Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(30\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
\(a)\) \(3x \ – \ y > 3\);
\(b)\) \(x + 2y \leq \ – \ 4\);
\(c)\) \(y \geq 2x \ – \ 5\).

Trả lời:

\(a)\) \(3x \ – \ y > 3\)

Vẽ đường thẳng \(d: 3x \ – \ y = 3 \Leftrightarrow y = 3x \ – \ 3\)

Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có: \(3. 0 \ – \ 0 = 0 < 3\)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(3x \ – \ y > 3\) là nửa mặt phẳng không bị tô màu, không chứa gốc tọa độ \(O\), không kể bờ \(d\).

\(b)\) \(x + 2y \leq \ – \ 4\)

Vẽ đường thẳng \(d: x + 2y = \ – \ 4 \Leftrightarrow y = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x \ – \ 2\)

Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có:

\(0 + 2. 0 = 0 > \ – \ 4\)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \leq \ – \ 4\) là nửa mặt phẳng không bị tô màu, không chứa gốc tọa độ (O), kể cả bờ (d).

\(c)\) \(y \geq 2x \ – \ 5\)

Vẽ đường thẳng \(d: y = 2x \ – \ 5\)

Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có:

\(0 > 2. 0 \ – \ 5\)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 2x \ – \ 5\) là nửa mặt phẳng không bị tô màu, chứa gốc tọa độ (O), kể cả bờ (d).

\(\)

Bài \(2\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x \ – \ 3y < 6\\2x + y < 2 \end{array} \right.\end{equation}\);
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4x + 10y \leq 20\\x \ – \ y \leq 4\\x \geq \ – \ 2 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(c)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \ – \ 2y \leq 5\\x + y \geq 2\\x \geq 0\\y \leq 3 \end{array} \right. \end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vẽ các đường thẳng:

\(d_1: 2x \ – \ 3y = 6\) đi qua điểm \((3; 0), (0; \ – \ 2)\)

\(d_2: 2x + y = 2\) đi qua điểm \((0; 2), (1; 0)\)

Xét tọa độ \(O(0; 0)\) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ là nửa mặt phẳng không bị tô màu chứa điểm \(O\) không kể \(d_1\) và \(d_2\)

Vậy miền nghiệm của hệ là bất phương trình là phần mặt phẳng không bị tô màu, không kể biên \(d_1\) và \(d_2\).

\(b)\) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vẽ các đường thẳng:

\(d_1: 2x + 5y = 10\) đi qua điểm \((0; 2), (5; 0)\)

\(d_2: x \ – \ y = 4\) đi qua điểm \((4; 0), (0; \ – \ 4)\)

\(d_3: x = \ – \ 2\) là đường thẳng đi qua điểm \((\ -\ 2; 0)\) và song song với trục tung.

Xét tọa độ điểm \(O(0; 0)\) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị tô màu chứa điểm \(O\), kể cả các đường thẳng \(d_1, d_2, d_3\).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng không bị tô màu, kể cả biên hay là miền tam giác \(ABC\) với \(A\left(\ – \ 2; \displaystyle \frac{14}{5}\right), B\left(\displaystyle \frac{30}{7}, \displaystyle \frac{2}{7}\right), C(\ – \ 2; \ – \ 6)\).

\(c)\) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vẽ các đường thẳng:

\(d_1: x \ – \ 2y = 5\) đi qua điểm \(\left(0; \ – \ \displaystyle \frac{5}{2}\right), (5; 0)\).

\(d_2: x + y = 2\) đi qua điểm \((0; 2), (2; 0)\).

\(d_3: x = 0\) là trục tung.

\(d_4: y = 3\) là đường thẳng đi qua điểm \((0; 3)\) và song song với trục hoành.

Xét điểm \(M(1; 1)\) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị tô màu, chứa điểm \(M\), kể các các bờ \(d_1, d_2, d_3, d_4\)

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị tô màu hay chính là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(0; 2), B(0; 3), C(11; 3), D(3; \ – \ 1)\).

\(\)

Bài \(3\). Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người độ tuổi trưởng thành trong một ngày là \(1300\) mg. Trong một lạng đậu nành có \(165\) mg canxi, một lạng thịt có \(15\) mg canxi.
Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày (với \(x > 0, y > 0\)).
\(a)\) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành.
\(b)\) Chỉ ra một nghiệm \((x_0; y_0)\) với \(x_0, y_0 \in \mathbb{N}\) của bất phương trình đó.

