Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối trang \(107\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình \(96a\), trạm khảo sát trắc địa ở Hình \(96b\) có dạng hình gì?

Trả lời:

Hình \(96a\) có dạng hình khối lăng trụ. Hình \(96b\) có dạng hình khối chóp cụt đều.

\(\)

Bài \(2\). Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng \(a\).
\(a)\) Chứng minh rằng các tam giác \(ASC\) và \(BSD\) là tam giác vuông cân.
\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), chứng minh rằng đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
\(c)\) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(45^o\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(ABCD\) là hình vuông nên:

\(AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)

Xét tam giác \(ASC\) có:

\(SA^2 + SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = AC^2, SA = SC\)

Vậy tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\)

Tương tự, xét tam giác \(BSD\) có:

\(SB^2 + SD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = BD^2, SB = SD\)

Vậy tam giác \(BSD\) vuông cân tại \(S\).

\(b)\) Tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\), có \(O\) là trung điểm \(AC\)

\(\Rightarrow SO \perp AC\)

Chứng minh ương tự, \(SO \perp BD\)

\(\Rightarrow SO \perp (ABCD)\)

\(c)\) Do \(SO \perp (ABCD) \Rightarrow (SA, (ABCD)) = (SA, OA) = \widehat{SAO}\)

Tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên \(\widehat{ASO} = \displaystyle \frac{90^o}{2} = 45^o\)

\(\Rightarrow \widehat{SAO} = 45^o\) (Do tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\))

Vậy \((SA, (ABCD)) = 45^o\)

\(\)

Bài \(3\). Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AC’\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(60^o\).
\(a)\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((ACC’A’)\) và \((BDD’B’)\) vuông góc với nhau.
\(b)\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C’D’\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \perp BD\) \((1)\)

Mà \(BB’ \perp (ABCD)\) nên \(BB’ \perp AC\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra \(AC \perp (BDD’B’)\)

Lại có \(AC \subset (ACC’A’)\) nên \((ACC’A’) \perp (BDD’B’)\)

\(b)\) Ta có: \(AB // CD\) Mà \(CD // C’D’\)

\(\Rightarrow AB // C’D’\)

\(\Rightarrow d(AB, C’D’) = d(B, C’D’)\)

Do \(A’B’C’D’\) là hình vuông nên \(C’D’ \perp B’C’\)

\(CDD’C’\) là hình chữ nhật nên \(C’D’ \perp CC’\)

\(\Rightarrow C’D’ \perp (BCC’B’)\)

\(\Rightarrow C’D’ \perp BC’\)

\(\Rightarrow d(B, C’D’) = BC’\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (do \(ABCD\) là hình vuông) ta có:

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}\)

Có \(CC’ \perp (ABCD)\) nên \((AC’, (ABCD)) = (AC’, AC) = \widehat{CAC’} = 60^o\)

Xét tam giác \(CAC’\) vuông tại \(C\) ta có:

\(CC’ = AC. \tan{\widehat{CAC’}} = a\sqrt{2}. \sqrt{3} = a\sqrt{6}\)

Xét tam giác \(BCC’\) vuông tại \(C\) ta có:

\(BC’ = \sqrt{BC^2 + CC’^2} = \sqrt{a^2 + 6a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}\)

Vậy \(d(AB, C’D’) = a\sqrt{7}\)

\(\)

Bài \(4\). Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là \(15 cm, 15 cm\) và \(6 cm\). Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.

Trả lời:

Thể tích của chiếc bánh chưng đó là:

\(V = 15. 15. 6 = 1350\) (\(cm^3\))

\(\)

Bài \(5\). Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao \(10 cm\) và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(12 cm\). Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là \(3 g/cm^3\).

Trả lời:

Diện tích đáy của miếng phomát là:

\(S = \displaystyle \frac{1}{2}. 12. 12 = 72\) (\(cm^2\))

Thể tích của miếng phomát là:

\(V = S. h = 72. 10 = 720\) (\(cm^3\))

Khối lượng của miếng phomát là:

\(m = V. D = 720. 3 = 2160\) (g)

\(\)

Bài \(6\). Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình \(97\)). Tính theo \(a\) thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng \(a\).

Trả lời:

Mô hình hóa đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\).

Gọi \(O\) là tâm của đáy.

Do tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) \(\Rightarrow SO \perp AC\)

Tương tự \(SO \perp BD\)

\(\Rightarrow SO \perp (ABCD)\)

\(ABCD\) là hình vuông nên:

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AO = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\):

\(SO = \sqrt{SA^2 \ – \ AO^2} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Diện tích đáy \(ABCD\) là: \(S_{ABCD} = a^2\)

Thể tích \(S.ABCD\) là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. S_{ABCD}. SO = \displaystyle \frac{1}{3}. a^2. \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2} = \displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\) (đvtt)

\(\)

Bài \(7\). Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. (Hình \(98\). Cạnh đáy dưới dài \(5 m\), cạnh đáy trên dài \(2 m\), cạnh bên dài \(3 m\). Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là \(1470000\) đồng \(/m^3\). Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Trả lời:

Mô hình hoá chân tháp bằng hình chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A′B′C′D′\) với \(O, O’\) lần lượt là tâm hai đáy.

Có \(AB = 5, A’B’ = 2, CC’ = 3\)

\(ABCD\) là hình vuông \(\Rightarrow AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow OC = \displaystyle \frac{AC}{2} = \displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Tương tự, \(A’B’C’D’\) là hình vuông \(\Rightarrow A’C’ = \sqrt{A’B’^2 + B’C’^2} = 2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow O’C’ = \displaystyle \frac{A’C’}{2} = \sqrt{2}\)

Kẻ \(C’H \perp OC (H \in OC)\). Khi đó \(OO’C’H\) là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow CH = OC \ – \ OH = \displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2} \ – \ \sqrt{2} = \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Xét tam giác \(CHC’\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C’H = \sqrt{CC’^2 \ – \ CH^2} = \sqrt{3^2 \ – \ (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow OO’ = C’H = \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Diện tích đáy bé \(A’B’C’D’\) là:

\(S_{A’B’C’D’} = 2^2 = 4 (m^2)\)

Diện tích đáy lớn \(ABCD\) là:

\(S_{ABCD} = 5^2 = 25 (m^2)\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. h. (S_{A’B’C’D’} + \sqrt{S_{A’B’C’D’}. S_{ABCD}} + S_{ABCD})\)

\(= \displaystyle \frac{1}{3}. 3. (4 + \sqrt{4. 25} + 25) = \displaystyle \frac{39\sqrt{2}}{2} (m^3)\)

Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

\(\displaystyle \frac{39\sqrt{2}}{3}. 1470000 \approx 40538432\) (đồng)

ài 6. Hình lăng trụ đứng Bài 6. Hình lăng trụ đứng Bài 6. Hình lăng trụ đứng Bài 6. Hình lăng trụ đứng

Xem bài giải trước: Bài 5 – Khoảng cách
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VIII
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech