Bài 6. Hình thoi

Chương 5 – Bài 6. Hình thoi trang 99 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

26. Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.

Giải

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) vuông góc với \(BD\) tại trung điểm \(O\) của \(BD.\)

Suy ra \(AC\) là đường trung trực của \(BD.\) Do đó \(BM = DM,\ BN = DN.\)

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(BA = BC,\ \widehat {BAE} = \widehat {BCF}.\)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta BCF\) (cạnh huyền – góc nhọn kề). Suy ra \(BM = BN.\)

Do đó \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}.\) Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD},\) suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}.\)

\(\Delta MBO = \Delta NBO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). suy ra \(BM = BN.\)

Mà \(BM = DM\) và \(BN = DN,\) suy ra \(BM = DM = BN = DN.\)

Tứ giác \(BMDN\) có \(BM = DM = BN = DN\) nên \(BMDN\) là hình thoi.

\(\)

27. Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(\displaystyle\frac{{18}}{5}\ m\) và \(\displaystyle\frac{{27}}{{10}}\ m.\) Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.

Giải

Xét hình thoi \(ABCD\) có \(AC = \displaystyle\frac{{18}}{5}\ m,\) \(BD = \displaystyle\frac{{27}}{{10}}\ m.\)

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\)

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD,\ O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Ta tính được:

\(OA = \displaystyle\frac{{AC}}{2} = \displaystyle\frac{9}{5}\ m;\)

\(OB = \displaystyle\frac{{BD}}{2} = \displaystyle\frac{{27}}{{20}}\ m.\)

Trong tam giác \(OAB\) vuông tại \(O,\) ta có: \(AB^2 = OA^2 + OB^2.\) Suy ra \(AB = \displaystyle\frac{9}{4}\ m.\)

Chu vi của hình thoi \(ABCD\) là: \(4.\displaystyle\frac{9}{4} = 9\ (m).\)

Diện tích của hình thoi \(ABCD\) là: \(\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{{18}}{5}.\displaystyle\frac{{27}}{{10}} = \displaystyle\frac{{243}}{{50}}\ (m^2).\)

\(\)

28. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

a) BN ⊥ CM;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Giải

a) Do tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\) và tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^o.\) Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}.\)

Mà \(BN\) và \(CM\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE},\) suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}.\)

Do tam giác \(CEM\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^o.\)

Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^o\) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^o.\)

Do đó ta tính được \(\widehat {BOM} = 90^o.\)

Vậy \(BN \bot CM.\)

b) \(\Delta BMO = \Delta BHO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(OM = OH.\)

\(\Delta CNO = \Delta CKO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(ON = OK.\)

Tứ giác \(MNHK\) có hai đường chéo \(MH\) và \(NK\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường nên \(MNHK\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(MNHK\) có \(MH \bot NK\) nên \(MNHK\) là hình thoi.

\(\)

29. Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Giải

Gọi \(A\) là giao điểm của đường thẳng \(a\) với tia \(Oy,\) \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(b\) với tia \(Ox.\)

Kẻ \(AH\) vuông góc với \(OB\) tại \(H,\ AK\) vuông góc với \(BM\) tại \(K.\)

Do khoảng cách giữa hai lề của thước là không đổi nên ta có \(AH = AK.\)

Tứ giác \(OAMB\) có \(AM//OB,\ MB//OA\) nên \(OAMB\) là hình bình hành.

Suy ra \(\widehat {AOH} = \widehat {AMK}.\) Do đó \(\widehat {OAH} = \widehat {MAK}.\)

\(\Delta AOH = \Delta AMK\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(OA = AM.\)

Hình bình hành \(OAMB\) có \(OA = AM\) nên \(OAMB\) là hình thoi.

Vậy \(OM\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)

\(\)

30*. Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat B.\) Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^o.\)

a) Chứng minh DH + DK không đổi;

b) Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Giải