Chương 7 – Bài 7: Tam giác cân trang 83 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
43. Tìm các tam giác cân trên Hình 35. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đáy, góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân đó.
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-6-e1689397431699.png)
Giải
Tên tam giác cân | Cạnh bên | Cạnh đáy | Góc ở đáy | Góc ở đỉnh |
\(∆ADE\) | \(AD,\ AE\) | \(DE\) | \(\widehat{ADE},\ \widehat{AED}\) | \(\widehat{DAE}\) |
\(∆ABC\) | \(AB,\ AC\) | \(BC\) | \(\widehat{ABC},\ \widehat{ACB}\) | \(\widehat{BAC}\) |
\(∆AHC\) | \(AC,\ AH\) | \(CH\) | \(\widehat{ACH},\ \widehat{AHC}\) | \(\widehat{HAC}\) |
\(\)
44. Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại E và cắt tia DC tại F.
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-7-e1689397424603.png)
a) Chứng minh các tam giác ABE, CEF, DAF là các tam giác cân.
b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADF, biết \(\widehat{BAD}=60^o.\)
Giải
a) Vì AE là tia phân giác của \(\widehat{BAD}\) nên \(\widehat{BAE}=\widehat{EAD}.\)
Vì BC // AD nên \(\widehat{BEA}=\widehat{EAD}\) (so le trong)
Do đó \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}.\)
Suy ra tam giác ABE cân tại B.
Vì AB // CD nên \(\widehat{BAE}=\widehat{F}\) (so le trong).
Mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\) (chứng minh trên), \(\widehat{CEF}=\widehat{BEA}\) (đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat{CEF}=\widehat{F}.\)
Nên tam giác CEF cân tại C.
Ta có \(\widehat{BAF}=\widehat{DAF}\) và \(\widehat{BAF}=\widehat{DFA}\) nên \(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}.\)
Do đó tam giác DAF cân tại D.
Vậy ∆ABE cân tại B, ∆CEF cân tại C, ∆DAF cân tại D.
b) Do AB // CD nên \(\widehat{BAD}+\widehat{ADF}=180^o\) (hai góc trong cùng phía).
Suy ra \(\widehat{ADF}=180^o-\widehat{BAD}=180^o-60^o=120^o.\)
Xét ∆ADF có \(\widehat{ADF}+\widehat{DFA}+\widehat{DAF}=180^o\)
Mà \(\widehat{ADF}=120^o,\ \widehat{DAF}=\widehat{DFA}.\)
Nên \(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ADF}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-120^o}{2}=30^o.\)
\(\)
45. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=56^o.\) Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABM.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-8-e1689397416791.png)
Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\).
Xét tam giác ABC có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)
Do đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180-\widehat{BAC}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-56^o}{2}=62^o.\)
Ta có \(\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^o\) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat{ACM}=180^o-\widehat{ACB}=180^o-62^o=118^o.\)
Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.
Suy ra \(\widehat{CAM}=\widehat{CMA}.\)
Xét ∆AMC có: \(\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{MAC}=180^o\)
Do đó \(\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ACM}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-118^o}{2}=31^o.\)
Ta có \(\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=56^o+31^o=87^o.\)
\(\)
46. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-9-e1689397408285.png)
Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.
Suy ra \(\widehat{IBA}=\widehat{IAB}.\)
Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.
Suy ra \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}.\)
Xét ∆ABC có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^o\)
Hay \(\widehat{BAC}+\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=2\widehat{BAC}=180^o.\)
Do đó \(\widehat{BAC}=90^o.\)
\(\)
47. Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-10-e1689397401608.png)
Tam giác MNP cân tại P nên PM = PN, \(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}.\)
Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.
Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).
Suy ra AM = BN.
Xét hai tam giác AMN và BNM có:
AM = BN (chứng minh trên),
MN là cạnh chung,
\(\widehat{AMN}=\widehat{BNM}\) (do \(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\))
Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{BMN}\) (hai góc tương ứng).
Hay \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}.\)
Do đó tam giác ONM cân tại O.
Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.
\(\)
48. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=120^o.\) Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.
a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.
b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-11-e1689397393776.png)
a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.
Suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)
Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.
Suy ra \(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}.\)
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)
Xét ∆ABC có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^o\)
Mà \(\widehat{BAC}=120^o\) (giả thiết), \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)
Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-120^o}{2}=30^o.\)
Xét ∆ABD có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=180^o\)
Mà \(\widehat{ABD}=30^o,\ \widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)
Suy ra \(\widehat{ADB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ABD}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-30^o}{2}=75^o.\)
Xét ∆ACE có: \(\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180^o \)
Mà \(\widehat{ACE}=30^o,\ \widehat{CAE}=\widehat{CEA}.\)
Suy ra \(\widehat{AEC}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ACE}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-30^o}{2}=75^o.\)
Xét tam giác ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (cùng bằng \(75^o\)).
Suy ra tam giác AED cân tại A.
b) Xét ∆ADE có: \(\widehat{DAE}=180^o-\widehat{ADE}-\widehat{AED}\) \(=180^o-75^o-75^o=30^o.\)
Vậy ∆ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=75^o, \widehat{EAD}=30^o.\)
\(\)
49. Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90^o.\)
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-12-e1689397383302.png)
a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.
b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
c) Chứng minh DC = BE.
Giải
a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90^o\) (giả thiết);
AB = AC (giả thiết);
BD = CE (giả thiết).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).
Vậy tam giác AED cân tại A.
b) Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.
Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^o.\)
Vì AC = CE , \(\widehat{ACE}=90^o\) (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.
Suy ra \(\widehat{CEA}=\widehat{CAE}=(180^o-90^o):2=45^o.\)
Vì AB = BD , \(\widehat{ABD}=90^o\) (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.
Suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=(180^o-90^o):2=45^o.\)
Ta có \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}\) \(=45^o+60^o+45^o=150^o.\)
Vì tam giác AED cân tại A nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}.\)
Xét ∆ADE có: \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^o.\)
Mà \(\widehat{EAD}=150^o,\ \widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
Suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=(180^o-150^o):2=15^o.\)
Vậy ∆ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=15^o,\widehat{EAD}=150^o.\)
c) Ta có \(\widehat{DBC}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=60^o+90^o=150^o.\)
\(\widehat{BCE}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=60^o+90^o=150^o.\)
Xét hai tam giác CBD và BCE có:
BC là cạnh chung;
\(\widehat{DBC}=\widehat{BCE}\) (cùng bằng 150^o);
BD = CE (giả thiết).
Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).
Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng).
\(\)
50. Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-13-e1689397309415.png)
Vì tam giác ABC đều (giả thiết)
Nên AB = BC = AC và \(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=60^o.\)
Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC
Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.
Suy ra AE = BF = CD.
Xét hai tam giác ADE và BEF có:
AD = BE (giả thiết),
\(\widehat{DAE}=\widehat{FBE}\) (cùng bằng \(60^o\)),
AE = BF (chứng minh trên).
Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).
Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác CFD và BEF có:
CF = BE (giả thiết);
\(\widehat{FCD}=\widehat{EBF}\) (cùng bằng \(60^o\));
CD = BF (chứng minh trên).
Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).
Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.
Do đó tam giác DFE là tam giác đều.
\(\)
51*. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Giải
![](https://d3vsi0o2kzr5hx.cloudfront.net/2023/07/image-28-14-e1689397299859.png)
Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên \(\widehat{KDO}=\widehat{OEC}\) (so le trong).
Xét hai tam giác OKD và OCE có:
\(\widehat{KDO}=\widehat{OEC}\) (chứng minh trên),
OD = OE (giả thiết),
\(\widehat{DOK}=\widehat{EOC}\) (đối đỉnh).
Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).
Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).
Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.
Suy ra \(\widehat{DBK}=\widehat{DKB}\) (1)
Do DK // AC nên \(\widehat{DKB}=\widehat{ACB}\) (hai góc đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc
Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/10/hadd.png)