Chương 7 – Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên trang 83 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
52. Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B ≠ O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng Oy trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat{xOy}\) là góc nhọn;
b) \(\widehat{xOy}\) là góc vuông;
c) \(\widehat{xOy}\) là góc tù.
Giải
a) \(\widehat{xOy}\) là góc nhọn
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-126-e1688817272129.png)
b) \(\widehat{xOy}\) là góc vuông
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-127-e1688817263234.png)
c) \(\widehat{xOy}\) là góc tù
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-128-e1688817256754.png)
\(\)
53. Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
a) BH = CH;
b) MB = MC;
c) MA < AC.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-129-e1688817248267.png)
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o),\)
BA = AC (chứng minh trên),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Vậy BH = CH.
b) Vì ∆ABH = ∆ACH nên \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác AMB và AMC có:
BA = AC (chứng minh câu a);
\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) (do \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\));
AM là cạnh chung.
Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Do đó BM = CM (hai cạnh tương ứng).
c) Vì \(\widehat{AMC}\) là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M
Nên \(\widehat{AMC}=\widehat{MHC}+\widehat{MCH}\)
Mà \(\widehat{MHC}=90^o\) nên \(\widehat{AMC}\) là góc tù
Xét tam giác AMC có \(\widehat{AMC}\) là góc tù
Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vậy MC < AC.
\(\)
54. Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC tùy ý (Hình 40).
a) So sánh độ dài AH và AB, AH và AC.
b) Chứng minh: Nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-130-e1688817240552.png)
a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AB.
Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AC.
Vậy AH < AB và AH < AC.
b) Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o);\)
AB = AC (giả thiết);
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o);\)
BH = CH (giả thiết);
AH là cạnh chung.
Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
\(\)
55. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.
a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.
b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.
c) Chứng minh BE + BF > 2AB.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-132-e1688817230837.png)
c) Xét hai tam giác MAE và MCF có:
\(\widehat{AEM}=\widehat{CFM}\ (=90^o);\)
MA = MC (vì M là trung điểm của AC);
\(\widehat{AME}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)
Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).
Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC
Suy ra AB < BM.
Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
AB + AB < BE + EM + BF – MF
Mà ME = MF
Do đó 2AB < BE + BF.
Vậy BE + BF > 2AB.
\(\)
56. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN};\)
b) CN = MA;
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-134-e1688817222124.png)
a) Xét ∆MAB vuôg tại M có:
\(\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Ta có \(\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180^o\)
Suy ra \(\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180^o-\widehat{BAC}=90^o\)
Lại có \(\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^o\)
Suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}.\)
Vậy \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}.\)
b) Xét hai tam giác MAB và NCA có:
\(\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\ (=90^o),\)
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
\(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}.\)
Lại có \(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=180^o−90^o2=45^o.\)
Nếu a // BC thì \(\widehat{MAB}=\widehat{ABC}\) (so le trong).
Do đó \(\widehat{MAB}=45^o.\)
Xét ∆ABM có: \(widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat{MBA}=180^o−\widehat{AMB}−\widehat{MAB}\) \(=180^o-90^o-45^o=45^o.\)
Do đó \widehat{MAB}=\widehat{MBA} (cùng bằng \(45^o\)).
Xét ∆AMB có \widehat{AMB}=90^o và \widehat{MAB}=\widehat{MBA} nên DAMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
Nếu a // BC thì \(\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45^o\) (so le trong)
Xét ∆ABM có: \(\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat{ACN}=180^o-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}\) \(=180^o-90^o-45^o=45^o.\)
Do đó \(\widehat{ACN}=\widehat{CAN}\) (cùng bằng \(45^o\)).
Xét ∆ANC có \(\widehat{ANC}=90^o\) và \(\widehat{ACN}=\widehat{CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.
\(\)
57. Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-135-e1688817214296.png)
Kẻ DH ⊥ BC.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}.\)
Xét hai tam giác vuông DAB và DHB có:
BD là cạnh chung,
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (chứng minh trên)
Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.
Vậy AD < DC.
\(\)
58. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Qua C kẻ tia Cx vuông góc với AC cắt BD tại M.
a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.
b) So sánh độ dài CM và AC.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-25-136-e1688817206243.png)
a) Vì ∆ABD vuông tại A nên \(\widehat{B_1}+\widehat{D_1}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (do BD là tia phân giác của góc ABC) và \(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (đối đỉnh).
Nên \(\widehat{B_2}+\widehat{D_2}=90^o.\)
Vì ∆CDM vuông tại C nên \(\widehat{M}+\widehat{D_2}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{M}=\widehat{B_2}.\)
Do đó tam giác CBM cân tại C.
Vậy tam giác CBM cân tại C.
b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)
Nên CM = BC.
Vì ∆ABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra CM > AC.
Vậy CM > AC.
\(\)
59. Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax (Hình 41). Chứng minh:
a) BH + CK ≤ BC.
b) Nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
Giải
a) Vì ∆BHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Vì ∆CKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.
Vậy BH + CK ≤ BC.
b) Ta có BH + CK ≤ BC.
Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC
Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.
Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE
Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax
Hay BC ⊥ Ax.
Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 7: Tam giác cân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/10/hadd.png)