,39058.\)
2.38. Giải thích vì sao kết quả phép tính: \(28,1\ .\ 1,(8) = 55, 0(7)\) không đúng.
Giải
Ước lượng thừa số thứ hai là \(2\) nên tích đã cho xấp xỉ bằng \(56,2.\)
Kết quả \(55,0(7)\) khác xa với \(56,2\) nên phép tính trên sai.
Có thể tính giá trị đúng của tích trên như sau:
Vì \(0,(1)=\displaystyle\frac{1}{9}\) nên \(1,(8)=1+\displaystyle\frac{8}{9}=\displaystyle\frac{17}{9}.\)
Do đó \(28,1\ .\ 1,(8)=28,1.\displaystyle\frac{17}{9}=53,0(7).\)
\(\)
2.39. Chứng tỏ rằng \(0,(3)^2 = 0, (1).\)
Giải
Ta có \(0,3=3.0,(1)=3.\displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)
Do đó \(0,(3)^2=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{9}=0,(1).\)
Vậy \(0,(3)^2 = 0, (1).\)
\(\)
2.40. Viết số 0,1(235) dưới dạng phân số.
Giải
Ta có: \(0,1(235) = 1, (235) : 10 = [1 + 0,(235)] : 10\)
Đặt \(x = 0,(235)\) thì \(1000x = 235,(235) = 235 + x,\) suy ra \(999x = 235\) nên \(x =\displaystyle\frac{235}{999}.\)
Do đó \(0,1(235) = \left(1+\displaystyle\frac{235}{999}\right):10=\displaystyle\frac{1234}{9990}.\)
\(\)
2.41. Tính và làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn: 2,25-2,(3).
Giải
Ta có \(2,25-2,(3) = (2 + 0,25)-(2 + 0,(3))\)
\(= 2 + 0,25-2-0,(3) = 0,25-0,(3).\)
\(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{3}{12}-\displaystyle\frac{4}{12}=\displaystyle\frac{-1}{12}.\)
Đặt tính chia ta được \(\displaystyle\frac{-1}{12}=-0,08333\ldots\)
Ta làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn ta được \(2,25-2,(3)=-0,083.\)
\(\)
2.42. So sánh \(a = 1,0(10)\) và \(b = 1,(01).\)
Giải
Đặt \(x = 0,0(10)\) và \(y = 0,(01).\)
Ta thấy \(1000x = 10,(10) = 10 + 0,(10) = 10 + 10x\) nên \(990x = 10.\) Suy ra \(x =\displaystyle\frac{10}{990}=\displaystyle\frac{1}{99}.\)
Tương tự, \(100y = 1,(01) = 1 + y\) nên \(99y = 1\). Suy ra \(y =\displaystyle\frac{1}{99}.\)
Do đó \(x = y =\displaystyle\frac{1}{99}.\)
Suy ra \(a = b.\)
\(\)
2.43. Không dùng máy tính, hãy cho biết số \(\sqrt{555555}\) là số hữu tỉ hay vô tỉ.
Giải
Số \(a = 555\ 555\) có tổng các chữ số bằng \(30\) và \(30\) chia \(9\) dư \(3\) nên a chia \(9\) dư \(3\). Nếu \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì a phải là số chính phương, tức là \(a = n^2\ (n ∈ \mathbb{N}).\) Các số chính phương đầu tiên là \(0;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49;\ 64;\ 81;\ 100;\ 121;\ 144;\ 169…\) Khi ta chia các số này cho \(9\) ta thấy các số dư lần lượt là \(0;\ 4;\ 0;\ 7;\ 7;\ 1;\ 0;\ 4;\ 0;\ 7;…\) Các số dư tuần hoàn với chu kỳ là \(0;\ 4;\ 0;\ 7;\ 7;\ 1.\) Như vậy các số chính phương khi chia cho \(9\) không bao giờ có dư \(3\). Từ đó, \(a= 555\ 555\) không phải số chính phương nên \(\sqrt{555\ 555}\) là số vô tỉ.
2.44. Không dùng máy tính, hãy cho biết số \(\sqrt{\underbrace{11…1}_{101\ \text{chữ số}\ 1}}\) là số hữu tỉ hay vô tỉ. Giải thích.
Giải
Chú ý rằng \(\underbrace{11…1}_{101\ \text{chữ số}\ 1}\) có tổng các chữ số bằng 101 và 101 chia 3 dư 2 nên số \(\underbrace{11…1}_{101\ \text{chữ số}\ 1}\) chia 3 dư 2.
Mặt khác, bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1, do đó số \(\underbrace{11…1}_{101\ \text{chữ số}\ 1}\) không phải số chính phương.
Vì vậy \(\sqrt{\underbrace{11…1}_{101\ \text{chữ số}\ 1}}\) là số vô tỉ.
