Bài tập cuối chương 4

Bài tập cuối chương 4 trang 78 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

15. Cho một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a (cm) và chiều cao bằng 3a (cm). Thể tích của hình chóp đó là:

A. \(3a^3\ (cm^2).\)

B. \(a^3\ (cm^2).\)

C. \(3a^3\ (dm^3).\)

D. \(a^3\ (cm^3).\)

Giải

Thể tích hình chóp tứ giác đều:

\(V = \displaystyle\frac{1}{3}.S.h= \displaystyle\frac{1}{3}.(a.a).3a = a^3\ (cm^3).\)

Chọn đáp án D.

\(\)

16. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài trung đoạn bằng \(x\) (dm) và độ dài cạnh đáy bằng \(2x\) (dm). Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

A. \({x^2}\ (dm^2).\)

B. \(2{x^2}\ (dm^2).\)

C. \(3{x^2}\ (dm^2).\)

D. \(4{x^2}\ (dm^2).\)

Giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều:

\({S_{xq}} = \displaystyle\frac{1}{2}.C.d= \displaystyle\frac{1}{2}.(2x.3).x = 3x^2\ (dm^2).\)

Chọn đáp án C.

\(\)

17. Trong những miếng bìa ở các hình 13a, 13b, 13c, 13d,13e, 13g, miếng bìa nào không gấp lại (theo các nét nứt) để được hình chóp tam giác đều hoặc hình chóp tứ giác đều?

Giải

Miếng bìa ở Hình 13b và Hình 13d không gấp lại (theo các nét đứt) để được hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều.

\(\)

18. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Đường cao kẻ từ đỉnh trong mỗi mặt bên của hình chóp tứ giác đều được gọi là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều đó.

b) Hình chóp tam giác đều là hình chóp có mặt đáy là tam giác vuông.

c) Mỗi mặt bên của hình chóp tam giác đều là tam giác cân.

d) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông.

Giải

Hình chóp tam giác đều là hình chóp có mặt đáy là tam giác đều.

Phát biểu b là phát biểu sai.

\(\)

19. Cho hình chóp tam giác đều có thể tích bằng \(32\sqrt{3}\ cm^3\) và diện tích đáy bằng \(4\sqrt{3}\ cm^2\). Tính chiều cao của hình chóp tam giác đều đó.

Giải

Áp dụng công thức \(V = \displaystyle\frac{1}{3}.S.h\), trong đó \(V\) là thể tích \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp tam giác đều ta có: \(32\sqrt{3} = \displaystyle\frac{1}{3}.4\sqrt{3} .h\)

Suy ra \(h = 24\ (cm).\)

Vậy chiều cao của hình chóp tam giác đều đó là \(24\ cm.\)

\(\)

20. Cho hai hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) và \(S’.A’B’C’\) lần lượt có độ dài cạnh đáy là \(a\) và \(a’\), độ dài trung đoạn là \(d\) và \(d’.\) Tính tỉ số giữa \(d\) và \(d’,\) biết diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S’.A’B’C’\ (k \ne 0)\) và \(a = 2a’.\) Biết rằng \(a,\ a’,\ d,\ d’\) cùng đơn vị đo.

Giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(3a).d = \displaystyle\frac{1}{2}.3.2a’.d = 3a’d.\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S’.A’B’C’\) là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(3a’).d’ = \displaystyle\frac{3}{2}a’d’.\)

Do diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S’.A’B’C’\) nên \(3a’d = k.\displaystyle\frac{3}{2}a’d’\). Suy ra \(\displaystyle\frac{d}{{d’}} = \displaystyle\frac{k}{2}\).

Vậy tỉ số giữa \(d\) và \(d’\) là \(\displaystyle\frac{k}{2}.\)

\(\)

21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ EK vuông góc với SF tại K (Hình 14). Biết AB = EF = 13 cm, SH = EK. Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp tứ giác đều đó.

Giải

Ta có diện tích của tam giác \(SEF\) bằng:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.SH.EF = \displaystyle\frac{1}{2}.EK.SF.\)

Mà \(SH = EK,\) suy ra \(SF = EF = 13\ cm\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.\left( {13.4} \right).13 = 338\ (cm^2).\)

Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là: \({13^2} = 169\ (cm^2).\)

Tổng diện tích các mặt của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là: \(338 + 169 = 507\ (cm^2).\).

\(\)

22. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở mỗi hình 15a, 15b:

Giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở hình 15a là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(6.4).5 = 60\ (cm^2).\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở hình 15b là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(10.4).13 = 260\ (cm^2).\)

\(\)

23. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao?

a) Nếu độ dài trung đoạn của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và độ dài cạnh đáy không đổi thì diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

b) Nếu độ dài cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và chiều cao không đổi thì thể tích của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

Giải

Gọi độ dài cạnh đáy, độ dài trung đoạn, chiều cao ban đầu của một hình chóp tứ giác đều lần lượt là \(a,\ d,\ h\) (cùng đơn vị đo, \(a > 0,\ d > 0,\ h > 0\)).

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu là: \(\displaystyle\frac{1}{2}.4a.d = 2ad.\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới là: \(\displaystyle\frac{1}{2}.4a.nd = n.2ad.\)

Do đó, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới gấp \(n\) lần diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu a là đúng.

b) Thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu là:

\(\displaystyle\frac{1}{3}.a.a.h = \displaystyle\frac{1}{3}.{a^2}.h\)

Thể tích của hình chóp tứ giác đều mới là:

\(\displaystyle\frac{1}{3}.na.na.h = {n^2}.\displaystyle\frac{1}{3}{a^2}h.\)

Do đó, thể tích của hình chóp tứ giác đều mới gấp \({n^2}\) lần thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu b là sai.

\(\)

24. Cho một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng chiều cao. Chứng minh thể tích của hình chóp tứ giác đều đó bằng một phần ba thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều đó.

Giải

Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình chóp tứ giác đều là \(a\ (a>0).\)

Do hình lập phương có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nên độ dài cạnh của hình lập phương là \(a.\)

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là: \(\displaystyle\frac{1}{3}.{a^2}.a = \displaystyle\frac{1}{3}.{a^3}.\)

Thể tích của hình lập phương là \({a^3}.\)

Vậy thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba thể tích của hình lập phương.

\(\)

25. Cho hai hình chóp đều A.BCDE và F.BCDE lần lượt có chiều cao là AO và FO (Hình 16). Tính tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE biết FO = k.AO (k > 0).

Giải

Thể tích của hình chóp tứ giác đều \(A.BCDE\) là: \(\displaystyle\frac{1}{3}.BC^2.AO.\)

Thể tích của hình chóp tứ giác đều \(F.BCDE\) là:

\(\displaystyle\frac{1}{3}.BC^2.FO=\displaystyle\frac{1}{3}.BC^2.k.AO=k.\displaystyle\frac{1}{3}.BC^2.AO\)

Vậy tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác đều \(A.BCDE\) và \(F.BCDE\) là \(\displaystyle\frac{1}{k}.\)

\(\)

26. Hình 17 mô tả một khối bê tông mác 200 dùng trong việc xây cầu. Khối bê tông đó gồm hai phần: phần dưới có dạng hình lập phương với độ dài cạnh bằng 1 m, phần trên có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao bằng 0,6 m. Cần phải chuẩn bị bao nhiêu tấn xi măng và bao nhiêu mét khối nước để làm khối bê tông đó? Biết rằng 1 m³ bê tông mác 200 cần khoảng 350,55 kg xi măng và 185 lít nước.