Bài tập cuối chương IV                     

Bài tập cuối chương \(IV\) trang \(78\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\). Biết \(a = 49,4; b = 26,4; \widehat{C} = 47^o20’\). Tính hai góc \(\widehat{A}, \widehat{B}\) và cạnh \(c\).

Trả lời:

Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(c^2 = a^2 + b^2 \ – \ 2. b. c. \cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2 = 49,4^2 + 26,4^2 \ – \ 2. 49,4. 26,4. \cos47^o20’\)

\(\Rightarrow c \approx 37\)

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}}\)

\(\displaystyle \frac{49,4}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{26,4}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{37}{\sin47^o20′}\)

\(\Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{49,4. \sin47^o20′}{37} \approx 0, 982\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 79^o\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 180^o \ – \ (79^o + 47^o20′) = 53^o40’\).

\(\)

Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\). Biết \(a = 24; b = 13; c = 15\). Tính các góc \(\widehat{A}; \widehat{B}; \widehat{C}\).

Trả lời:

Áp dụng hệ quả định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\left \{\begin{matrix}\cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}\\ \cos{B} = \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2ac} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix}\cos{A} = \displaystyle \frac{13^2 + 15^2 \ – \ 24^2}{2. 13. 15} = \ – \ \displaystyle \frac{7}{15}\\ \cos{B} = \displaystyle \frac{24^2 + 15^2 \ – \ 13^2}{2. 24. 15} = \displaystyle \frac{79}{90} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix} \widehat{A} \approx 117,8^o\\ \widehat{B} \approx 28,6^o \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \widehat{C} \approx 180^o \ – \ (117,8^o + 28,6^o) = 33,6^o\)

\(\)

Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 8; b = 10; c =13\)
\(a)\) Tam giác \(ABC\) có góc tù không?
\(b)\) Tính độ dài trung tuyến \(AM\), diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
\(c)\) Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\). Tính độ dài \(BD\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng hệ quả định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}; \cos{B} = \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2ac};\)

\( \cos{C} = \displaystyle \frac{b^2 + a^2 \ – \ c^2}{2ba}\)

Suy ra:

\(\left \{\begin{matrix}\cos{A} = \displaystyle \frac{10^2 + 13^2 \ – \ 8^2}{2. 10. 13} = \displaystyle \frac{41}{52} > 0\\ \cos{B} = \displaystyle \frac{8^2 + 13^2 \ – \ 10^2}{2. 8. 13} = \displaystyle \frac{133}{208} > 0\\ \cos{C} = \displaystyle \frac{10^2 + 8^2 \ – \ 13^2}{2. 10. 8} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{32} < 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \widehat{C} \approx 91,47^o > 90^o\)

Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác tù tại \(C\).

\(b)\)

Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ACM\) ta có:

\(AM^2 = CM^2 + CA^2 \ – \ 2. CM. CA. \cos{ACM}\)

\( = 4^2 + 10^2 \ – \ 2. 4. 10. \displaystyle \frac{\ – \ 1}{32} = 113,5\)

\(\Rightarrow AM \approx 10,66\)

Ta có: Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là:

\(p = \displaystyle \frac{a+ b + c}{2} = \displaystyle \frac{8 + 10 + 13}{2} = 15,5\)

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \sqrt{p(p\ – \ a)(p\ – \ b)(p\ – \ c)}\)

\(= \sqrt{15,5(15,5 \ – \ 8)(15,5 \ – \ 10)(15,5 \ – \ 13)}\)

\(\approx 40\)

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

Ta có: \(S_{ABC} = \displaystyle \frac{abc}{4R}\)

\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{abc}{4S_{ABC}} = \displaystyle \frac{8. 10. 13}{4. 40} = 6,5\)

\(c)\)

Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của đoạn \(AD\)

\(\Rightarrow AD = 2. AC = 20\)

Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ABD\) ta có:

\(BD^2 = AD^2 + AB^2 \ – \ 2. AD. AB. \cos{A}\)

\( = 20^2 + 13^2 \ – \ 2. 20. 13. \displaystyle \frac{41}{52} = 159\)

\(\Rightarrow BD \approx 12,6\)

Vậy \(BD \approx 12,6\).

\(\)

Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 120^o; b = 8; c = 5\). Tính: \(a)\) Cạnh \(a\) và các góc \(\widehat{B}; \widehat{C}\).
\(b)\) Diện tích tam giác \(ABC\).
\(c)\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao \(AH\) của tam giác.

