Bài 4. Nhị thức Newton

Bài \(4\). Nhị thức Newton trang \(18\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Khai triển các biểu thức sau:
\(a)\) \((2x + 1)^4\);
\(b)\) \((3y \ – \ 2)^4\);
\(c)\) \(\left(x + \displaystyle \frac{1}{2}\right)^4\);
\(d)\) \(\left(x \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)^4\).

Trả lời:

\(a)\) \((2x + 1)^4\)

\(= (2x)^4 + 4. (2x)^3. 1 + 6. (2x)^2. 1^2 + 4. (2x). 1^3 + 1^4\)

\(= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1\)

\(b)\) \((3y \ – \ 2)^4 = [3y + (\ – \ 2)]^4\)

\(= (3y)^4 + 4. (3y)^3. (\ – \ 2) + 6. (3y)^2. (\ – \ 2)^2 + 4. (3y)^1. (\ – \ 2)^3 + (\ – \ 2)^4\)

\(= 81y^4 \ – \ 216y^3 + 216y^2 \ – \ 96y + 16\)

\(c)\) \(\left(x + \displaystyle \frac{1}{2}\right)^4\)

\(= x^4 + 4x^3. \displaystyle \frac{1}{2} + 6. x^2. \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 + 4.x. \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^3 + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^4\)

\(= x^4 + 2x^3 + \displaystyle frac{3}{2}x^2 + \displaystyle \frac{1}{2}x + \displaystyle \frac{1}{16}\)

\(d)\) \(\left(x \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)^4 = \left[x + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)\right]^4\)

\(= x^4 + 4x^3. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right) + 6x^2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)^2 + 4x. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)^3 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)^4\)

\(= x^4 \ – \ \displaystyle \frac{4}{3}x^3 + \displaystyle \frac{2}{3}x^2 \ – \ \displaystyle \frac{4}{27}x + \displaystyle \frac{1}{81}\)

\(\)

Bài \(2\). Khai triển các biểu thức sau:
\(a)\) \((x + 1)^5\);
\(b)\) \((x \ – \ 3y)^5\).

Trả lời:

\(a)\) \((x + 1)^5 = x^5 + 5x^4. 1 + 10x^3. 1^2 + 10x^2. 1^3 + 5x. 1^4 + 1^5\)

\(= x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\)

\(b)\) \((x \ – \ 3y)^5 = [x + (\ – \ 3y)]^5\)

\(= x^5 + 5x^4. (\ – \ 3y) + 10x^3. (\ – \ 3y)^2 + 10x^2. (\ – \ 3y)^3 + 5x. (\ – \ 3y)^4 + (\ – \ 3y)^5\)

\(= x^5 \ – \ 15x^4y + 90x^3y^2 \ – \ 270x^2 y^3 + 405xy^4 \ – \ 243y^5\)

\(\)

Bài \(3\). Xác định hệ số của \(x^4\) trong khai triển biểu thức \((3x + 2)^5\).

Trả lời:

Số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển biểu thức \((3x + 2)^5\) là \(C_5^1. (3x)^4. 2\)

Ta có: \(C_5^1. (3x)^4. 2 = 810 x^4\)

Vậy hệ số của \(x^4\) trong khai triển biểu thức \((3x + 2)^5\) là \(810\)

\(\)

Bài \(4\). Cho \(\left(1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5\). Tính:
\(a)\) \(a_3\);
\(b)\) \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\).

Trả lời:

Ta có: \(\left(1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^5 = \left[1 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)\right]^5\)

\(= 1^5 + 5. 1^4. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right) + 10. 1^3. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^2 + 10. 1^2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^3 + 5. 1. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^4 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^5\)

\(= 1 \ – \ \displaystyle \frac{5}{2}x + \displaystyle \frac{5}{2}x^2 \ – \ \displaystyle \frac{5}{4}x^3 + \displaystyle \frac{5}{16}x^4 \ – \ \displaystyle \frac{1}{32}x^5\)

\(= 1 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}\right)x + \displaystyle \frac{5}{2}x^2 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{4}\right)x^3 + \displaystyle \frac{5}{16}x^4 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{32}\right)x^5\)

\(a)\) \(a_3\) là hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \(\left(1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x\right)^5\)

Vậy \(a_3 = \ – \ \displaystyle \frac{5}{4}\)

\(b)\) Tương tự ta có:

\(a_0 = 1, a_1 = \ – \ \displaystyle \frac{5}{2}, a_2 = \displaystyle \frac{5}{2}, a_4 = \displaystyle \frac{5}{16}, a_5 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{32}\)

Khi đó ta có:

\(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \)

\(= 1 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}\right) + \displaystyle \frac{5}{2} + \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{4}\right) + \displaystyle \frac{5}{16} + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{32}\right) = \displaystyle \frac{1}{32}\)

Vậy \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \displaystyle \frac{1}{32}\)

\(\)

Bài \(5\). Cho tập hợp \(A\) có \(5\) phần tử. Số tập hợp con của \(A\) là bao nhiêu?

Trả lời:

Mỗi cách lấy ra một tập con gồm \(a\) phần tử trong \(5\) phần tử của \(A\) chính là một tổ hợp chập \(a\) của \(5\), hay số tập con gồm \(a\) phần tử của \(A\) là: \(C_5^a\). Khi đó ta có:

Số tập hợp con gồm \(0\) phần tử của \(A\) là \(C_5^0\)

Số tập hợp con gồm \(1\) phần tử của \(A\) là \(C_5^1\)

Số tập hợp con gồm \(2\) phần tử của \(A\) là \(C_5^2\)

Số tập hợp con gồm \(3\) phần tử của \(A\) là \(C_5^3\)

Số tập hợp con gồm \(4\) phần tử của \(A\) là \(C_5^4\)

Số tập hợp con gồm \(5\) phần tử của \(A\) là \(C_5^5\)

Do đó, số tập hợp con của \(A\) là:

\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 32\)

Vậy tập hợp \(A\) có \(32\) tập hợp con.

Bài 4. Nhị thức Newton Bài 4. Nhị thức Newton Bài 4. Nhị thức Newton

Xem bài giải trước: Bài 3 – Tổ hợp
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương V
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech