Bài 5. Khoảng cách

Bài \(5\). Khoảng cách trang \(100\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Hình \(76\) gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau. Cột gỗ cao \(4,2 m\). Khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\) là bao nhiêu mét?

Trả lời:

Vì hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính bằng chiều cao cột gỗ.

Vậy khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\) bằng \(4,2 m\).

\(\)

Bài \(2\). Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a, BC = b, BD = c, \widehat{ABC} = \widehat{ABD} = \widehat{BCD} = 90^o\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC, AD\) (Hình \(77\)).
\(a)\) Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\).
\(b)\) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).
\(c)\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\widehat{ABC} = 90^o \Rightarrow AB \perp BC\)

\(\Rightarrow d(C, AB) = BC = b\)

\(b)\) \(\widehat{ABC} = 90^o \Rightarrow AB \perp BC\)

\(\widehat{ABD} = 90^o \Rightarrow AB \perp BD\)

\(\Rightarrow AB \perp (BCD)\)

\(\Rightarrow AB \perp CD\) \((1)\)

Mà \(\widehat{BCD} = 90^o \Rightarrow BC \perp CD\) \((2)\)

Từ \((1), (2) \Rightarrow CD \perp (ABC)\)

\(\Rightarrow d(D, (ABC)) = CD = \sqrt{BD^2 \ – \ BC^2} = \sqrt{c^2 \ – \ b^2}\)

\(c)\) Ta có: \(AB \perp BC, CD \perp BC\)

\(\Rightarrow d(AB, CD) = BC = b\)

\(\)

Bài \(3\). Với giả thiết ở Bài tập \(2\), hãy:
\(a)\) Chứng minh rằng \(MN // BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(BC\).
\(b)\) Chứng minh rằng \(MP // (BCD)\). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(MP\) đến mặt phẳng \((BCD)\).
\(c)\) Chứng minh rằng \((MNP) // (BCD)\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((BCD)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\)

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow MN // BC\)

\(\widehat{ABC} = 90^o \Rightarrow AB \perp BC\)

\(\Rightarrow BC \perp MB\)

\(\Rightarrow d(MN, BC) = MB = \displaystyle \frac{1}{2} AB = \displaystyle \frac{a}{2}\)

\(b)\) Có \(M, P\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AD\)

\(\Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)

\(\Rightarrow MP // BD\)

\(\Rightarrow MP // (BCD)\)

Có \(AB \perp (BCD) \Rightarrow MB \perp (BCD)\)

Suy ra \(d(MP, (BCD)) = d(M, (BCD)) = MB = \displaystyle \frac{a}{2}\)

\(c)\) Có \(MN // BC \Rightarrow MN // (BCD)\)

Mà \(MP // (BCD), MN \cap MP = \{M\}\)

\(\Rightarrow (MNP) // (BCD)\)

\(\Rightarrow d((MNP), (BCD)) = d(M, (BCD)) = MB = \displaystyle \frac{a}{2}\)

\(\)

Bài \(4\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\). Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a, SA = a\) (Hình \(78\)).
\(a)\) Tính khoảng cách từ điểm \(S\) đến đường thẳng \(CD\).
\(b)\) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((SAB)\).
\(c)\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SCD)\).

Trả lời:

\(a)\) \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD \perp CD\)

Mà \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow CD \perp SA\)

Suy ra \(CD \perp (SAD)\)

\(\Rightarrow CD \perp SD\)

\(\Rightarrow d(S, CD) = SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)

\(b)\) Có \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp AD\)

\(ABCD\) là hình vuông \(\Rightarrow AB \perp AD\)

Suy ra \(AD \perp (SAB)\)

\(\Rightarrow d(D, (SAB)) = AD = a\)

\(c)\) Kẻ \(AH \perp SD (H \in SD)\)

\(CD \perp (SAH) \Rightarrow CD \perp AH\)

\(\Rightarrow AH \perp (SCD)\)

\(\Rightarrow d(A, (SCD)) = AH\)

Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) nên:

\(AH = \displaystyle \frac{SA. AD}{SD} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(d(A, (SCD)) = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\)

Bài \(5\). Với giả thiết ở bài tập \(4\) hãy:
\(a)\) Chứng minh \(BC // (SAD)\) và tính khoảng cách giữa \(BC\) và mặt phẳng \((SAD)\).
\(b)\) Chứng minh rằng \(BD \perp (SAC)\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\).

Trả lời: