Bài \(33\). Đạo hàm cấp hai trang \(95\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(9.13\). Cho hàm số \(f(x) = x^2e^x\). Tính \(f”(0)\).
Trả lời:
Ta có: \(f'(x) = 2xe^x + x^2e^x\)
\(\Rightarrow f”(x) = (f'(x))’ = (2xe^x + x^2e^x)’\)
\(= 2e^x + 2xe^x + 2xe^x + x^2e^x = 2e^x + 4xe^x + x^2e^x\)
\(\Rightarrow f”(0) = 2. e^0 = 2\)
Vậy \(f”(0) = 0\)
\(\)
Bài \(9.14\). Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \ln (x + 1)\);
\(b)\) \(y = \tan{2x}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = \ln (x + 1)\)
\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{1}{x + 1}\)
\(\Rightarrow y” = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{(x + 1)^2}\)
\(b)\) \(y = \tan{2x}\)
\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{2}{\cos^2{2x}}\)
\(\Rightarrow y” = \displaystyle \frac{\ – \ 2. (\cos^2{2x})’}{\cos^4{2x}} = \displaystyle \frac{(\ – \ 2). 2 \cos{2x}. (\cos{2x})’}{\cos^4{2x}} = \displaystyle \frac{4. 2\sin{2x}}{\cos^{2x}} = \displaystyle \frac{8\sin{2x}}{\cos^{2x}}\)
\(\)
Bài \(9.15\). Cho hàm số \(P(x) = ax^2 + bx + 3\) (\(a, b\)) là hằng số). Tìm \(a, b\) biết \(P'(1) = 0\) và \(P”(1) = \ – \ 2\).
Trả lời:
Ta có: \(P'(x) = 2ax + b\)
\(\Rightarrow P”(x) = 2a\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}P'(1) = 2a + b = 0\\P”(1) = 2a = \ – \ 2 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \ – \ 1\\b = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(a = \ – \ 1; b = 2\).
\(\)
Bài \(9.16\). Cho hàm số \(f(x) = 2\sin^2{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\). Chứng minh rằng \(|f”(x)| \leq 4\) với mọi \(x\).
Trả lời:
Ta có: \(f'(x) = 2 \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} . \left[\sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\right]’ = 2 \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)
\(= 2\sin{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow f”(x) = 2. 2. \cos{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = 4 \cos{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)
Lại có \(\ – \ 1 \leq \cos{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} \leq 1\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 4 \leq 4 \cos{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} \leq 4\)
Vậy \(|f”(x)| \leq 4\) với mọi \(x\).
\(\)
Bài \(9.17\). Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi \(s = 10 + 0,5 \sin{\left(2\pi t + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)}\), trong đó \(s\) tính bằng centimét và \(t\) tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm \(t = 5\) giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Trả lời:
Vận tốc của hạt tại thời điểm \(t\) là:
\(v(t) = s'(t) = 0,5. 2\pi. \cos{\left(2\pi t + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)}\)
\(= \pi \cos{\left(2\pi t + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)}\)
Gia tốc tức thời của hạt tại thời điểm \(t\) là:
\(a(t) = v'(t) = \ – \ \pi. 2\pi. \sin{\left(2 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)} = \ – \ 2 \pi^2 \sin{\left(2 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)}\)
Tại \(t = 5\) giây, gia tốc của hạt là:
\(a(5) = \ – \ 2 \pi^2. \sin{\left(2 \pi. 5 + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)} \approx \ – \ 11,6 (cm/s^2)\)
Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm \(t = 5\) giây là \(\ – \ 11,6\) \(cm/s^2\).
Xem bài giải trước: Bài 32 – Các quy tắc tính đạo hàm
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương IX
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.