Bài \(32\). Các quy tắc tính đạo hàm trang \(88\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(9.6\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = x^3 \ – \ 3x^2 + 2x + 1\);
\(b)\) \(y = x^2 \ – \ 4\sqrt{x} + 3\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = x^3 \ – \ 3x^2 + 2x + 1\)
\(\Rightarrow y’ = 3x^2 \ – \ 6x + 2\).
\(b)\) \(y = x^2 \ – \ 4 \sqrt{x} + 3\)
\(\Rightarrow y’ = 2x \ – \ 4. \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x \ – \ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}\)
\(\)
Bài \(9.7\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\)
\(y’ = \displaystyle \frac{(2x \ – \ 1)'(x + 2) \ – \ (2x \ – \ 1)(x + 2)’}{(x + 2)^2} = \displaystyle \frac{2(x + 2) \ – \ 2x + 1}{(x + 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{5}{(x + 1)^2}\)
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1}\)
\(y’ = \displaystyle \frac{(2x)'(x^2 + 1) \ – \ 2x(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \displaystyle \frac{2(x^2 + 1) \ – \ 4x^2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{2 \ – \ 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\)
\(\)
Bài \(9.8\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = x \sin^2{x}\);
\(b)\) \(y = \cos^2{x} + \sin{2x}\);
\(c)\) \(y = \sin{3x} \ – \ 3\sin{x}\);
\(d)\) \(y = \tan{x} + \cot{x}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = x \sin^2{x}\)
\(\Rightarrow y’ = x’ \sin^2{x} + x (\sin^2{x})’ = \sin^2{x} + x. 2 \sin{x} (\sin{x})’\)
\(= \sin^2{x} + x \sin{2x}\)
\(b)\) \(y = \cos^2{x} + \sin{2x}\)
\(\Rightarrow y’ = 2\cos{x} (\cos{x})’ + 2 \cos{2x} = \ – \ 2 \cos{x} \sin{x} + 2 \cos{2x}\)
\(= \sin{2x} + 2 \cos{2x}\)
\(c)\) \(y = \sin{3x} \ – \ 3\sin{x}\)
\(\Rightarrow y’ = 3\cos{3x} \ – \ 3 \cos{x}\)
\(d)\) \(y = \tan{x} + \cot{x}\)
\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{x}}\)
\(\)
Bài \(9.9\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2^{3x \ – \ x^2}\);
\(b)\) \(y = \log_{3} (4x + 1)\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = 2^{3x \ – \ x^2}\)
\(\Rightarrow y’ = (3x \ – \ x^2)’. 2^{3x \ – \ x^2}. \ln 2 = (3 \ – \ 2x). 2^{3x \ – \ x^2}. \ln 2\)
\(b)\) \(y = \log_{3} (4x + 1)\)
\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{(4x + 1)’}{(4x + 1) \ln 3} = \displaystyle \frac{4}{(4x + 1). \ln 3}\)
\(\)
Bài \(9.10\). Cho hàm số \(f(x) = 2\sin^2{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\). Chứng minh rằng \(|f'(x)| \leq 6\) với mọi \(x\).
Trả lời:
Ta có: \(f'(x) = 2. 2. \sin{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}. \left[\sin{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\right]’\)
\(= 4. \left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)’. \sin{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}. \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)
\(= 12 \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \sin{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)
\(= 6 \sin{\left(6x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)
Do \( \ – \ 1 \leq \sin{\left(6x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} \leq 1\) suy ra:
\(\ – \ 6 \leq 6 \sin{\left(6x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} \leq 6\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 6 \leq f'(x) \leq 6\)
Vậy \(|f'(x)| \leq 6\) với mọi \(x\).
\(\)
Bài \(9.11\). Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h(t) = 100 \ – \ 4,9t^2\), ở độ cao \(h\) so với mặt đất tính bằng mét và thời gian \(t\) tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:
\(a)\) Tại thời điểm \(t = 5\) giây;
\(b)\) Khi vật chạm đất.
Trả lời:
Ta có: \(h(t) = 100 \ – \ 4,9t^2\)
\(\Rightarrow v(t) = h'(t) = \ – \ 9,8t\)
\(a)\) \(v(5) = \ – \ 9,8. 5 = \ – \ 49\)
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 5\) giây là \(49 m/s\)
\(b)\) Vật chạm đất \(\Leftrightarrow h(t) = 0\)
\(\Leftrightarrow 100 \ – \ 4,9t^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{10\sqrt{10}}{7}\)
Suy ra \(v\left(\displaystyle \frac{10\sqrt{10}}{7}\right) = \ – \ 9,8. \displaystyle \frac{10\sqrt{10}}{7} = \ – \ 14\sqrt{10}\)
Vậy vận tốc của vật khi vật chạm đất là \(14\sqrt{10} m/s\).
\(\)
Bài \(9.12\). Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi \(s(t) = 12 + 0,5 sin{(4\pi t)}\), trong đó \(s\) tính bằng centimét và \(t\) tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau \(t\) giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?
Trả lời:
Ta có: \(v(t) = s'(t) = 0,5. 4\pi. \cos{(4\pi t)} = 2\pi \cos{(4\pi t)}\)
Do \(\ – \ 1 \leq \cos{(4 \pi t)} \leq 1\) nên \(\ – \ 2 \pi \leq 2 \pi \cos{(4 \pi t)} \leq 2\pi \cos{(4\pi t)}\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 2\pi \leq v(t) \leq 2\pi\)
Vậy vận tốc cực đại của hạt là \(2\pi\) \(cm/s\).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 31 – Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Xem bài giải tiếp theo: Bài 33 – Đạo hàm cấp hai
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.