Bài tập cuối chương 7 trang 58 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Chọn phương án đúng.
1. Cho tam giác ABC, biết DE // BC và AE = 6 cm, EC = 3 cm, DB = 2 cm (Hình 1). Độ dài đoạn thẳng AD là
A. \(4\ cm.\)
B. \(3\ cm.\)
C. \(5\ cm.\)
D. \(3,5\ cm.\)
Giải
Theo định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{DA}{DB}=\displaystyle\frac{EA}{EC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{6}{3},\) vậy \(x=\displaystyle\frac{2.6}{3}=4\ cm.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
2. Cho tam giác ABC, biết DE // BC (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\displaystyle\frac{AD}{DB}=\displaystyle\frac{AE}{EC}.\)
B. \(\displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{AE}{AC}.\)
C. \(\displaystyle\frac{AE}{AC}=\displaystyle\frac{DE}{BC}.\)
D. \(\displaystyle\frac{DB}{AB}=\displaystyle\frac{DE}{BC}.\)
Giải
Theo định lí Thalès và hệ quả của định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AD}{DB}=\displaystyle\frac{AE}{EC};\) \(\displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{AE}{AC};\) \(\displaystyle\frac{AE}{AC}=\displaystyle\frac{DE}{BC}.\)
Chọn đáp án D.
\(\)
3. Cho Hình 3, biết AM = 3 cm, MN = 4 cm, AC = 9 cm. Giá trị của biểu thức x – y là:
A. \(4.\)
B. \(-3.\)
C. \(3.\)
D. \(-4.\)
Giải
Tam giác AMN vuông tại M nên ta có:
\(AN = \sqrt{AM^{2}+MN^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.\)
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{AM}{AC}=\displaystyle\frac{AN}{AB}=\displaystyle\frac{MN}{BC}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{3}{9}=\displaystyle\frac{5}{y}=\displaystyle\frac{4}{x},\) vậy \(x = \displaystyle\frac{9.4}{3}=12,\) \(y = \displaystyle\frac{9.5}{3}=15.\)
Do đó \(x-y = 12-15 =-3.\)
Chọn đáp án B.
\(\)
4. Cho tam giác MNP có MD là tia phân giác của góc M (D ∈ NP). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\displaystyle\frac{DN}{MN}=\displaystyle\frac{DP}{MP}.\)
B. \(\displaystyle\frac{DN}{MN}=\displaystyle\frac{MP}{DP}.\)
C. \(\displaystyle\frac{DN}{MN}=\displaystyle\frac{MP}{DP}.\)
D. \(\displaystyle\frac{MN}{MP}=\displaystyle\frac{DP}{DN}.\)
Giải
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\displaystyle\frac{DN}{MN}=\displaystyle\frac{MP}{DP};\) \(\displaystyle\frac{DN}{MN}=\displaystyle\frac{MP}{DP};\) \(\displaystyle\frac{MN}{MP}=\displaystyle\frac{DP}{DN}.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
5. Cho hai đoạn thẳng AB = 12 cm và CD = 18 cm. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là
A. \(\displaystyle\frac{4}{3}.\)
B. \(\displaystyle\frac{3}{4}.\)
C. \(\displaystyle\frac{2}{3}.\)
D. \(\displaystyle\frac{3}{2}.\)
Giải
\(\displaystyle\frac{AB}{CD}=\displaystyle\frac{12}{18}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
6. Cho Hình 4, biết MN // BC, AN = 4 cm. NC = 8 cm, MN = 5 cm. Độ dài cạnh BC là
A. \(10\ cm.\)
B. \(20\ cm.\)
C. \(15\ cm.\)
D. \(16\ cm.\)
Giải
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{MN}{BC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{4}{4+8}=\displaystyle\frac{5}{BC},\) vậy \(BC=\displaystyle\frac{5.12}{4}=15.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
7. Cho Hình 5, biết MN // DE, MN = 6 cm, MP = 3 cm, PE = 5 cm. Độ dài đoạn thẳng DE là
A. \(6\ cm.\)
B. \(5\ cm.\)
C. \(8\ cm.\)
D. \(10\ cm.\)
Giải
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{MP}{PE}=\displaystyle\frac{MN}{DE}\) suy ra \(\displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{6}{DE},\) vậy \(DE = 10.\)
Chọn đáp án D.
\(\)
8. Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB tại F. Biết AB = 25 cm, AF = 9 cm, EF = 12 cm, độ dài đoạn DC là
A. \(25\ cm.\)
B. \(20\ cm.\)
C. \(15\ cm.\)
D. \(12\ cm.\)
Giải
Xét tam giác ADC có EF //DC, theo định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{AF}{AD} = \displaystyle\frac{AE}{AC}\)
Xét tam giác ABC có DE //BC, theo định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{AD}{AB} = \displaystyle\frac{AE}{AC}\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AF}{AD} = \displaystyle\frac{AD}{AB} \Rightarrow AF.AB = A{D^2}\)
\(\Rightarrow 9.25 = AD^2 \Rightarrow AD = \sqrt {9.25} = 15.\)
Xét tam giác ADC có EF //DC, theo hệ quả định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{AF}{AD} = \displaystyle\frac{EF}{DC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{9}{15} = \displaystyle\frac{12}{DC},\) vậy \(DC = \displaystyle\frac{12.15}{9} = 20.\)
Chọn đáp án B.
\(\)
9. Cho tam giác biết AM là đường phân giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\displaystyle\frac{BM}{MC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}.\)
B. \(\displaystyle\frac{AB}{MC}=\displaystyle\frac{BM}{AC}.\)
C. \(\displaystyle\frac{AM}{MC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}.\)
D. \(\displaystyle\frac{BM}{MC}=\displaystyle\frac{AM}{AC}.\)
Giải
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\displaystyle\frac{BM}{CM} = \displaystyle\frac{AB}{AC};\ \displaystyle\frac{BM}{AB} = \displaystyle\frac{CM}{AC};\) \(\displaystyle\frac{CM}{BM} = \displaystyle\frac{AC}{AB};\ \displaystyle\frac{AC}{CM} = \displaystyle\frac{AB}{BM}.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
BÀI TẬP TỰ LUẬN
10. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5 cm, DB = 4,5 cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Giải
Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.
Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{DH}{BK}=\displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{13,5}{13,5+4,5}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)
Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là \(\displaystyle\frac{3}{4}.\)
\(\)
11. a) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN, BN trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tìm chiều cao AB của cái cây.
b) Một tòa nhà cao 24 m, đổ bóng nắng dài 36 m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6 m muốn đứng trong bóng râm của tòa nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất bao nhiêu mét?
Giải
a) Ta có: \(\displaystyle\frac{AN}{AB}=\displaystyle\frac{AM}{AC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{1,5}{AB}=\displaystyle\frac{2,4}{2,4+2,9},\) vậy \(AB = \displaystyle\frac{1,5.5,3}{2,4}=3,3125\) (m).
b)
Ta có: \(\displaystyle\frac{EF}{AB}=\displaystyle\frac{CF}{CB}\) suy ra \(\displaystyle\frac{1,6}{24}=\displaystyle\frac{CF}{36},\) do đó \(CF = \displaystyle\frac{1,6.36}{24}=2,4\) (m).
Mà \(BF + CF = BC\) suy ra \(BF = BC-CF\) hay \(x = 36-2,4 = 33,6\) (m).
Vậy người đó có thể đứng xa tòa nhà nhất là \(33,6\) m.
\(\)
12. Cho tam giác ABC có BC bằng 30 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC là \(10,8\ dm^2.\)
Giải
a) Vì \(AK = KI = IH\) suy ra \(AK = \displaystyle\frac{1}{3}AH;\) \(AI = \displaystyle\frac{2}{3}AH\).
