Chương 7 – Bài 1: Tổng các góc của một tam giác trang 68 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Cho tam giác MHK vuông tại H. Ta có:
A. \(\widehat{M}+\widehat{K}>90^o.\)
B. \(\widehat{M}+\widehat{K}=90^o.\)
C. \(\widehat{M}+\widehat{K}<90^o.\)
D. \(\widehat{M}+\widehat{K}=180^o.\)
Giải
Xét tam giác MHK vuông tại H ta có:
\(\widehat{M}+\widehat{K}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Chọn đáp án B.
\(\)
2. Quan sát Hình 3.
a) Tính các số đo x, y, z.
b) Hãy nhận xét về tổng các số đo x + y + z.
Giải
a) Tam giác DEF có x là số đo góc ngoài của tam giác tại đỉnh D.
Nên \(x=\widehat{DEF}+\widehat{DFE}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).
Do đó \(x = 55^o + 42^o = 97^o.\)
Ta có: \(y+\widehat{DEF}=180^o\) (hai góc kề bù).
Suy ra \(y=180^o-\widehat{DEF}=180^o-55^o=125^o.\)
Ta có: \(z+\widehat{DFE}=180^o\) (hai góc kề bù).
Suy ra \(z=180^o-\widehat{DFE}=180^o-42^o=138^o.\)
Vậy \(x = 97^o,\ y = 125^o;\ z = 138^o.\)
b) Ta có: \(x + y + z = 97^o + 125^o + 138^o = 360^o.\)
Vậy tổng số đo của ba góc ngoài (kề bù với góc trong tam giác) luôn bằng \(360^o.\)
\(\)
3. a) Cho biết một góc nhọn của tam giác vuông bằng \(40^o.\) Tính số đo góc nhọn còn lại.
b) Cho một tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau. Tính số đo mỗi góc nhọn đó.
Giải
a) Xét tam giác MNP vuông tại P ta có:\(\widehat{M}+\widehat{N}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Suy ra \(\widehat{M}=90^o-\widehat{N}=90^o-40^o=50^o.\)
Vậy số đo góc nhọn còn lại là \(50^o.\)
b) Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (giả thiết)
Suy ra \(\widehat{B}=\widehat{C}=90^o:2=45^o.\)
Vậy số đo mỗi góc nhọn đó là \(45^o.\)
\(\)
4. Bạn Bình phát biểu: “Không có tam giác ABC nào mà \(\widehat{A}=3\widehat{B},\ \widehat{B}=3\widehat{C}\) và \(\widehat{C}=14^o\)”. Phát biểu của bạn Bình có đúng không? Vì sao?
Giải
Giả sử có tam giác ABC thỏa mãn \(\widehat{A}=3\widehat{B}\) và \(\widehat{B}=3\widehat{C}.\)
Khi đó \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=9\widehat{C}+3\widehat{C}+\widehat{C}=13\widehat{C}\) mà \(\widehat{C}=14^o.\)
Do đó \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=13.14^o=182^o.\)
Điều này vô lí (vì tổng các góc của tam giác bằng \(180^o\)).
Vậy không có tam giác ABC nào thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Do đó, bạn Bình phát biểu đúng.
\(\)
5. Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=50^o,\ \widehat{B}=70^o.\) Tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại M. Tính số đo của \(\widehat{AMC}\) và \(\widehat{BMC}.\)
Giải
Xét ∆ABC ta có: \(\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-50^o-70^o=60^o.\)
Vì tia CM là tia phân giác của \(\widehat{C}\) nên \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\widehat{C}:2=60^o:2=30^o.\)
Xét ∆AMC ta có: \(\widehat{AMC}=180^o-\widehat{C_2}-\widehat{A}=180^o-30^o-50^o=100^o.\)
Xét ∆BMC ta có: \(\widehat{BMC}=180^o-\widehat{C_1}-\widehat{B}=180^o-30^o-70^o=80^o.\)
Vậy \(\widehat{AMC}=100^o,\ \widehat{BMC}=80^o.\)
\(\)
6. Tính số đo các góc của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C};\)
b) \(\widehat{A}=70^o\) và \(\widehat{C}-\widehat{B}=20^o;\)
c) Số đo của \(\widehat{A},\ \widehat{B},\ \widehat{C}\) lần lượt tỉ lệ với \(1;\ 2;\ 3.\)
Giải
a) Xét ∆ABC có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác).
Mà \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\)
Do đó \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=180^o:3=60^o.\)
b) Xét ∆ABC ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-\widehat{A}=180^o-70^o=110^o.\)
Mà \(\widehat{C}-\widehat{B}=20^o.\)
Suy ra \(\widehat{B}=(110^o-20^o):2=45^o\) Khi đó \(\widehat{C}=110^o-45^o=65^o.\)
c) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\displaystyle\frac{\widehat{A}}{1}=\displaystyle\frac{\widehat{B}}{2}=\displaystyle\frac{\widehat{C}}{3}=\displaystyle\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{1+2+3}=\displaystyle\frac{180^o}{6}=30^o.\)
Do đó \(\widehat{A}=1.30^o=30^o;\) \(\widehat{B}=2.30^o=60^o;\) \(\widehat{C}=3.30^o=90^o.\)
\(\)
7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của \widehat{HAC} (Hình 4).
a) Tìm các cặp góc có tổng số đo bằng \(90^o.\)
b) Cho \(\widehat{C}=40^o.\) Tính số đo của \(\widehat{B},\ \widehat{BDA},\ \widehat{DAC}.\)
c) Chứng minh: \(\widehat{BAH}=\widehat{C};\) \(\widehat{CAH}=\widehat{B};\) \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)
Giải
a) Xét ∆ABC vuông tại A ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Xét ∆ABH vuông tại H ta có: \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Xét ∆ACH vuông tại H ta có: \(\widehat{C}+\widehat{CAH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Xét ∆ADH vuông tại H ta có: \(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Ta có: \(\widehat{BAC}=90^o=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}\)
Vậy các cặp góc có tổng số đo bằng \(90^o\) là: \(\widehat{BAH}\) và \(\widehat{CAH};\) \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C};\) \(\widehat{B}\) và \(\widehat{BAH};\) \(\widehat{C}\) và \(\widehat{CAH};\) \(\widehat{BAD}\) và \(\widehat{DAC};\) \(\widehat{HAD}\) và \(\widehat{ADH}.\)
b) Do \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\) (chứng minh câu a) nên \(\widehat{B}=90^o-\widehat{C}.\)
Mà \(\widehat{C}=40^o\) nên \(\widehat{B}=90^o-40^o=50^o.\)
Do \(\widehat{C}+\widehat{CAH}=90^o\) (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat{CAH}=90^o-\widehat{C}=90^o-40^o=50^o.\)
Mà AD là tia phân giác của \(\widehat{CAH}\) (giả thiết)
Do đó \(\widehat{DAC}=\widehat{DAH}=\widehat{CAH}2=50^o2=25^o.\)
Do \(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\) (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat{ADH}=90^o-\widehat{DAH}=90^o-25^o=65^o\) hay \(\widehat{BDA}=65^o.\)
Vậy \(\widehat{B}=50^o,\ \widehat{BDA}=65^o,\ \widehat{DAC}=25^o.\)
c) Vì \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^o\) (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat{BAH}=90^o-\widehat{B}=90^o-50^o=40^o.\)
Khi đó \(\widehat{B}=\widehat{CAH}\ (=50^o),\) \(\widehat{C}=\widehat{BAH}\ (=40^o).\)
Lại có \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90^o;\) \(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\) (chứng minh câu a)
Mà \(\widehat{DAC}=\widehat{DAH}\) suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{ADH}\) hay \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)
Vậy \(\widehat{BAH}=\widehat{C},\) \(\widehat{CAH}=\widehat{B},\) \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)
\(\)
8. Cho tam giác ABC. Kẻ HB vuông góc với AC tại H. Kẻ CK vuông góc với AB tại K, BH cắt CK tại I (Hình 5). Nếu \(\widehat{A} <90^o\) thì khi đó ta có:
A. \(\widehat{ABH}<\widehat{ACK}.\)
B. \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}.\)
C. \(\widehat{ABH}>\widehat{ACK}.\)
D. \(\widehat{ABH}=90^o+\widehat{ACK}.\)
Giải
Xét ∆ABH vuông tại H ta có: \(\widehat{A} +\widehat{ABH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{ABH}=90^o-\widehat{A}\) (1)
Xét ∆ACK vuông tại K ta có: \(\widehat{A} +\widehat{ACK}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{ACK}=90^o-\widehat{A}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\ (=90^o-\widehat{A}).\)
Chọn đáp án B.
\(\)
9. Cho tam giác ABC, tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt cạnh BC tại D. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC, biết \(\widehat{ADB}=80^o\) và \(\widehat{B}=1,5\widehat{C}.\)
Giải
Xét ∆ABD có: \(\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat{A_1}+\widehat{B}=180^o-\widehat{ADB}=180^o-80^o=100^o\)
Khi đó \(\widehat{A_1}=100^o-\widehat{B}\)
Lại có \(\widehat{B}=1,5\widehat{C}\)
Suy ra \(\widehat{A_1}=100^o-1,5\widehat{C}\) (1)
Vì \(\widehat{ADB}\) là góc ngoài của tam giác ACD tại đỉnh D nên \(\widehat{ADB}=\widehat{C}+\widehat{A_2}\)
Suy ra \(\widehat{A_2}=\widehat{ADB}-\widehat{C}=80^o-\widehat{C}\) (2)
Ta có AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \(100^o-1,5\widehat{C=8}0^o-\widehat{C}\)
Hay \(1,5\widehat{C}-\widehat{C}=100^o-80^o\)
Suy ra \(\widehat{C}=40^o.\)
Do đó \(\widehat{B}=1,5\widehat{C=1},5.40^o=60^o.\)
Xét ∆ABC có: \(\widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác).
Do đó \(\widehat{BAC}=180^o-\widehat{C}-\widehat{B}=180^o-40^o-60^o=80^o.\)
Vậy \(\widehat{C}=40^o,\ \widehat{B}=60^o,\ \widehat{BAC}=80^o.\)
\(\)
10. Ở Hình 6 có \(\widehat{A} =\widehat{B}=60^o\) và Cx là tia phân giác của góc ACy. Chứng minh Cx song song với AB.
Giải
Vì \(\widehat{ACy}\) là góc ngoài của ∆ABC tại đỉnh C nên \(\widehat{ACy}=A+\widehat{B}.\)
Do đó \(\widehat{ACy}=60^o+60^o=120^o.\)
Vì Cx là tia phân giác của \(\widehat{ACy}\) nên \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=60^o.\)
Suy ra \(\widehat{B}=\widehat{C_1}\) (cùng bằng \(60^o\)), mà chúng ở vị trí đồng vị nên Cx // AB.
\(\)
11. Ở Hình 7 có \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^o,\) \(\widehat{ADB}=15^o,\) AD song song với BC. Chứng minh AB song song với DC.
Giải
Do AD // BC (giả thiết) nên \(\widehat{DBC}=\widehat{ADB}=15^o\) (hai góc so le trong).
Xét ∆BCD vuông tại C ta có: \(\widehat{CBD}+\widehat{CDB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{BDC}=90^o-\widehat{DBC}=90^o-15^o=75^o.\)
Xét ∆ABD vuông tại A ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{ABD}=90^o-\widehat{ADB}=90^o-15^o=75^o.\)
Do đó \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\) (cùng bằng \(75^o\))
Mà chúng ở vị trí so le trong nên AB // DC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương 6
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