\(\)
2.45. Giả sử x, y là hai số thực đã cho. Biết |x| = a và |y| = b. Tính |xy| theo a và b.
Giải
+ Nếu \(x,\ y ≥ 0\) thì \(xy ≥0\) và \(x = |x| = a;\) \(y = |y| = b;\) \(|xy| = xy = ab.\)
Do đó \(|xy| = ab.\)
+ Nếu \(x,\ y < 0\) thì \(xy > 0\) và \(x = -|x| = -a;\) \(y = -|y| = -b;\) \(|xy| = (-a).(-b) = ab.\)
Do đó \(|xy| = ab.\)
+ Nếu \(x,\ y\) trái dấu, ví dụ \(x > 0\) và \(y < 0\) thì \(x.y < 0\)
Nên \(|xy| = -xy = (-a).(-b) = ab.\)
Vậy trong mọi trường hợp, nếu \(|x|=a;\ |y|=b\) thì \(|xy|=ab.\)
Chú ý: Kết quả trên cho ta quy tắc xác định giá trị tuyệt đối của một tích |xy|=|x|.|y|. Kết hợp trên cho ta quy tắc xác định dấu của một tích, ta có quy tắc nhân hai số thực sau đây:
Muốn nhân hai số thực ta nhân các giá trị tuyệt đối của chúng, đặt dấu “+” hay dấu “-“ trước kết quả tuỳ theo hai số đó cùng dấu hay khác dấu.
\(\)
2.46. Sử dụng tính chất \(|a + b| ≤|a| + |b|\) (Bài tập 2.36), giải thích vì sao không có số thực x nào thỏa mãn \(|x-1| + |x-3| = \sqrt{2}.\)
Giải
Ta có: \(|x-1| + | x-3| = |x-1| + |3-x|\) \(≥ |(x-1) + (3-x)|\) \(= |x-1 + 3-x| = |2| = 2>\sqrt{2}\)
Nên không có số thực nào thỏa mãn \(|x-1| + |x-3| = \sqrt{2}.\)
\(\)
2.47. Chứng minh rằng \(|x| + |x-2| + |x-4| ≥ 4\) đúng với mọi số thực x.
Giải
Ta có: \(|x-2| ≥ 0;\) \(|x | + |x-4| = |x| + |4-x|\) \(≥ |x + 4-x| = 4.\)
Suy ra \(|x| + |x-2| + |x-4| ≥ 4.\)
\(\)
2.48. Tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương là số hữu tỉ hay vô tỉ? Hãy giải thích tại sao có vô số số vô tỉ.
Giải
Giả sử x là một số vô tỉ và n là một số nguyên dương. Nếu tích nx là số hữu tỉ thì \(x = \displaystyle\frac{nx}{n}\) là số hữu tỉ (thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ), trái với giả thiết x là số vô tỉ. Vậy nx phải là số vô tỉ.
Như vậy, \(\sqrt{2};\ 2\sqrt{2};\ 3\sqrt{2};\ldots\) đều là số vô tỉ, do đó có vô số số vô tỉ.
\(\)
2.49. Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng, kết luận nào sai?
a) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
b) Tổng của hai số vô tỉ dương là một số vô tỉ.
c) Tổng của hai số vô tỉ âm là một số vô tỉ.
Giải
Cả 3 kết luận trên đều sai, chẳng hạn
a) Ta có \(\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{2}-5\) là hai số vô tỉ có tổng bằng \(-5\) là số hữu tỉ.
b) Ta có \(\sqrt{3}\) và \(9-\sqrt{3}\) là hai số vô tỉ dương, có tổng bằng \(9\) là số hữu tỉ.
c) Ta có \(-\sqrt{5}\) và \(\sqrt{5}-8\) là hai số vô tỉ âm, có tổng bằng \(-8\) là số hữu tỉ.
\(\)
2.50. Cho một hình vuông có cạnh bằng 5 đơn vị và cho 76 điểm nằm bên trong hình vuông đó. Chứng tỏ rằng có một hình tròn với bán kính bằng \(\displaystyle\frac{3}{4}\) đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho.
Giải
Chia hình vuông đã cho thành \(25\) hình vuông nhỏ có cạnh bằng \(1\). Nếu trong mỗi hình vuôn nhỏ có không quá ba điểm (trong số các điểm đã cho) thì trong hình vuông lớn có không quá \(25.3 = 75\) (điểm), trái với giả thiết trong hình vuông lớn có \(76\) điểm. Như vậy, có ít nhất một hình vuông nhỏ (cạnh bằng \(1\)) chưa bốn điểm (trong các điểm đã cho). Hình tròn với đường kính là đường chéo của hình vuông nhỏ này chứa toàn bộ hình vuông nhỏ và có bán kính \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}<\displaystyle\frac{3}{4}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 7: Tập hợp các số thực
Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