Xét ∆ABH ta có MK // BH, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AK}{AH} = \displaystyle\frac{1}{3}\)
Xét ∆ABH ta có EI // BH, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{AI}{AH} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
Xét ∆ABC ta có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{MN}{30},\) vậy \(MN = \displaystyle\frac{30.1}{3} = 10\)
Xét ∆ABC ta có EF // BC, theo hệ quả của định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{EF}{BC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{EF}{30},\) vậy \(EF = \displaystyle\frac{30.2}{3} = 20\)
Vậy \(EF = 10\ cm;\ MN = 20\ cm\).
b) Đổi \(10,8\ dm^{2}=1080\ cm^{2}\)
MN // BC mà AH ⊥ BC nên AK ⊥ MN hay AK là đường cao của tam giác AMN.
Ta có \(AK =\displaystyle\frac{1}{3}AH\)
\(\displaystyle\frac{MN}{BC}=\displaystyle\frac{AK}{AH}=\displaystyle\frac{1}{3}\) suy ra \(MN=\displaystyle\frac{1}{3}BC.\)
Suy ra \(S_{AMN}=\displaystyle\frac{1}{2}AK.MN\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{1}{3}AH.\displaystyle\frac{1}{3}BC\) \(=\displaystyle\frac{1}{9}(\displaystyle\frac{1}{2}AH.BC)\)
Hay \(S_{AMN}=\displaystyle\frac{1}{9}S_{ABC}=120cm^{2}\)
Tương tự, ta có: \(S_{AEF}=\displaystyle\frac{4}{9}S_{ABC}=480\ cm^{2}\)
Do đó \(S_{MNEF}=S_{AEF}-S_{AMN}\) \(=480-120=360\ cm^{2}.\)
\(\)
13. Tính độ dài x trong Hình 8.
Giải
a) Tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{{AM}}{{MB}} = \displaystyle\frac{{AN}}{{NC}},\) suy ra \(\displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{x}{7},\) vậy \(x = \displaystyle\frac{{2.7}}{4} = 3,5.\)
b) Ta có: CA ⊥ BD, DE ⊥ BD nên AC // DE.
Tam giác BDE có AC // DE, theo định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{{AB}}{{BD}} = \displaystyle\frac{{BC}}{{BE}},\) suy ra \(\displaystyle\frac{3}{x} = \displaystyle\frac{5}{{3,5 + 5}},\) vậy \(x = \displaystyle\frac{{3.(3,5 + 5)}}{5} = 5,1.\)
c) Tam giác HIK có PQ // IK, theo định lí Thalès, ta có:
\(\displaystyle\frac{{HP}}{{HI}} = \displaystyle\frac{{HQ}}{{HK}},\) suy ra \(\displaystyle\frac{x}{8} = \displaystyle\frac{{6,5}}{{6,5 + 3,5}},\) vậy \(x = \displaystyle\frac{{8.6,5}}{{(6,5 + 3,5)}} = 5,2.\)
\(\)
14. Tính độ dài x trong Hình 9.
Giải
a) Xét tam giác ABC có AD là tia phân giác góc A, ta có:
\(\displaystyle\frac{BC}{CD}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{x}{5}=\displaystyle\frac{4,5}{7,2},\) vậy \(x =\displaystyle\frac{5.4,5}{7,2}= 3,125.\)
b) Xét tam giác MNP có MI là phân giác góc M, ta có:
\(\displaystyle\frac{IN}{IP}=\displaystyle\frac{MN}{MP}\) suy ra \(\displaystyle\frac{3}{x-3}=\displaystyle\frac{5}{8,5}\) suy ra \(5x-15 = 25,5,\) vậy \(x = 8,1.\)
\(\)
15. Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại O. Qua O, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại E.
a) Chứng minh FE // BD.
b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại G và đường thẳng song song với AD cắt CD tại H. Chứng minh rằng CG.DH = BG.CH.
Giải
a) Xét tam giác ADC có OF // DC, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{{AF}}{{AD}} = \displaystyle\frac{{AO}}{{AC}}\) (1)
Xét tam giác ABC có OE // BC, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{{AE}}{{AB}} = \displaystyle\frac{{AO}}{{AC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra, \(\displaystyle\frac{{AF}}{{AD}} = \displaystyle\frac{{AE}}{{AB}}\)
Xét tam giác ABD có:
\(\displaystyle\frac{{AF}}{{AD}} = \displaystyle\frac{{AE}}{{AB}}\)
Theo định lí Thales đảo suy ra EF // BD.
b) Xét tam giác ADC có OH // AD, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{{CH}}{{CD}} = \displaystyle\frac{{CO}}{{AC}}\) (3)
Xét tam giác ABC có OG // AB, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{{CG}}{{BC}} = \displaystyle\frac{{CO}}{{AC}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra, \(\displaystyle\frac{{CH}}{{CD}} = \displaystyle\frac{{CG}}{{BC}}\)
Theo định lí Thales đảo suy ra GH // BD.
Xét tam giác BCD có GH // BD, theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{{CH}}{{DH}} = \displaystyle\frac{{CG}}{{BG}} \Rightarrow CH.BG = DH.CG.\)
\(\)
16. Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A cắt BD, BC, DC lần ượt tại E, K, G (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) \(AE^2=EK.EG.\)
b) \(\displaystyle\frac{1}{AE}=\displaystyle\frac{1}{AK}+\displaystyle\frac{1}{AG}.\)
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên:
AD // BC hay AD // BK;
AB // CD hay AB // DG.
Áp dụng định lí Thalès ta có:
Xét tam giác ADE có AD // BK suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{EK}=\displaystyle\frac{ED}{EB}\) (1)
Xét tam giác DEG có AB // DG suy ra \(\displaystyle\frac{ED}{EB}=\displaystyle\frac{EG}{AE}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{EK}=\displaystyle\frac{EG}{AE}.\)
Do đó \(AE^2=EK.EG.\)
b) Xét tam giác ABE có AB // DG suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{AG}=\displaystyle\frac{BE}{BD};\)
Xét tam giác ADE có AD // BK suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{AK}=\displaystyle\frac{DE}{DB}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{AG}+\displaystyle\frac{AE}{AK}=\displaystyle\frac{BE}{BD}+\displaystyle\frac{DE}{BD}=\displaystyle\frac{BD}{BD}=1\)
\(\displaystyle\frac{AE}{AG}+\displaystyle\frac{AE}{AK}=1\) chia hai vế cho AE ta có: \(\displaystyle\frac{1}{AG}+\displaystyle\frac{1}{AK}=\displaystyle\frac{1}{AE}.\)
\(\)
17. a) Quan sát Hình 11, chứng minh AK là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.
b) Dựa vào kết quả của câu a, hãy nêu cách vẽ đường phân giác của một góc trong tam giác bằng đường kẻ và êke.
Giải
a) Vì AK ⊥ HA, BD ⊥ HA suy ra AK // BD.
Xét tam giác BCD có AK // BD, theo định lí Thales ta có:
\(\displaystyle\frac{{KC}}{{KB}} = \displaystyle\frac{{AC}}{{AD}}\).
Mà \(AD = AB\) (gt), nên \(\displaystyle\frac{{KC}}{{KB}} = \displaystyle\frac{{AC}}{{AB}}\).
Xét tam giác ABC ta có:
\(\displaystyle\frac{{KC}}{{KB}} = \displaystyle\frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AK\) là đường phân giác của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\).
b) Vẽ đường phân giác của một góc trong tam giác bằng thước kẻ và eke.
Giả sử ta vẽ đường phân giác góc \(A\) của tam giác ABC.
Bước 1: Trên tia đối của tia AC lầy điểm D sao cho AD = AC;
Bước 2: Vẽ AH vuông góc với BD;
Bước 3: Vẽ AK vuông góc với AH tại A.
Bước 4: Khi đó, AK là đường phân giác góc A trong tam giác ABC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1. Hai tam giác đồng dạng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