Trả lời: \(a)\) Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) ta có:

\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2. b. c. \cos{A}\)

\(\Rightarrow a^2 = 8^2 + 5^2 \ – \ 2. 8. 5. \cos120^o = 129\)

\(\Rightarrow a = \sqrt{129}\).

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{\sqrt{129}}{\sin120^o} = \displaystyle \frac{8}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{5}{\sin{C}}\)

\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix}\sin{B} = \displaystyle \frac{8. \sin120^o}{\sqrt{129}} \approx 0,61 \\ \sin{C} = \displaystyle \frac{5.\sin120^o}{\sqrt{129}} \approx 0,38 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix}\widehat{B} \approx 37,59^o\\ \widehat{C} \approx 22,41^o \end{matrix} \right.\)

\(b)\) Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. 8. 5. \sin120^o = 10\sqrt{3}\) (đvdt).

\(c)\) Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(R = \displaystyle \frac{a}{2 \sin{A}} = \displaystyle \frac{\sqrt{129}}{2. \sin120^o} = \sqrt{43}\).

Ta có: \(S = \displaystyle \frac{1}{2}. a. AH\)

\(\Rightarrow AH = \displaystyle \frac{2S}{a} = \displaystyle \frac{2. 10\sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \displaystyle \frac{20\sqrt{43}}{43}\).

\(\)

Bài \(5\). Cho hình bình hành \(ABCD\)
\(a)\) Chứng minh \(2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2\);
\(b)\) Cho \(AB = 4, BC = 5, BD = 7\). Tính \(AC\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng định lí \(\text{côsin} \) trong tam giác ta có: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 \ – \ 2. AB. BC. \cos{ABC}\)

\(BD^2 = AB^2 + AD^2 \ – \ 2. AB. AD. \cos{BAD}\)

Mà \(AD = BC; \cos{BAD} = \cos{(180^o \ – \ ABC)}\)

\( = \ – \ \cos{ABC}\)

Suy ra:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2. AB. BC. \cos{BAD}\) \((1)\)

\(BD^2 = AB^2 + BC^2 \ – \ 2.AB. BC. \cos{BAD}\) \((2)\)

Cộng vế với với của \((1)\) và \((2)\) ta được:

\(AC^2 + BD^2 = 2 (AB^2 + BC^ 2)\) (đpcm)

\(b)\) Áp dụng theo kết quả câu \(a)\) ta có:

\(AC^2 = 2( AB^2 + BC^2) \ – \ BD^2\)

\(\Rightarrow AC^2 = 2( 4^2 + 5^2) \ – \ 7^2 = 33\)

\(\Rightarrow AC = \sqrt{33}\).

\(\)

Bài \(6\). Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 15, b = 20, c = 25\).
\(a)\) Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(b)\) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là:

\(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2} = \displaystyle \frac{15 + 20 + 25}{2} = 30\)

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \sqrt{p. (p\ – \ a). (p \ – \ b). (p \ – \ c)}\)

\(= \sqrt{30. (30 \ – \ 15)(30 \ – \ 20)(30 \ – \ 25)} = 150\) (đvdt)

\(b)\) Ta có: \(S = \displaystyle \frac{abc}{4R}\)

Suy ra: \(R = \displaystyle \frac{abc}{4S} = \displaystyle \frac{15. 20. 25}{4. 150} = 12,5\) (đvđd).

\(\)

Bài \(7\). Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:
\(\cot{A} + \cot{B} + \cot{C} = \displaystyle \frac{R(a^2 + b^2 + c^ 2)}{abc}\).

Trả lời:

Áp dụng hệ quả định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = 2R \Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{a}{2R}\).

Áp dụng hệ quả định lí \(\text{côsin}\) ta được:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}\)

Suy ra: \(\cot{A} = \displaystyle \frac{\cos{A}}{\sin{A}} = R. \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{abc}\).

Tương tự ta cũng có:

\(\cot{B} = R. \displaystyle \frac{a^2 + c ^2 \ – \ b^2}{abc}\)

và \(\cot{C} = R. \displaystyle \frac{a^2 + b ^2 \ – \ c^2}{abc}\)

Từ đây suy ra:

\(\cot{A} + \cot{B} + \cot{C} = \)

\( R. \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{abc} + R. \displaystyle \frac{a^2 + c ^2 \ – \ b^2}{abc} + R. \displaystyle \frac{a^2 + b ^2 \ – \ c^2}{abc}\)

\( = \displaystyle \frac{R}{abc}\)

\( [(b^2 + c ^2 \ – \ a^2) + (a^2 + c^2 \ – \ a^2) + (a^2 + b^2 \ – \ c^2)]\)

\(= \displaystyle \frac{R}{abc} ( 2b^2 + 2c^2 + 2a^2 \ – \ a^2 \ – \ b^2 \ – \ c^2)\)

\(= \displaystyle \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}\)

Vậy \(\cot{A} + \cot{B} + \cot{C} = \displaystyle \frac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}\) (đpcm).

\(\)

Bài \(8\). Tính khoảng cách \(AB\) giữa hai toà nhà cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là \(370km, 350km\) và góc nhìn từ vệ tinh đến \(A\) và \(B\) là \(2,1^o\).

Trả lời: Gọi vị trí của vệ tinh viễn thông là \(O\).

Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(AB^2 = OA^2 + OB^2 \ – \ 2. OA. OB. \cos{AOB}\)

\(\Leftrightarrow AB^2 = 370^2 + 350^2 \ – \ 2. 370. 350. \cos2,1^o\)

\(\Rightarrow AB \approx 23,96\) \((km)\)

Vậy khoảng cách giữa hai toà nhà là \(23, 96 km\).

\(\)

Bài \(9\). Hai chiếc tàu thuỷ \(P\) vả \(Q\) cách nhau \(300m\) và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển (Hình \(2\)). Từ \(P\) và \(Q\), người ta nhìn thấy tháp hải đăng \(AB\) dưới các góc \(\widehat{BPA} = 35^o\) và \(\widehat{BQA} = 48^o\). Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Trả lời: Xét tam giác \(ABQ\) ta có:

\(\tan48^o = \displaystyle \frac{AB}{BQ}\)

\(\Rightarrow AB = BQ. \tan48^o\) \((1)\)

Xét tam giác \(ABP\) ta có:

\(\tan35^o = \displaystyle \frac{AB}{BP}\)

\(\Rightarrow AB = BP. \tan35^o\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BQ. \tan48^o = BP. \tan35^o\)

\(\Leftrightarrow BQ. \tan48^o = (BQ + PQ). \tan35^o\)

\(\Leftrightarrow BQ. (\tan48^o \ – \ \tan35^o) = PQ. \tan35^o\)

\(\Leftrightarrow BQ.(\tan48^o \ – \ \tan35^o) = 300. \tan35^o\)

\(\Leftrightarrow BQ = \displaystyle \frac{300. \tan35^o}{\tan48^o \ – \ \tan35^o}\) \((3)\)

Thay \((3)\) vào \((1)\) ta được:

\(AB = \displaystyle \frac{300. \tan35^o}{\tan48^o \ – \ \tan35^o}. \tan48^o \approx 568,5\) \((m)\)

Vậy tháp hải đăng cao \(568,5 m\)

\(\)

Bài \(10\). Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm \(A, B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12 m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là \(h = 1,2 m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \(A_1, B_1\) cùng thẳng hàng với \(C_1\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được \(\widehat{DA_1C_1} = 49^o, \widehat{DB_1C_1} = 35^o\). Tính chiều cao \(CD\) của tháp.

Trả lời:

Ta có: Ba điểm \(B_1, A_1, C_1\) thẳng hàng nên:

\(\widehat{B_1A_1D} = 180^o \ – \ \widehat{C_1A_1D} = 180^o \ – \ 49^o = 131^o\).

Xét tam giác \(B_1A_1D\) có \(\widehat{B_1} = 35^o; \widehat{B_1A_1D} = 131^o\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1DB_1} = 180^o \ – \ (35^o + 131^o) = 14^o\)

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) trong tam giác \(A_1DB_1\) ta có:

\(\displaystyle \frac{A_1D}{\sin{B_1}} = \displaystyle \frac{A_1B_1}{\sin{A_1DB_1}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{A_1D}{\sin35^o} = \displaystyle \frac{12}{\sin14^o}\)

\(\Rightarrow A_1D = \sin35^o . \displaystyle \frac{12}{\sin14^o} \approx 28,45\)

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) trong tam giác \(A_1DC_1\) ta có:

\(\displaystyle \frac{A_1D}{\sin{A_1CD}} = \displaystyle \frac{C_1D}{\sin{CA_1D}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{28,45}{\sin90^o} = \displaystyle \frac{C_1D}{\sin49^o}\)

\(\Rightarrow C_1D = \sin49^o . \displaystyle \frac{28,45}{\sin90^o} \approx 21,47\)

Do đó, chiều cao \(CD\) của tháp là:

\(CD = C_1D + C_1C = 21,47 + 1,2 = 22,67\) \((m)\).

Vậy chiều cao của tháp là \(22, 67 m\).

Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-3-giai-tam-giac-va-ung-dung-thuc-te/
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Khái niệm vectơ
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech