Bài tập cuối chương VI

Bài tập cuối chương VI trang 55 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

50. Giá trị của biểu thức \((x^2-8)(x + 3)-(x-2)(x + 5)\) tại \(x = 3\) là:

A. \(-2.\)

B. \(16.\)

C. \(-10.\)

D. \(10.\)

Giải

Tại \(x = 3\) giá trị biểu thức \((x^2-8)(x + 3)-(x-2)(x + 5)\) là:

\((3^2-8)(3 + 3)-(3-2)(3 + 5) = 1 . 6-1 . 8 = -2.\)

Chọn đáp án A.

\(\)

51. Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) \(-2\ 022x.\)

b) \(-6x^2-4x + 2.\)

c) \(3u^n-8u^2-20\ (n ∈ ℕ,\ n > 2).\)

d) \(\displaystyle\frac{1}{x}+x^3-2x^2+1.\)

Giải

a) \(-2\ 022x\) là đa thức một biến \(x\) có bậc là \(1.\)

b) \(-6x^2-4x + 2\) là đa thức một biến \(x\) có bậc là \(2.\)

c) \(3u^n-8u^2-20\ (n ∈ ℕ,\ n > 2)\) là đa thức một biến \(u\) có bậc là \(n\) \((n ∈ ℕ,\ n > 2).\)

d) \(\displaystyle\frac{1}{x}+x^3-2x^2+1\) không phải là đa thức một biến \(x.\)

\(\)

52. Tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = 56-5a + 6b\) tại \(a = 22,\ b = 23;\)

b) \(B = 6xyz-3xy-19z\) tại \(x = 11,\ y = 32,\ z = 0;\)

c) \(C = x^{2021}y-2\ 022x^2 + 2\ 023y^3 + 7\) tại \(x =-1\) và \(y = 1;\)

d) \(D = x^4-17x^3 + 17x^2-17x + 21\) tại \(x = 16.\)

Giải

a) Thay \(a = 22,\ b = 23\) vào \(A = 56-5a + 6b\) ta có:

\(A = 56-5 . 22 + 6 . 23 = 56-110 + 138 = 84.\)

b) Thay \(x = 11,\ y = 32,\ z = 0\) vào \(B = 6xyz-3xy-19z\) ta có:

\(B = 6 . 11 . 32 . 0-3 . 11 . 32-19 . 0 = -1\ 056.\)

c) Thay \(x = -1\) và \(y = 1\) vào \(C = x^{2021}y-2 022x^2 + 2 023y^3 + 7\) ta có:

\(C = (-1)^{2021} . 1-2\ 022 . (-1)^2 + 2\ 023 . 13 + 7 = 7.\)

d) Với \(x = 16\) ta có \(x + 1 = 17.\)

Khi đó ta có:

\(D = x^4-17x^3 + 17x^2-17x + 21\)

\(= x^4-(x + 1) . x^3 + (x + 1) . x^2-(x + 1) . x + 21\)

\(= x^4-x^4-x^3 + x^3 + x^2-x^2-x + 21\)

\(=-x + 21.\)

Thay \(x = 16\) vào \(D =-x + 21\) ta có:

\(D =-16 + 21 = 5.\)

\(\)

53. Một bể đang chứa 500 l nước. Người ta mở một vòi nước cho chảy vào bể đó, mỗi phút vòi nước đó chảy vào bể được 50 l nước. Viết biểu thức biểu thị lượng nước có trong bể sau khi đã mở vòi nước đó được x phút, biết rằng sau x phút bể nước đó chưa đầy.

Giải

Mỗi phút vòi nước đó chảy vào bể được 50 l nước thì sau x phút vòi nước đó chảy vào bể được 50x (l nước).

Bể đang chứa 500 l nước, chảy thêm được 50x (l nước) thì sau x phút, lượng nước trong bể có là 500 + 50x (l nước).

\(\)

54. Viết đa thức biến x trong mỗi trường hợp sau:

a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng -7 và hệ số tự do bằng 0.

b) Đa thức bậc ba có hệ số của lũy thừa bậc hai và bậc nhất của biến đều bằng 5.

c) Đa thức bậc bốn có tổng hệ số của lũy thừa bậc ba và bậc hai của biến bằng 6 và hệ số tự do bằng -1.

d) Đa thức bậc tám trong đó tất cả các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0.

Giải

a) Đa thức bậc nhất biến \(x\) có dạng \(ax + b\ (a ≠ 0).\)

Hệ số của biến bằng \(-7\) nên \(a = -7;\) hệ số tự do bằng \(0\) nên \(b = 0.\)

Vậy đa thức cần tìm là \(-7x.\)

b) Đa thức bậc ba biến \(x\) có dạng \(ax^3 + bx^2 + cx + d\ (a ≠ 0).\)

Hệ số của lũy thừa bậc hai và bậc nhất của biến đều bằng 5 nên \(b=c = 5;\)

Vậy đa thức biến \(x\) cần tìm là \(ax^3 + 5x^2 + 5x + d\ (a ≠ 0).\)

c) Đa thức bậc bốn biến \(x\) có dạng \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\ (a ≠ 0).\)

Tổng hệ số của lũy thừa bậc ba và bậc hai của biến bằng \(6\) nên \(b + c = 6 \Rightarrow c = 6-b.\)

Hệ số tự do bằng \(-1\) nên \(e =-1.\)

Vậy đa thức biến \(x\) cần tìm là \(ax^4 + bx^3 + (6-b)x^2 + dx-1\ (a ≠ 0).\)

d) Đa thức bậc tám biến \(x\) trong đó tất cả các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng \(0\) là: \(ax^8 + bx^6 + cx^4 + dx^2 + e\ (a ≠ 0).\)

\(\)

55*. Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc ba theo biến \(x:\)

\(P(x) = (m^2-25)x^4 + (20 + 4m)x^3 +17x^2-23.\)

Giải

Để đa thức \(P(x)\) là đa thức bậc ba theo biến \(x\) thì

\(m^2-25 = 0\) (1) và \(20 + 4m ≠ 0\) (2)

• \(m^2-25 = 0\)

\(m^2 = 25\)

\(m = ±5.\)

• \(20 + 4m ≠ 0\)

\(4m ≠ -20\)

\(m ≠ -5\)

Vậy \(m = 5\) thì đa thức \(P(x)\) đã cho là đa thức bậc ba.

\(\)

56. Cho đa thức \(A(x) =-11x^5 + 4x^3-12x^2 + 11x^5 + 13x^2-7x + 2.\)

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A(x)\) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức \(A(x).\)

c) Tính giá trị của đa thức \(A(x)\) tại \(x = -1;\ x = 0;\ x = 2.\)

Giải

a) \(A(x) =-11x^5 + 4x^3-12x^2 + 11x^5 + 13x^2-7x + 2\)

\(= (- 11x^5 + 11x^5) + 4x^3 + (- 12x^2 + 13x^2)-7x + 2\)

\(= 4x^3 + x^2-7x + 2.\)

b) Đa thức \(A(x) \)có bậc là \(3\) do số mũ lớn nhất của biến \(x\) là \(3.\)

c) \(A(-1) = 4 . (-1)^3 + (-1)^2-7 . (-1) + 2\)

\(= -4 + 1 + 7 + 2 = 6.\)

\(A(0) = 4 . 0^3 + 0^2-7 . 0 + 2\)

\(= 0 + 0-0 + 2 = 2.\)

\(A(2) = 4 . 2^3 + 2^2-7 . 2 + 2\)

\(= 32 + 4-14 + 2 = 24.\)

\(\)

57. Tính:

a) \((-4x^3-13x^2 + 2x^5) + (13x^2 + 2x^3-12x-1);\)

b) \((12x^6-11x^2 + 3x^3 + 9)-(13x^6 + 2x^3-11x^2-11x);\)

c) \((8x^3-x^2 + 1)(x^2-1);\)

d) \((8x^3 + 6x^2 + 3x + 1) : (2x + 1).\)

Giải

a) \((-4x^3-13x^2 + 2x^5) + (13x^2 + 2x^3-12x-1)\)

\(=-4x^3-13x^2 + 2x^5 + 13x^2 + 2x^3-12x-1\)

\(= 2x^5-2x^3-12x-1.\)

b) \((12x^6-11x^2 + 3x^3 + 9)-(13x^6 + 2x^3-11x^2-11x)\)

\(= 12x^6-11x^2 + 3x^3 + 9-13x^6-2x^3 + 11x^2 + 11x\)

\(=-x^6 + x^3 + 11x + 9.\)

c) \((8x^3-x^2 + 1)(x^2-1)\)

\(= 8x^5-8x^3-x^4 + x^2 + x^2-1\)

\(= 8x^5-x^4-8x^3 + 2x^2-1.\)

d) \((8x^3 + 6x^2 + 3x + 1) : (2x + 1)\)

Thực hiện phép chia đa thức như sau:

\(\)

58. Tìm đa thức \(C(x)\) sao cho \(A(x)-C(x) = B(x),\) biết:

a) \(A(x) = x^3 + x^2 + x-2,\) \(B(x) = 9-2x + 11x^3 + x^4.\)

b) \(A(x) =-12x^5 + 2x^3-2,\) \(B(x) = 9-2x-11x^2 + 2x^3-11x^5.\)

Giải

Ta có \(A(x)-C(x) = B(x)\)

\(C(x) = A(x)-B(x)\)

a) \(C(x) = (x^3 + x^2 + x-2)-(9-2x + 11x^3 + x^4)\)

\(= x^3 + x^2 + x-2-9 + 2x-11x^3-x^4\)

\(=-x^4 + (x^3-11x^3) + x^2 + (x + 2x)-2-9\)

\(=-x^4-10x^3 + x^2 + 3x-11.\)

b) \(C(x) = (-12x^5 + 2x^3-2)-(9-2x-11x^2 + 2x^3-11x^5)\)

\(=-12x^5 + 2x^3-2-9 + 2x + 11x^2-2x^3 + 11x^5\)

\(= (-12x^5 + 11x^5) + (2x^3-2x^3) + 11x^2 + 2x-2-9\)

\(=-x^5 + 11x^2 + 2x-11.\)

\(\)

59. Tìm đa thức \(Q(x)\) sao cho \(P(x).Q(x) = R(x),\) biết:

a) \(P(x) = x-2,\ R(x) = -x^3 + 8;\)

b) \(P(x) = x^2-3x + 2,\) \(R(x) = 10-13x + 2x^2 + x^3.\)

Giải

Ta có \(P(x).Q(x) = R(x)\)

\(Q(x) = R(x) : P(x).\)

a) \(Q(x) = (-x^3 + 8) : (x-2)\)

Thực hiện phép tính chia đa thức như sau:

Khi đó \(Q(x) = (-x^3 + 8) : (x-2) =-x^2-2x-4.\)

b) \(Q(x) = (10-13x + 2x^2 + x^3) : (x^2-3x + 2)\)

\(= (x^3 + 2x^2-13x + 10) : (x^2-3x + 2)\)

\(= x + 5.\)

Vậy \(Q(x) = (x^3 + 2x^2-13x + 10) : (x^2-3x + 2) = x + 5.\)

\(\)

60. Tìm hệ số \(a\) sao cho đa thức \(G(x) = x^4 + x^2 + a\) chia hết cho đa thức \(M(x) = x^2-x + 1.\)

Giải

Do đó \(G(x) : M(x) = x^2 + x + 1\) và dư \(a-1.\)

Như vậy đa thức \(G(x)\) chia hết cho đa thức \(M(x)\) khi \(a-1 = 0,\) hay \(a = 1.\)

Vậy \(a = 1\) thì đa thức \(G(x) = x^4 + x^2 + a\) chia hết cho đa thức \(M(x) = x^2-x + 1.\)

\(\)

61. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) \(x = 2\) và \(x =-3\) là nghiệm của đa thức \(P(x) = x^2-5x + 6.\)

b) Đa thức bậc bốn luôn có nhiều hơn bốn nghiệm.

c) Mỗi phần tử của tập hợp \(\{0;\ 1;\ -1\}\) là nghiệm của đa thức \(P(x) = x^3-x.\)

Giải

a) \(P(2) = 2^2-5 . 2 + 6 = 4-10 + 6 = 0.\)

Do đó \(x = 2\) là một nghiệm của đa thức P(x).

\(P(-3) = (-3)^2-5 . (-3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30.\)

Do đó \(x =-3\) không là nghiệm của đa thức P(x).

Vậy phát biểu a) là sai.

b) Đa thức bậc bốn có nhiều nhất là bốn nghiệm. Do đó phát biểu b) là sai.

c) \(P(0) = 0^3-0 = 0.\)

Do đó \(x = 0\) là một nghiệm của đa thức \(P(x).\)

\(P(1) = 1^3-1 = 0.\)

Do đó \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức \(P(x).\)

\(P(-1) = (-1)^3-(-1) = -1 + 1 = 0.\)

Do đó \(x = -1\) là một nghiệm của đa thức \(P(x).\)

Vậy phát biểu c) là đúng.

\(\)

62. Cho đa thức \(P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\ (a ≠ 0)\) với \(a + b + c + d + e = 0.\) Chứng tỏ rằng \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(P(x).\)

Giải

Thay \(x=1\) vào đa thức \(P(x)\) ta có:

\(P(1) = a . 1^4 + b . 1^3 + c . 1^2 + d . 1 + e\)

\(= a + b + c + d + e = 0.\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(P(x).\)

\(\)

63. Cho đa thức \(Q(x) = ax^2 + bx + c\ (a ≠ 0).\) Chứng minh rằng nếu \(Q(x)\) nhận \(1\) và \(-1\) là nghiệm thì \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.

Giải

Vì \(x=1\) là nghiệm của \(Q(x)\) nên \(Q(1)=a.1^2+b.1+c=a+b+c=0\) (1)

Vì \(x=-1\) là nghiệm của \(Q(x)\) nên \(Q(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+c=a-b+c=0\) (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:

\((a + b + c) + (a-b + c) = 0\)

\(a + b + c + a-b + c = 0\)

\(2a + 2c = 0\)

\(a + c = 0\)

\(a =-c.\)

Vậy \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.

\(\)

64. Một cửa hàng bán hoa sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi chậu hoa so với giá bán ban đầu là 3x (nghìn đồng) thì số tiền thu được là 3x^2 + 53x + 50 (nghìn đồng). Tính số chậu hoa mà cửa hàng đã bán theo x.

Giải

Giá một chậu hoa sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi chậu so với giá bán ban đầu là \(3x\) (nghìn đồng) là: \(3x + 50\) (nghìn đồng).

Số chậu hoa mà cửa hàng đã bán được là thương của phép chia đa thức:

\((3x^2 + 53x + 50) : (3x + 50).\)

Thực hiện phép tính chia đa thức như sau:

Khi đó ta có \((3x^2 + 53x + 50) : (3x + 50) = x + 1.\)

Vậy số chậu hoa mà cửa hàng đã bán là \(x + 1\) (chậu hoa).

\(\)

65. Tháng 5 năm 2019, nhiều đại biểu trên cả nước đã “hội quân” trên một tàu kiểm ngư rời cảng biển quốc tế Cam Ranh để bắt đầu hải trình nối tình yêu đất liền với biển đảo Trường Sa. Do thời tiết xấu, tàu kiểm ngư đã giảm 15% tốc độ so với tốc độ đã định. Giả sử tốc độ đã định của tàu kiểm ngư là x hải lí/giờ. Viết biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi với số thời gian:

a) 1 giờ;

b) 4 giờ;

c) y giờ.

Giải

Tốc độ thực tế tàu kiểm như đã đi bằng \(100\%-15\% = 85\%\) so với tốc độ đã định và bằng \(85\%.x = 0,85x\) (hải lí/giờ).

a) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong \(1\) giờ là:

\(0,85x . 1 = 0,85x\) (hải lí).

b) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong \(4\) giờ là:

\(0,85x . 4 = 3,4x\) (hải lí).

c) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong \(1\) giờ là:

\(0,85x . y = 0,85xy\) (hải lí).

\(\)

66. Lượng khí thải gây hiệu ứng nhà kính do các hoạt động của con người là nguyên nhân gây ra nhiệt độ Trái Đất tăng một cách đáng kể. Các nhà khoa học đưa ra biểu thức dự báo nhiệt độ trung bình trên bề mặt Trái Đất như sau: T = 0,02x + 15. Trong đó, T là nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất tính theo độ C, x là số năm kể từ năm 1960. Tính nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào các năm 1965 và năm 2023 theo biểu thức dự báo trên.

Giải

Nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào năm \(1965\) là:

\(T = 0,02 . (1 965-1 960) + 15 = 15,1\) (°C).

Nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào năm \(2023\) là:

\(T = 0,02 . (2 023-1 960) + 15 = 16,26\) (°C).

\(\)

67. Giá bán lẻ 1 hộp sữa là 7 000 đồng, giá cho 1 lốc sữa 4 hộp là 26 000 đồng. Nếu mua từ 4 lốc sữa trở lên thì cứ 2 lốc sữa được tặng 1 hộp. Vậy nếu bác Hoa mua 2a (a ∈ ℕ, 2 ≤ a < 10) lốc sữa thì sẽ tiết kiệm bao nhiêu tiền so với mua lẻ từng hộp?

Giải

Do nếu mua từ 4 lốc sữa trở lên thì cứ mua 2 lốc sữa được tặng 1 hộp nên mua 2a lốc sữa được tặng a hộp.

Số tiền bác Hoa mua 2a lốc sữa là:

26 000 . 2a = 52 000a (đồng).

Tổng số hộp sữa bác Hoa nhận được là:

2a . 4 + a = 8a + a = 9a (hộp).

Số tiền bác Hoa phải trả nếu mua lẻ từng hộp số sữa trên là:

9a . 7 000 = 63 000a (đồng).

Số tiền bác Hoa sẽ tiết kiệm là:

63 000a-52 000a = 11 000a (đồng).

Vậy bác Hoa sẽ tiết kiệm được 11 000a đồng so với mua lẻ từng hộp.

\(\)

68. Nhân dịp cuối năm, một cửa hàng cần thanh lí một lô hàng (gồm 100 sản phẩm cùng loại) với giá bán là x đồng/chiếc. Lần đầu cửa hàng giảm 10% so với giá bán thì bán được 15 sản phẩm, lần sau cửa hàng giảm thêm 5% nữa (so với giá đã giảm lần đầu) thì bán được hết 85 sản phẩm còn lại. Viết biểu thức biểu thị số tiền cửa hàng thu được sau khi đã bán hết 100 sản phẩm trên.

Giải

Giá tiền của mỗi sản phẩm bán đầu tiên là:

\(90\%x = 0,9x\) (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được sau lần đầu giảm giá là:

\(0,9x . 15 = 13,5x\) (đồng).

Giá tiền của mỗi sản phẩm bán lần ra sau lần là:

\(95\% . 0,9x = 0,95 . 0,9x = 0,855x\) (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được khi bán hết \(85\) sản phẩm còn lại là:

\(0,855x . 85 = 72,675x\) (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được sau khi đã bán hết \(100\) sản phẩm trên là:

\(13,5x + 72,675x = 86,175x\) (đồng).

\(\)