Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

Chương 5 – Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến trang 42 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

17. Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v (m/s) của gió, ta có công thức F = 30v².

a) Tính lực F khi v = 15; v = 20.

b) Biết cánh buồm chỉ có thể chịu được áp lực tối đa là 12 000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không?

Giải

a) Với v = 15 m/s thì F = 30.15² = 6 750 (N).

Với v = 20 m/s thì F = 30.20² = 12 000 (N).

b) Gió bão có vận tốc \(90\) km/h hay \(\displaystyle\frac{90. 1\ 000}{3\ 600}\) m/s \(=\ 25\) m/s.

Với v = 25 m/s thì F = 30 . 25² = 18 750 (N).

Do 18 750 > 12 000 nên con thuyền không đi được trong gió bão với vận tốc 25 m/s.

Vậy con thuyền không đi được trong gió bão với vận tốc 90 km/h.

\(\)

18. Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó có hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người theo giới tính như sau:

Nam: P = 0,057h – 0,022a – 4,23;

Nữ: Q = 0,041h – 0,018a – 2,69.

Trong đó: h là chiều cao tính bằng xăng-ti-mét; a là tuổi tính bằng năm; P và Q là dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít.

(Nguồn: Toán 7, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2020)

a) Theo công thức trên, nếu bạn Chi (nữ) 13 tuổi, cao 150 cm và bạn Hùng (nam) 13 tuổi, cao 160 cm thì dung tích chuẩn phổi của mỗi bạn là bao nhiêu?

b) Em hãy tính dung tích chuẩn phổi của mình theo công thức trên.

Giải

a) Dung tích chuẩn phổi của bạn Chi là:

Q = 0,041 . 150 – 0,018 . 13 – 2,69 = 3,226 (l).

Dung tích chuẩn phổi của bạn Hùng là:

P = 0,057 . 160 – 0,022 . 13 – 4,23 = 4,604 (l).

b) Học sinh tự làm.

\(\)

19. Cho đa thức R(x) = x²+ 5x⁴ – 3x³ + x² + 4x⁴ + 3x³ – x + 5.

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức R(x).

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x)..

d) Tính R(‒1), R(0), R(1), R(‒a) (với a là một số).

Giải

a) Ta có: R(x) = x² + 5x⁴ – 3x³ + x² + 4x⁴ + 3x³ – x + 5

= (5x⁴ + 4x⁴) + (– 3x³ + 3x³) + (x² + x²) – x + 5

= 9x⁴ + 2x² – x + 5.

b) Đa thức R(x) có bậc là 4 vì số mũ cao nhất của x trong đa thức R(x) là 4.

c) Đa thức R(x) có hệ số cao nhất là 9 và hệ số tự do là 5.

d) Ta có:

R(‒1) = 9 . (‒1)⁴ + 2 . (‒1)² – (‒1) + 5

= 9 . 1 + 2 . 1 + 1 + 5 = 17.

R(0) = 9 . 0⁴ + 2 . 0² – 0 + 5 = 5.

R(1) = 9 . 1⁴ + 2 . 1² – 1 + 5 = 15.

R(‒a) = 9 . (‒a)⁴ + 2 . (‒a)² – (‒a) + 5

= 9a⁴ + 2a² + a + 5.

\(\)

20. Cho đa thức P(x) = 4x⁴ + 2x³ – x⁴ – x².

a) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(x).

b) Mỗi phần tử của tập hợp \(\left\{-1;\ \displaystyle\frac{1}{2}\right\}\) có là nghiệm của đa thức P(x) không? Vì sao?

Giải

a) Ta có: P(x) = 4x⁴ + 2x³ – x⁴ – x²

= (4x⁴– x⁴) + 2x³ – x²

= 3x⁴ + 2x³ – x².

Đa thức P(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là 0.

b) Thay x = ‒1 vào P(x) = 3x⁴ + 2x³ – x² ta được:

P(‒1) = 3 . (‒1)⁴ + 2 . (‒1)³ – (‒1)²

= 3 . 1 + 2 . (‒1) – 1 = 0.

Vì P(‒1) = 0 nên x = ‒1 là nghiệm của đa thức P(x).

Thay x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) vào P(x) = 3x⁴+ 2x³ – x² ta được:

\(P\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=3.\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4+2.\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3−\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\)

\(= 3.\displaystyle\frac{1}{16}+2.\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{16}.\)

Vì \(P\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{3}{16} ≠ 0\) nên \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) không là nghiệm của đa thức P(x).

\(\)

21. Tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) 2 – 3x² + 5x⁴ – x – x² – 5x⁴ + 3x³;

b) 2x³ – 6x⁷;

c) 1 – x;

d) – 3;

e) 0.

Giải

a) Ta có: 2 – 3x² + 5x⁴ – x – x² – 5x⁴ + 3x³

= (5x⁴ – 5x⁴) + 3x³+ (– 3x² – x²) – x + 2

= 3x³– 4x² – x + 2.

Đa thức có bậc là 3 do số mũ cao nhất của x là 3.

b) Đa thức 2x³ – 6x⁷có bậc là 7 do số mũ cao nhất của biến x là 7.

c) Đa thức 1 – x có bậc là 1 do số mũ cao nhất của biến x là 1.

d) Đa thức – 3 có bậc là 0 do số mũ cao nhất của biến x là 0.

e) Đa thức 0 không có bậc.

\(\)

22. Kiểm tra xem:

a) x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\), x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) có là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1 hay không;

b) x = 2, x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) có là nghiệm của đa thức Q(x) = –3x + 6 hay không;

c) t = 0, t = 2 có là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t hay không;

d) t = 0, t = 1, t = –1 có là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t hay không.

Giải

a) Thay x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) vào P(x) ta được:

\(P\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=2.\displaystyle\frac{1}{2}-1=0.\)

Do đó x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức P(x).

Thay x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) vào P(x) ta được:

\(P\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=2.\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-1=-2≠0.\)

Do đó x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) không là nghiệm của đa thức P(x).

b) Thay x = 2 vào đa thức Q(x) ta được:

Q(2) = –3 . 2 + 6 = 0.

Do đó x = 2 là nghiệm của đa thức Q(x).

Thay x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) vào đa thức Q(x) ta được:

\(Q\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-3.\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+6=\displaystyle\frac{15}{2}≠0.\)

Do đó x = \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) không là nghiệm của đa thức Q(x).

c) Thay t = 0 vào đa thức R(t) ta được:

R(0) = 0² + 2 . 0 = 0.

Do đó t = 0 là nghiệm của đa thức R(t).

Thay t = 2 vào đa thức R(t) ta được:

R(2) = 2² + 2 . 2 = 8 ≠ 0.

Do đó t = 2 không là nghiệm của đa thức R(t).

d) Thay t = 0 vào đa thức H(t) ta được:

H(0) = 0³ – 0 = 0.

Do đó t = 0 là nghiệm của đa thức H(t).

• Thay t = 1 vào đa thức H(t) ta được:

H(1) = 1³ – 1 = 0.

Do đó t = 1 là nghiệm của đa thức H(t).

Thay t = –1 vào đa thức H(t) ta được:

H(‒1) = (‒1)³ – (‒1) = 0.

Do đó t = ‒1 là nghiệm của đa thức H(t).

\(\)

23*. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) x² + 4;

b) 10x² + \(\displaystyle\frac{3}{4}\);

c) (x – 1)² + 7.

Giải

a) Vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x nên x² + 4 ≥ 4 với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức x² + 4 không có nghiệm.

b) Vì 10x² ≥ 0 với mọi giá trị của x nên 10x² + \(\displaystyle\frac{3}{4}\) ≥ \(\displaystyle\frac{3}{4}\) với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức 10x² + \(\displaystyle\frac{3}{4}\) không có nghiệm.

c) Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi giá trị của x nên (x – 1)² + 7 ≥ 7 với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức (x – 1)² + 7 không có nghiệm với mọi giá trị của x.

\(\)

24. Đố?

Tác phẩm “TRUYỆN …” là một truyện thơ của đại thi hào Nguyễn Du. Tác phẩm đó được xem là một trong những truyện thơ nổi tiếng nhất và xét vào hàng kinh điển trong văn học Việt Nam, nó được viết theo thể thơ lục bát, gồm 3 254 câu.

Em sẽ biết từ còn thiếu của tên truyện thơ trên bằng cách thu gọn mỗi đa thức sau rồi viết các chữ tương ứng với kết quả tìm được vào các ô trống trong bảng dưới đây:

I. \(3x^3 + \displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^3;\)

Ề. \(2021x + (–2021x);\)

K. \(-\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{2}x^4 + \displaystyle\frac{1}{7}x^4;\)

U. \(6x^2 + \displaystyle\frac{1}{6}x^2 – \displaystyle\frac{1}{5}x^2.\)

Giải

I. \(3x^3 + \displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^3\) \(= (3+13−12)^3+13−12x^3 = 176176x^3;\)

Ề. \(2021x + (–2021x) = (2021 – 2021)x = 0;\)

K. \(-\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{2}x^4 + \displaystyle\frac{1}{7}x^4\) \(= \left(-\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{7}\right)x^4 = -\displaystyle\frac{39}{70}x^4;\)

U. \(6x^2 + \displaystyle\frac{1}{6}x^2 – \displaystyle\frac{1}{5}x^2\) \(= \left(6-\displaystyle\frac{1}{6}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)x^2 = \displaystyle\frac{179}{30}x^2.\)