Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Chương 6 – Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến trang 46 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

25. Cho đa thức F(x) = x⁷ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³+ x + 1.

a) Tìm đa thức Q(x) sao cho F(x) + Q(x) = x⁵ – x³ + 2.

b) Tìm đa thức R(x) sao cho F(x) – R(x) = 2.

Giải

a) Ta có: F(x) + Q(x) = x⁵ – x³ + 2.

Suy ra Q(x) = x⁵ – x³ + 2 – F(x)

Hay Q(x) = x⁵ – x³ + 2 – (x⁷ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ + x + 1)

= x⁵ – x³ + 2 – x⁷ + \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ – x – 1

= – x⁷ + x⁵ + (– x³ + \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³) – x + (2 – 1)

= – x⁷ + x⁵ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ – x + 1.

Vậy Q(x) = – x⁷ + x⁵ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ – x + 1.

b) Ta có: F(x) – R(x) = 2.

Suy ra R(x) = F(x) – 2.

Hay R(x) = x⁷ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ + x + 1 – 2.

= x⁷ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³+ x – 1.

Vậy R(x) = x⁷ – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x³ + x – 1.

\(\)

26. Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = x² + 1 và P(x) – Q(x) = 2x.

Giải

Ta có P(x) + Q(x) = x² + 1 và P(x) – Q(x) = 2x.

Suy ra [P(x) + Q(x)] + [P(x) – Q(x)] = (x² + 1) + 2x.

2P(x) = x² + 2x + 1.

Do đó P(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x² + x + \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Mặt khác: P(x) – Q(x) = 2x

Suy ra Q(x) = P(x) – 2x

Q(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x² + x + \(\displaystyle\frac{1}{2}\) – 2x

= \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x² – x + \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy P(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x² + x + \(\displaystyle\frac{1}{2}\) và Q(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x² – x + \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

\(\)

27. Cho hai đa thức:

F(x) = x⁴+ x³ – 3x² + 2x – 9 và G(x) = – x⁴ + 2x² – x + 8.

a) Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) = F(x) + G(x).

b) Tìm bậc của đa thức H(x).

c) Kiểm tra xem x = 0, x = 1, x = –1 có là nghiệm của đa thức H(x) hay không.

d) Tìm đa thức K(x) sao cho H(x) – K(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x².

Giải

a) Ta có: H(x) = F(x) + G(x)

= (x⁴+ x³ – 3x² + 2x – 9) + (– x⁴ + 2x² – x + 8)

= x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9 – x⁴ + 2x² – x + 8

= (x⁴– x⁴) + x³ + (– 3x² + 2x²) + (2x – x) + (– 9 + 8)

= x³ – x² + x – 1.

Vậy H(x) = x³ – x² + x – 1.

b) Đa thức H(x) = x³ – x² + x – 1 có bậc là 3 do số mũ cao nhất của biến x là 3.

c) Thay x = 0 vào đa thức H(x) ta được:

H(0) = 0³ – 0² + 0 – 1 = –1 ≠ 0.

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức H(x).

Thay x = 1 vào đa thức H(x) ta được:

H(1) = 1³ – 1² + 1 – 1 = 0.

Do đó x = 1 là nghiệm của đa thức H(x).

Thay x = –1 vào đa thức H(x) ta được:

H(–1) = (–1)³ – (–1)² + (–1) – 1 = –4 ≠ 0.

Do đó x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức H(x) và x = 0, x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

d) Ta có: H(x) – K(x) = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x².

Suy ra K(x) = H(x) – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x².

K(x) = x³ – x² + x – 1 – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x².

= x³ + (– x² – \(\displaystyle\frac{1}{2}\)x²) + x – 1

= x³ – \(\displaystyle\frac{3}{2}\)x² + x – 1.

Vậy K(x) = x³ – \(\displaystyle\frac{3}{2}\)x² + x – 1.

\(\)

28. a) Cho các đa thức:

A(x) = x² – 0,45x + 1,2; B(x) = 0,8x² – 1,2x; C(x) = 1,6x² – 2x.

Tính A(x) + B(x) – C(x).

b) Cho các đa thức:

M(y) = y² – 1,75y – 3,2; N(y) = 0,3y² + 4; P(y) = 2y – 7,2.

Tính M(y) – N(y) – P(y).

Giải

a) Ta có: A(x) + B(x) – C(x)

= (x² – 0,45x + 1,2) + (0,8x² – 1,2x) – (1,6x² – 2x)

= x² – 0,45x + 1,2 + 0,8x² – 1,2x – 1,6x² + 2x

= (x²+ 0,8x² – 1,6x²) + (– 0,45x – 1,2x + 2x) + 1,2

= 0,2x² + 0,35x + 1,2.

Vậy A(x) + B(x) – C(x) = 0,2x² + 0,35x + 1,2.

b) Ta có: M(y) – N(y) – P(y)

= (y² – 1,75y – 3,2) – (0,3y² + 4) – (2y – 7,2)

= y² – 1,75y – 3,2 – 0,3y² – 4 – 2y + 7,2

= (y² – 0,3y²) + (– 1,75y – 2y) + (– 3,2 – 4 + 7,2)

= 0,7y² – 3,75y.

Vậy M(y) – N(y) – P(y) = 0,7y² – 3,75y.

\(\)

29. Mỗi chiếc bút bi được bán với giá x (đồng). Mỗi kẹp tóc có giá đắt hơn mỗi chiếc bút bi là 7 000 đồng, mỗi quyển truyện tranh có giá đắt gấp 5 lần mỗi chiếc bút bi. Bạn Khanh mua 4 chiếc kẹp tóc và 5 chiếc bút bi. Bạn Dung mua 1 quyển truyện tranh, 3 chiếc kẹp tóc và 10 chiếc bút bi.

a) Tính số tiền mỗi bạn phải trả theo x.

b) Tính tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn Khanh và Dung theo x.

c) Nếu bạn Minh chỉ có 70 000 đồng và muốn mua hàng sao cho có đủ cả ba món đồ (bút bi, kẹp tóc, truyện tranh) thì bạn Minh có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc kẹp tóc, biết giá mỗi chiếc bút bi là 5 000 đồng?

Giải

a) Số tiền bạn Khanh phải trả là:

4 . (x + 7 000) + 5 . x = 4x + 28 000 + 5x = 9x + 28 000 (đồng).

Số tiền bạn Dung phải trả là:

5x + 3 . (x + 7 000) + 10 . x = 5x + 3x + 21 000 + 10x = 18x + 21 000 (đồng).

b) Tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn Khanh và Dung là:

(9x + 28 000) + (18x + 21 000) = 27x + 49 000 (đồng).

c) Do giá mỗi chiếc bút bi là 5 000 đồng nên giá mỗi chiếc kẹp tóc là 12 000 đồng và giá mỗi quyển truyện tranh là 25 000 đồng.

Giá của 1 chiếc bút bi, 1 chiếc kép tóc, 1 quyển truyện tranh là:

5 000 + 12 000 + 25 000 = 42 000 (đồng).

Ta có: 70 000 – 42 000 = 28 000 và 28 000 : 12 000 = 2,(3) nên bạn Minh có thể mua nhiều nhất 3 chiếc kẹp tóc.

\(\)