Trả lời:

Gọi \(x, y\) lần lượt là số lạng đậu nành và thịt lợn mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày (\(x, y > 0\))

Khi đó, lượng canxi có trong \(x, y\) lạng đậu nành và thịt lợn lần lượt là \(165x\) và \(15y\) (mg)

Tổng lượng canxi có trong \(x\) lạng đậu nành và \(y\) lạng thịt lợn là:

\(165x + 15y\) (mg)

Vì nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là \(1300\) mg nên ta có bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành là:

\(165x + 15y \geq 1300\)

\(b)\) Cặp số \((x_0; y_0)\) là nghiệm của bất phương trình trên khi và chỉ khi \(165x_0 + 15y_0 \geq 1300\)

Do \(x_0, y_0 \in \mathbb{Z}\) nên ta chọn \(x_0 = 10; y_0 = 0\) ta có:

\(165. 10 + 15. 0 = 1650 > 1300\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm \((10; 0)\) là một nghiệm của bất phương trình đó.

\(\)

Bài \(4\). Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với yêu cầu tối thiểu hằng ngày qua thức uống là \(300\) calo, \(36\) đơn vị vitamin A và \(90\) đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp \(60\) calo, \(12\) đơn vị vitamin A và \(10\) đơn vị vitamin C. Mộc cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp \(60\) calo, \(6\) đơn vị vitamin A và \(30\) đơn vị vitamin C.
\(a)\) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số calo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
\(b)\) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số calo và số đơn vị vitamin hấp thụ.

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(x, y\) lần lượt là số cốc đồ uống thứ nhất, thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số calo và số đơn vị vitamin hấp thụ.

Khi đó, tổng số calo trong \(x\) cốc thứ nhất và \(y\) cốc thứ hai cung cấp là:

\(60x + 60y\) (calo)

Do tối thiểu hằng ngày cần \(300\) calo nên \(60x + 60y \geq 300 \Leftrightarrow x + y \geq 5\) (\(1\))

Tổng số đơn vị vitamin A mà \(x\) cốc thứ nhất và \(y\) cốc thứ hai cung cấp là:

\(12x + 6y\) (đơn vị)

Vì số đơn vị vitamin A tối thiểu trong một ngày là \(36\) đơn vị nên \(12x + 6y \geq 36 \Leftrightarrow 2x + y \geq 6\) (\(2\))

Tổng số đơn vị vitamin C mà \(x\) cốc thứ nhất và \(y\) cốc thứ hai cung cấp là:

\(10x + 30y\) (đơn vị)

Vì số đơn vị vitamin C tối thiểu trong một ngày là \(90\) nên \(10x + 30y \geq 90 \Leftrightarrow x + 3y \geq 9\) (\(3\))

Từ (\(1\)), (\(2\)), (\(3\)) ta có hệ bất phương trình sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \geq 5\\2x + y \geq 6\\x + 3y \geq 9 \end{array} \right. \end{equation}\) \((*)\)

\(b)\) Số cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai thỏa mãn yêu cầu bài toán là \((x; y)\) thỏa mãn hệ \((*)\)

\(+)\) Phương án \(1\): Chọn \(x = 2; y = 4\) thay vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

\(2 + 4 = 6 \geq 5\) luôn đúng.

\(2. 2 + y = 8 \geq 6\) luôn đúng.

\(2 + 3. 4 = 14 \geq 9\) luôn đúng.

Do đó, \((2; 4)\) là nghiệm của hệ \((*)\)

Vậy theo phương án \(1\), mỗi ngày bác Ngọc có thể chọn uống \(2\) cốc đồ uống thứ nhất và \(4\) cốc đồ uống thứ hai.

\(+)\) Phương án \(2\): Chọn \(x = 5; y = 2\) thay vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

\(5 + 2 = 7 \geq 5\) luôn đúng.

\(2. 5 + 2 = 12 \geq 6\) luôn đúng.

\(5 + 3. 2 = 11 \geq 9\) luôn đúng.

Do đó, \((5; 2)\) là nghiệm của hệ \((*)\).

Vậy theo phương án \(2\), mỗi ngày bác Ngọc có thể chọn uống \(5\) cốc đồ uống thứ nhất và \(2\) cốc đồ uống thứ hai.

\(\)

Bài \(5\). Một chuỗi đồ hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ \(10h00\) sáng đến \(22h00\) mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca \(8\) tiếng, ca \(I\) từ \(10h00\) đến \(18h00\), ca \(II\) từ \(14h00\) đến \(22h00\).

Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên):

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu \(6\) nhân viên trong khoảng \(10h00\) đến \(18h00\), tối thiểu \(24\) nhân viên trong thời gian cao điểm \(14h00\) đến \(18h00\) và không quá \(20\) nhân viên trong khoảng \(18h00\) đến \(22h00\). Do lượng khách trong khoảng \(14h00\) đến \(22h00\) thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca \(II\) ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca \(I\). Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Trả lời: