Chương 5 – Bài 7. Hình vuông trang 102 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
31. Cho hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O.\) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BC = CK.\) Từ điểm \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt tia \(DC\) tại \(E.\) Gọi \(F\) là trung điểm của \(BE.\)
a) Chứng minh các tứ giác \(BOCF\) và \(BDKE\) đều là hình vuông.
b) Tứ giác \(CDOF\) có thể là hình vuông không? Vì sao?
Giải
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^o,\) \(OB = OC,\) \(\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^o.\)
Ta có: \(\widehat {BOF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {OBF} = 90^o;\) \(\widehat {CBE} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong) nên \(\widehat {CBE} = 45^o.\)
Từ đó ta chứng minh được tam giác \(BDE\) vuông cân tại \(B\) và tam giác \(BCE\) vuông cân tại \(C.\) Suy ra \(BD = BE\) và \(BC = EC.\)
\(\Delta BCF = \Delta ECF\) (c.c.c). Suy ra ta tính được \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^o.\)
Tứ giác \(BOCF\) có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^o\) nên \(BOCF\) là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(BOCF\) có \(OB = OC\) nên \(BOCF\) là hình vuông.
Ta có: \(BC = CD\) và \(BC = CE\) nên \(CD = CE.\)
Tứ giác \(BDKE\) có hai đường chéo \(BK\) và \(DE\) cắt nhau tại trung điểm \(C\) của mỗi đường nên \(BDKE\) là hình bình hành.
Hình bình hành \(BDKE\) có \(\widehat {DBE} = 90^o\)nên \(BDKE\) là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(BDKE\) có \(BD = BE\) nên \(BDKE\) là hình vuông.
b) Tứ giác \(CDOF\) có \(\widehat {ODC} = 45^o\) nên \(CDOF\) không thể là hình vuông.
\(\)
32. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc \(A\) và \(B\) cắt nhau tại \(E.\) Tia phân giác của các góc \(C\) và \(D\) cắt nhau tại \(F.\) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF,\) \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF.\) Chứng minh:
a) \(GH//CD;\)
b) Tứ giác \(GFHE\) là hình vuông.
Giải
a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^o.\)
Mà \(AE,\ BE,\ CF,\ DF\) lần lượt là các tia phân giác của các góc \(DAB,\ ABC,\ BCD,\ CDA\) suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF}\) \(= \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = 45^o.\)
Do đó, các tam giác \(EAB,\ FCD,\ GAD,\ HBC\) đều là tam giác vuông cân.
\(\Delta GAD = \Delta HBC\) (g.c.g). Suy ra \(GD = HC.\) Mà \(FD = FC,\) suy ra \(FG = FH.\)
Do đó, tam giác \(FGH\) vuông cân tại \(F.\) Suy ra \(\widehat {FGH} = 45^o.\)
Ta có: \(\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^o\) và \(\widehat {FGH},\ \widehat {CDF}\) nằm ở vị trí đồng vị nên \(GH//CD.\)
b) \(\widehat {EGF} = \widehat {AGD} = 90^o\) (hai góc đối đỉnh).
Tứ giác \(GFHE\) có \(\widehat {EGF} = \widehat {GFH} = \widehat {HEG} = 90^o\) nên \(GFHE\) là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(GFHE\) có \(FG = FH\) nên \(GFHE\) là hình vuông.
\(\)
33. Cho hình bình hành \(ABCD.\) Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông \(ABEF\) và \(ADGH\) (Hình 26). Chứng minh:
a) \(\Delta AHF = \Delta ADC;\)
b) \(AC \bot HF.\)
Giải
Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(HF.\)
a) Do \(ABEF\) và \(ADGH\) đều là hình vuông nên\(\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^o,\) \(AH = BA,\ AH = DA.\)
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BA = DC.\) Suy ra \(AF = DC.\)
Ta chứng minh được \(\widehat {HAF} + \widehat {DAB} = 180^o\) và \(\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^o.\)
Suy ra \(\widehat {HAF} = \widehat {ADC}\)
Xét hai tam giác \(HAF\) và \(ADC,\) ta có:
\(AH = DA,\ \widehat {HAF} = \widehat {ADC},\ AF = DA.\)
Suy ra \(\Delta HAF = \Delta ADC\) (c.g.c).
b) Ta có: \(\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^o\) và \(\widehat {DAH} = 90^o\) nên \(\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^o.\)
Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {DAC}\) (vì \(\Delta HAF = \Delta ADC\)), suy ra \(\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^o.\)
Trong tam giác \(AHK,\) ta có: \(\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^o.\) Suy ra \(\widehat {AKH} = 90^o.\)
Vậy \(AK \bot HK\) hay \(AC \bot HF.\)
\(\)
34. Cho tam giác \(ABC\) có các đường trung tuyến \(BD,\ CE\) cắt nhau tại \(G.\) Gọi \(F,\ H\) lần lượt là trung điểm của \(BG,\ CG.\)
a) Tứ giác \(EFHD\) là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(EFHD\) là hình vuông.
Giải
a) Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(DG = \displaystyle\frac{1}{2}BG,\) \(EG = \displaystyle\frac{1}{2}CG.\)
Mà \(F,\ H\) lần lượt là trung điểm của \(BG,\ CG\) nên \(DG = BF = FG,\) \(EG = CH = HG.\)
Tứ giác \(EFHG\) có hai đường chéo \(EH\) và \(DF\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(EFHG\) là hình bình hành.
b) Để hình bình hành \(EFHG\) là hình vuông thì \(EH = DF\) và \(EH \bot DF.\)
Suy ra \(BG = CG,\ EG = DG\) và \(BD \bot CE.\)
\(\Delta BEG = \Delta CDG\) (c.g.c). Suy ra \(BE = CD.\) Mà \(AB = 2BE,\ AC = 2CD,\) suy ra \(AB = AC.\)
Dễ thấy nếu \(AB = AC\) và \(BD \bot CE\) thì tứ giác \(EFHG\) là hình vuông.
Vậy tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường trung tuyến \(BD,\) \(CE\) vuông góc với nhau thì tứ giác \(EFHG\) là hình vuông.
\(\)
35. Cho hình vuông \(ABCD\) có \(AB = 12\ cm.\) Trên cạnh \(CD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = 5\ cm.\) Tia phân giác của góc \(BAE\) cắt \(BC\) tại \(F.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = DE.\)
a) Chứng minh \(AE = AM = FM;\)
b) Tính độ dài \(BF.\)
Giải
a) \(\Delta ADE = \Delta ABM\) (c.g.c).
Suy ra \(AE = AM\) và \(\widehat {DAE} = \widehat {BAM}.\)
Do \(AF\) là tia phân giác của \(\widehat {BAE}\) nên \(\widehat {EAF} = \widehat {BAF}.\)
Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {EAF} = \widehat {BAM} + \widehat {BAF}\) hay \(\widehat {DAF} = \widehat {MAF}.\)
Mà \(\widehat {DAF} = \widehat {MFA}\) (hai góc so le trong), suy ra \(\widehat {MFA} = \widehat {MAF}.\)
Do đó, tam giác \(MAF\) cân tại \(M.\) Suy ra \(AM = FM.\)
Mà \(AE = AM,\) suy ra \(AE = AM = FM.\)
b) Trong tam giác \(ADE\) vuông tại \(D,\) ta có: \(AE^2 = AD^2 + DE^2.\)
Suy ra \(AE = 13\ cm.\) Mà \(FM = AE,\) suy ra \(FM = 13\ cm.\)
Ta có: \(FM = BM + BF.\) Mà \(BM = DE = 5\ cm\) và \(FM = 13\ cm,\) suy ra \(BF = 8\ cm.\)
\(\)
36. Cho hình vuông \(ABCD.\) Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(CD\) và điểm \(F\) thuộc tia đối của tia \(BC\) sao cho \(BF = DE.\)
a) Chứng minh tam giác \(AEF\) là tam giác vuông cân.
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(EF.\) Trên tia đối của tia \(IA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(IK = IA.\) Chứng minh tứ giác \(AEKF\) là hình vuông.
c*) Chứng minh \(I\) thuộc đường thẳng \(BD.\)
Giải
Từ điểm \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt đường thẳng \(BD\) tại \(M.\)
a) \(\Delta ADE = \Delta ABF\) (c.g.c). Suy ra \(AE = AF\) và \(\widehat {DAE} = \widehat {BAF}.\)
Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = \widehat {BAF} + \widehat {BAE}\) hay \(\widehat {BAD} = \widehat {EAF}.\)
Do đó, \(\widehat {EAF} = 90^o.\)
Tam giác \(AEF\) có \(\widehat {EAF} = 90^o,\ AE = AF\) nên tam giac \(AEF\) vuông cân tại \(A.\)
b) Tứ giác \(AEKF\) có hai đường chéo \(AK,\ EF\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên \(AEKF\) là hình bình hành.
hình bình hành \(AEKF\) có \(\widehat {EAF} = 90^o\) nên \(AEKF\) là hình chữ nhật.
hình chữ nhật \(AEKF\) có \(AE = AF\) nên \(AEKF\) là hình vuông.
c*) Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta tính được \(\widehat {CBD} = 45^o.\)
Mà \(\widehat {FBM} = \widehat {CBD}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat {FBM} = 45^o.\)
Do \(MF//CD\) nên \(\widehat {BFM} = \widehat {BCD}\) (cặp góc so le trong).
Do đó \(\widehat {BFM} = 90^o.\) Ta chứng minh được tam giác \(FBM\) vuông cân tại \(F.\)
Suy ra \(MF = BF.\) Mà \(BF = DE,\) suy ra \(MF = DE.\)
Tứ giác \(DEMF\) có \(MF = DE\) và \(MF//DE\) nên \(DEMF\) là hình bình hành.
Mà \(I\) là trung điểm của \(EF,\) suy ra \(I\) là trung điểm của \(DM.\)
Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(DM\) hay \(I\) thuộc đường thẳng \(BD.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6. Hình thoi
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương 5
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
