Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Chương 7 – Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc trang 91 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(1.\) Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) thỏa mãn: \(AB = A’B’,\) \(\widehat{A} =\widehat{A’},\) \(\widehat{C} =\widehat{C’}.\) Hai tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) có bằng nhau không? Vì sao?

Giải

Xét tam giác \(ABC:\) \(\widehat{B} =180^o-\widehat{A} -\widehat{C}.\)

Xét tam giác \(A’B’C’:\) \(\widehat{B’} =180^o-\widehat{A’} -\widehat{C’}.\)

Mà \(\widehat{A} =\widehat{A’},\ \widehat{C} =\widehat{C’}\) nên \(\widehat{B} =\widehat{B’}.\)

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) có:

\(\widehat{A} =\widehat{A’}\) (giả thiết);

\(AB = A’B’\) (giả thiết);

\(\widehat{B} =\widehat{B’}\) (chứng minh trên).

Suy ra \(∆ABC = ∆A’B’C’\) (g.c.g).

\(\)

\(2.\) Cho Hình 65 có \(AM = BN,\) \(\widehat{A} =\widehat{B}.\) Chứng minh: \(OA = OB,\) \(OM = ON.\)

Giải

Xét \(∆AOM\) có: \(\widehat{OMA} =180^o-\widehat{OAM}-\widehat{AOM}.\)

Xét \(∆BON\) có: \(\widehat{ONB} =180^o-\widehat{OBN}-\widehat{BON}.\)

Mà \(\widehat{OAM} =\widehat{OBN}\) (giả thiết), \(\widehat{AOM} =\widehat{BON}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó \(\widehat{OMA} =\widehat{ONB}.\)

Xét hai tam giác \(AOM\) và \(BON,\) ta có:

\(\widehat{OAM} =\widehat{OBN}\) (giả thiết);

\(AM = BN\) (giả thiết);

\(\widehat{OMA} =\widehat{ONB}\) (chứng minh trên).

Suy ra \(∆AOM = ∆BON\) (g.c.g).

Do đó \(OA = OB\) và \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng).

\(\)

\(3.\) Cho Hình 66 có \(\widehat{N} =\widehat{P} =90^o,\) \(\widehat{PMQ} =\widehat{NQM}.\) Chứng minh \(MN = QP,\) \(MP = QN.\)

Giải

Xét hai tam giác vuông MNQ và QPM, ta có:

\(\widehat{PMQ} =\widehat{NQM}\) (giả thiết).

MQ là cạnh chung.

Suy ra \(∆MNQ = ∆QPM\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó MN = QP và MP = QN (hai cạnh tương ứng).

\(\)

\(4.\) Cho Hình 67 có \(\widehat{AHD} =\widehat{BKC} =90^o,\) \(DH = CK,\) \(\widehat{DAB} =\widehat{CBA}.\) Chứng minh \(AD = BC.\)

Giải

\(\widehat{DAB}+\widehat{HAD}=180^o\) (hai góc kề bù) \(⇒\widehat{HAD}=180^o-\widehat{DAB}\)

\(\widehat{CBA}+\widehat{KBC}=180^o\) (hai góc kề bù) \(⇒\widehat{KBC}=180^o-\widehat{CBA}\)

Mà \(\widehat{DAB} =\widehat{CBA}\) nên \(\widehat{HAD} =\widehat{KBC}.\)

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

\(\widehat{HAD} =\widehat{KBC}\) (chứng minh trên);

DH = CK (giả thiết);

Suy ra \(∆AHD = ∆BKC\) (hai cạnh góc vuông).

Do đó AD = BC (hai cạnh tương ứng).

\(\)

\(5.\) Cho tam giác ABC có \(\widehat{B} >\widehat{C}.\) Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.

a) Chứng minh \(\widehat{ADB} <\widehat{ADC}.\)

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho \(\widehat{ADx} =\widehat{ADB}.\) Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: \(∆ABD = ∆AED,\) \(AB < AC.\)

Giải

a) \(\widehat{ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ADC nên \(\widehat{ADB} =\widehat{DAC} +\widehat{ACD}.\)

\(\widehat{ADC}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ADB nên \(\widehat{ADC} =\widehat{DAB} +\widehat{ABD}.\)

Do AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{DAB} =\widehat{DAC}.\)

Mà \(\widehat{ABD} >\widehat{ACD}\) nên \(\widehat{DAC} +\widehat{ACD} <\widehat{DAB} +\widehat{ABD}\) hay \(\widehat{ADB} <\widehat{ADC}.\)

b) Xét hai tam giác ABD và AED, ta có:

\(\widehat{DAB} =\widehat{DAE}\) (chứng minh trên);

AD là cạnh chung;

\(\widehat{ADB} =\widehat{ADE}\) (giả thiết).

Suy ra \(∆ABD = ∆AED\) (g.c.g).

Do đó \(AB = AE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AE < AC\) nên \(AB < AC.\)

Vậy \(∆ABD = ∆AED\) và \(AB < AC.\)

\(\)

\(6.\) Cho \(∆ABC = ∆MNP.\) Tia phân giác của góc \(BAC\) và \(NMP\) lần lượt cắt các cạnh \(BC\) và \(NP\) tại \(D,\ Q.\) Chứng minh \(AD = MQ.\)

Giải