Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Chương 8 – Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác trang 81 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho Hình 74.

a) Chứng minh ∆ABC ∽ ∆MNP.

b) Góc nào của tam giác MNP bằng góc B?

c) Góc nào của tam giác ABC bằng góc P?

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{4}{3};\ \displaystyle\frac{CA}{PM}=\displaystyle\frac{5}{3,75}=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{CA}{PM}\) mà \(\widehat{A} =\widehat{M} =60^o.\)

Do đó ∆ABC ∽ ∆MNP.

b) Vì ∆ABC∽∆MNP (chứng minh ở câu a) nên \(\widehat{N}=\widehat{B}.\)

c) Vì ∆ABC∽∆MNP (chứng minh ở câu a) nên \(\widehat{C}=\widehat{P}.\)

\(\)

2. Cho Hình 75, chứng minh:

a) ∆IAB ∽ ∆IDC;

b) ∆IAD ∽ ∆IBC.

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{IA}{ID}=\displaystyle\frac{2}{4}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{IB}{IC}=\displaystyle\frac{3,5}{7}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{IA}{ID}=\displaystyle\frac{IB}{IC}.\)

Mà \(\widehat{AIB}=\widehat{DIC}\) (đối đỉnh)

Do đó ∆IAB ∽ ∆IDC.

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{IA}{IB}=\displaystyle\frac{2}{3,5}=\displaystyle\frac{4}{7};\) \(\displaystyle\frac{ID}{IC}=\displaystyle\frac{4}{7}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{IA}{IB}=\displaystyle\frac{ID}{IC}.\)

Mà \(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\) (đối đỉnh)

Do đó ∆IAD ∽ ∆IBC.

\(\)

3. Cho Hình 76, biết AB = 4, BC = 3, BE = 2, BD = 6. Chứng minh:

a) ∆ABD ∽ ∆EBC;

b) \(\widehat{DAB}=\widehat{DEG};\)

c) Tam giác DGE vuông.

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{AB}{EB}=\displaystyle\frac{4}{2}=2;\ \displaystyle\frac{BD}{BC}=\displaystyle\frac{6}{3}=2.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{EB}=\displaystyle\frac{BD}{BC}\)

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}=90^o\)

Do đó ∆ABD ∽ ∆EBC.

b) Vì ∆ABD ∽ ∆EBC nên \(\widehat{DAB}=\widehat{CEB}.\)

Mà \(\widehat{CEB}=\widehat{DEG}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat{DAB}=\widehat{DEG}.\)

c) Tam giác DAB vuông tại B có: \(\widehat{DAB}+\widehat{D}=90^o\)

Mà \(\widehat{DAB}=\widehat{DEG}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat{DEG}+\widehat{D}=90^o\) hay \(\widehat{DGE}=90^o.\)

Do đó Tam giác DGE vuông tại G.

\(\)

4. Cho Hình 77, chứng minh:

a) \(\widehat{ABC}=\widehat{BED};\)

b) BC ⊥ BE.

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{AB}{DE}=\displaystyle\frac{2}{4}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{AC}{DB}=\displaystyle\frac{2,5}{5}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{DE}=\displaystyle\frac{AC}{DB}\)

Mà \(\widehat{A} =\widehat{D} =90^o\)

Do đó ∆ABC ∽ ∆DEB.

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{BED}.\)

b) Tam giác BED vuông tại D có: \(\widehat{BED}+\widehat{DBE}=90^o.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{BED}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat{ABC}+\widehat{DBE}=90^o.\)

Mà \(\widehat{CBE}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{DBE}.\)

Do đó \(\widehat{CBE}=90^o.\)

Hay BC ⊥ BE.

\(\)

5. Cho ∆ABC ∽ ∆MNP.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh ∆ABD ∽ ∆MNQ.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh ∆ABG ∽ ∆MNK.

Giải

a) Vì ∆ABC ∽ ∆MNP suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{BC}{NP}\) và \(\widehat{B} =\widehat{N}.\)

Mà BC = 2BD (D là trung điểm BC); NP = 2NQ (Q là trung điểm NP)

Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{BD}{NQ}\) và \(\widehat{B} =\widehat{N}.\)

Suy ra ∆ABD ∽ ∆MNQ.

b) Vì ∆ABD ∽ ∆MNQ suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{AD}{MQ}\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}\)

Mà \(AD = \displaystyle\frac{3}{2}AG\) (G là trọng tâm tam giác ABC); \(MQ = \displaystyle\frac{3}{2}MK\) (K là trọng tâm tam giác MNP)

Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{AG}{MK}\) và \(\widehat{BAG}=\widehat{NMK}\)

Suy ra ∆ABG ∽ ∆MNK.

\(\)

6. Cho Hình 78, biết \(AH^2 = BH.CH.\) Chứng minh:

a) ∆HAB ∽ ∆HCA;

b) Tam giác ABC vuông tại A.

Giải

a) Ta có: \(AH^2 = BH.CH\) hay \(\displaystyle\frac{AH}{CH}=\displaystyle\frac{BH}{AH}.\)

Xét tam giác HAB và tam giác HCA có:

\(\displaystyle\frac{AH}{CH}=\displaystyle\frac{BH}{AH}\) và \(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o\)

Do đó ∆HAB ∽ ∆HCA.

b) Do ∆HAB ∽ ∆HCA nên \(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\) (1)

Tam giác HAC vuông tại H có: \(\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90^o\)

Do đó \(\widehat{BAC}=90^o\)

Nên tam giác ABC vuông tại A.

\(\)

7. Đố. Chỉ sử dụng thước thẳng có chia đơn vị đến milimét và thước đo góc, làm thế nào đo được khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế, biết rằng có vị trí A thỏa mãn AB = 20 m, AC = 50 m, \(\widehat{BAC}=135^o.\)

Bạn Vy làm như sau: Vẽ tam giác A’B’C’ có A’B’ = 2 cm, A’C’ = 5 cm, \(\widehat{B’A’C’}=135^o.\) Bạn Vy lấy thước đo khoảng cách giữa hai điểm B’, C’ và nhận được kết quả B’C’ ≈ 6,6 cm. Từ đó, bạn Vy kết luận khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66 m. Em hãy giải thích tại sao bạn Vy có thể kết luận như vậy.

Giải

Đổi \(20\ m = 2000\ cm;\ 50\ m = 5000\ cm\)

Ta có: \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{2000}{2}=1000; \displaystyle\frac{AC}{A’C’}=\displaystyle\frac{5000}{5}=1000\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}\)

Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

\(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{B’A’C’}=135^o.\)

Do đó ∆ABC ∽ ∆A’B’C’.

Suy ra \(\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=1000\) mà \(B’C’ ≈ 6,6\ cm\)

Do đó \(BC ≈ 6600\ cm\) hay \(66\ m.\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác