Chương 5 – Bài 4. Hình bình hành trang 94 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
16. Cho tam giác ABC có AB = AC = 3 cm. Từ điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD song song với AC và ME song song với AB (điểm D, E lần lượt thuộc cạnh AB, AC). Tính chu vi của tứ giác ADME.
Giải
Do AB = AC nên tam giác ABC cân tại A. Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {EMC}\) (hai góc đồng vị), suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {EMC}.\)
Do đó, tam giác ECM cân tại E. Suy ra ME = CE.
Tứ giác ADME có MD // AE, ME // AD nên ADME là hình bình hành.
Vậy chu vi của hình bình hành ADME là:
2(AE + ME) = 2(AE + CE) = 2AC = 6 cm.
\(\)
17. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE. Lấy các điểm H,K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh:
a) Các tứ giác AHBC, AKCB là hình bình hành;
b) A là trung điểm của HK.
Giải
a) Tứ giác AHBC có E là trung điểm của hai đường chéo AB và CH nên AHBC là hình bình hành.
Tương tự, ta chứng minh được tứ giác AKCB là hình bình hành.
b) Do AHBC là hình bình hành nên AH // BC, AH = BC.
Tương tự, AKCB là hình bình hành nên AK // BC, AK = BC.
Suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK.
Vậy A là trung điểm của HK.
\(\)
18. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F sao cho AE = CF. Trên cạnh AB, CD lần lượt lấy điểm M, N sao cho BM, DN. Chứng minh:
a) Tứ giác EMFN là hình bình hành;
b) Bốn đường thẳng AC, BD, EF, MN cùng đi qua một điểm.
Giải
a) Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD; \(\widehat{A} =\widehat{C}\) và \(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}.\)
Mà AE = CF và BM = DN, suy ra DE = BF và AM = CN.
\(\Delta AEM=\Delta CFN\) (c.g.c). Suy ra EM = FN.
\(\Delta BFM=\Delta DEN\) (c.g.c). Suy ra FM = EN.
Tứ giác EFMN có EM = FN và FM = EN nên EMFN là hình bình hành.
b) Tứ giác BMDN có BM = DN và BM // DN nên BMDN là hình bình hành.
Do ABCD, EMFN, BMDN đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy AC, BD, EF, MN cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
\(\)
19. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành;
b*) Tam giác ABC có điều kiện gì thi ba điểm A, D, H thẳng hàng?
c) Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABCD.
d) Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
Giải
a) Ta có: \(\widehat{APC}=\widehat{ABD}=90^o\) và \(\widehat{APC},\widehat{ABD}\) nằm ở vị trí đồng vị nên CP // BD.
Tương tự ta chứng minh được BN // CD.
Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.
b*) Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH. Mà M thuộc BC, suy ra M là giao điểm của BC và DH.
Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra M là trung điểm BC.
Khi đó \(\Delta ABM=\Delta ACM\) (c.g.c). Suy ra AB = AC.
Dễ thấy nếu tam giác ABC có AB = AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.
Vậy tam giác ABC cân tại A thì A, D, H thẳng hàng.
c) Xét tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{DBA}+\widehat{CDB}+\widehat{ACD}=360^o.\)
Mà \(\widehat{DBA}=\widehat{ACD}=90^o,\) suy ra tính được \(\widehat{BAC}+\widehat{CDB}=180^o.\)
Vậy góc A và góc D của tứ giác ABCD là hai góc bù nhau.
d) Do H là trung điểm của AM nên \(HM=\displaystyle\frac{1}{2}AM.\)
Ta có diện tích tam giác ABC bằng: \(\displaystyle\frac{1}{2}.AM.BC=HM.BC.\)
Ta chứng minh được \(\Delta BCH=\Delta CBD\) (c.c.c).
Suy ra diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.
Do đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: \(2\left(\displaystyle\frac{1}{2}.HM.BC\right)=HM.BC.\)
Vậy diện tích tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
\(\)
20. Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat{A} >90^o,\) AB > BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy hai điểm E, F sao cho CE, CF, BC. Trên đường thẳng vuông góc với CD tại C lấy hai điểm P, Q sao cho CP = CQ = CD (Hình 16). Chứng minh:
a) Tứ giác EPFQ là hình bình hành;
b*) AC ⊥ EP.
Giải
a) Tứ giác EPFQ có hai đường chéo EF và PQ cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên EPFQ là hình binh hành.
b*) Gọi H là giao điểm của AC và EP, K là giao điểm của AB và PQ.
Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, \(\widehat{B} =\widehat{D}.\)
Vì AB // CD nên \(\widehat{BKC}=\widehat{DCK}=90^o\) (hai góc so le trong).
Suy ra tam giác BCK vuông tại K. Do đó, \(\widehat{B} =\widehat{BCK}=90^o.\)
Mặt khác, ta có \(\widehat{ECP}+\widehat{BCK}=\widehat{BCE}=90^o\) nên \(\widehat{D}=\widehat{ECP}.\)
Xét hai tam giác ACD và EPC, ta có:
AD = EC (vì cùng bằng BC); \(\widehat{D}=\widehat{ECP};\) CD = PC.
Suy ra \(\Delta ACD=\Delta EPC\) (c.g.c).
Do đó \(\widehat{ACD}=\widehat{EPC}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat{ACD}=\widehat{HPC}.\)
Mà \(\widehat{ACD}+\widehat{PCH}=\widehat{DCP}=90^o,\) suy ra \(\widehat{HPC}+\widehat{PCH}=90^o.\)
Xét tam giác CPH, ta có: \(\widehat{CHP}+\widehat{HPC}+\widehat{PCH}=180^o.\)
Suy ra \(\widehat{CHP}+90^o=180^o\) hay \(\widehat{CHP}=90^o.\)
Vậy AC ⊥ EP.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 3. Hình thang cân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5. Hình chữ nhật
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
