Bài \(5\). Tích của một số với một vectơ trang \(88\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Cho hình thang \(MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{PQ}\).
\(B.\) \(\overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{NP}\).
\(C.\) \(\overrightarrow{MN} = \ – \ 2\overrightarrow{PQ}\).
\(D.\) \(\overrightarrow{MQ} = \ – \ 2\overrightarrow{NP}\).
Trả lời:
Do \(MNPQ\) là hình thang có \(MN // PQ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{PQ}\) ngược hướng.
Lại có \(MN = 2PQ\) nên \(\overrightarrow{MN} = \ – \ 2 \overrightarrow{PQ}\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(2\). Cho đoạn thẳng \(AB = 6cm\).
\(a)\) Xác định điểm \(C\) thoả mãn \(\overrightarrow{AC} = \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
\(b)\) Xác định điểm \(D\) thoả mãn \(\overrightarrow{AD} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AC} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng hướng và \(AC = \displaystyle \frac{1}{2} AB\)
Vậy ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng, \(C\) là trung điểm của \(AB\) (tức là \(AC = 3\) cm).
\(b)\) \(\overrightarrow{AD} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\) nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) ngược hướng và \(AD = \displaystyle \frac{1}{2} AB = 3\) cm.
Vậy \(A, B, D\) thẳng hàng, \(B\) và \(D\) nằm khác phía nhau so với \(A\)
\(\)
Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) có \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA, AB\). Chứng minh:
\(a)\) \(\overrightarrow{AP} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AN}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BA}\).
Trả lời:
\(a)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(PN\) là đường trung bình nên \(PN // BC, PN = \displaystyle \frac{1}{2} BC\)
Lại có hai vectơ \(\overrightarrow{PN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng.
Suy ra \(\overrightarrow{PN} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\)
Khi đó \(\overrightarrow{AP} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AN}\)
Vậy \(\overrightarrow{AP} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AN}\) (đpcm)
\(b)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(MP\) là đường trung bình nên \(MP // CA, MP = \displaystyle \frac{1}{2} CA\)
Lại có hai vectơ \(\overrightarrow{MP}\) và \(\overrightarrow{CA}\) cùng hướng
Suy ra \(\overrightarrow{MP} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{CA}\) hay \(\overrightarrow{CA} = 2 \overrightarrow{MP}\)
Khi đó: \(\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}\)
Vậy \(\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BA}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(D, E\) thuộc cạnh \(BC\) thoả mãn \(BD = DE = EC\) (Hình \(62\)). Giả sử \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}\). Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\) theo \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\).
Trả lời:
\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \ – \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
\(= \ – \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
\(+)\) Theo bài ra: \(BD = DE = EC\) và \(D, E \in BC\) nên \(BD = \displaystyle \frac{1}{3} BC\)
Mà \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng nên \(\overrightarrow{BD} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}\)
Suy ra \(\overrightarrow{BD} = \displaystyle \frac{1}{3} (\ – \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\)
\(+)\) Hai vectơ \(\overrightarrow{BE}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng và \(BE = \displaystyle \frac{2}{3} BC\) nên \(\overrightarrow{BE} = \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}\)
Suy ra \(\overrightarrow{BE} = \displaystyle \frac{2}{3} \left(\ – \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\right)\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
Vậy \(\overrightarrow{BE} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\right)\)
\(= \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\)
Vậy \(\overrightarrow{AD} = \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\)
\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{a} + \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\right)\)
\(= \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
Vậy \(\overrightarrow{AE} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
\(\)
Bài \(5\). Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB\) và \(CD\). Gọi \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\), \(E\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Chứng minh:
\(a)\) \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 4\overrightarrow{EG}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{EA} = 4\overrightarrow{EG}\);
\(c)\) Điểm \(G\) thuộc đoạn thẳng \(AE\) và \(\overrightarrow{AG} = \displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{AE}\).
Trả lời:
\(a)\) \(M\) là trung điểm \(AB\) nên: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2 \overrightarrow{GM}\)
\(N\) là trũng điểm \(CD\) nên \(\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2 \overrightarrow{GN}\)
Lại có \(G\) là trung điểm \(MN\) nên \(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}\)
Suy ra: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2 \overrightarrow{GM} + 2 \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}\)
Khi đó ta có:
\(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}\)
\(= (\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GC}) + (\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GD})\)
\(= 4 \overrightarrow{EG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD})\)
\(= 4 \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{0}\)
\(= 4 \overrightarrow{EG}\)
Vậy \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 4 \overrightarrow{EG}\) (đpcm) \((1)\)
\(b)\) Vì \(E\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}\) \((2)\)
Thay \((2)\) vào \((1)\) ta được:
\(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{0} = 4 \overrightarrow{EG}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EA} = 4 \overrightarrow{EG}\) (đpcm)
\(c)\) Do \(\overrightarrow{EA} = 4 \overrightarrow{EG}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{EA}\) và \(\overrightarrow{EG}\) cùng hướng và \(EA = 4 EG\)
\(\Rightarrow\) Ba điểm \(E, A, G\) thẳng hàng và \(G\) nằm giữa \(E\) và \(A\)
\(EA = 4 EG\) nên \(AG = \displaystyle \frac{3}{4} AE\)
Lại có hai vectơ \(\overrightarrow{AG}\) và \(\overrightarrow{AE}\) cùng hướng.
Vậy \(\overrightarrow{AG} = \displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{AE}\)
\(\)
Bài \(6\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{CG}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\).
Trả lời:
Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình bình hành \(ABCD\).
Khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
\(BO\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G \in BO, BG = \displaystyle \frac{2}{3}BO\)
Mà \(BO = \displaystyle \frac{1}{2} BD\)
Suy ra \(BG = \displaystyle \frac{2}{3} BO = \displaystyle \frac{1}{3} BD\)
Hai vectơ \(\overrightarrow{BG}\) và \(\overrightarrow{BD}\) cùng hướng và \(BG = \displaystyle \frac{1}{3} BD\) nên \(\overrightarrow{BG} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BD}\)
\(+)\) \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BD}\)
\(= \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD})\)
\(= \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}\)
\(= \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\)
Vậy \(\overrightarrow{AG} = \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\)
\(+)\) \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AG} = \ – \ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}\)
\(= \ – \ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AG}\)
\(= \ – \ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \left(\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{b}\right)\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
Vậy \(\overrightarrow{CG} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{a} \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{b}\)
\(\)
Bài \(7\). Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(D, E, H\) thoả mãn:
\(\overrightarrow{DB} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AE} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AH} = \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}\).
\(a)\) Biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DH}, \overrightarrow{HE}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\).
\(b)\) Chứng minh \(D, E, H\) thẳng hàng.
Trả lời:
\(\overrightarrow{DB} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}\) nên \(\overrightarrow{DB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng và \(DB = \displaystyle \frac{1}{3} BC\)
Tương tự ta cũng có:
\(\overrightarrow{AE}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng hướng và \(AE = \displaystyle \frac{1}{3} AC\)
\(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng và \(AH = \displaystyle \frac{2}{3} AB\)
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{DB}\)
\(= \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}\)
\(= \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})\)
\(= \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
\(= \displaystyle \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
Vậy \(\overrightarrow{AD} = \displaystyle \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AH}\)
\(= \ – \ \overrightarrow{AD} + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}\)
\(= \ – \ (\displaystyle \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}) + \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
Vậy \(\overrightarrow{DH} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{HE} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AE} = \ – \ \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AE}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
Vậy \(\overrightarrow{HE} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
\(b)\) Theo câu \(a)\) ta có:
\(\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{HE} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)
Do đó \(\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{HE}\)
Từ đó suy ra: Ba điểm \(D, H, E\) thẳng hàng và \(H\) là trung điểm của \(DE\).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4 – Tổng và hiệu của hai vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6 – Tích vô hướng của hai vectơ
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.