Bài \(3\). Đường thẳng và mặt phẳng song song trang \(107\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Cho hình chóp \(S. ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Cho \(M\) là trung điểm của \(SC\).
\(a)\) Chứng minh đường thẳng \(OM\) song song với hai mặt phẳng \((SAD) \text{ và } (SBA)\).
\(b)\) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((OMD) \text{ và } (SAD)\).
Trả lời:
\(a)\) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
\(\Rightarrow OA = OC\)
Lại có \(MS = MC\)
Suy ra \(OM // SA\)
Mà \(SA \subset (SAB), SA \subset (SAD)\)
Vậy \(OM // (SAB), OM // (SAD)\)
\(b)\) Xét hai mặt phẳng \((OMD)\) và \((SAD)\) có: \(OM // SA\), điểm \(D\) là giao điểm của hai mặt phẳng.
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \((OMD)\) và \((SAD)\) là đường thẳng đi qua \(D\) và song song với \(OM\) và \(SA\).
\(\)
Bài \(2\). Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O’\) lần lượt là tâm của \(ABCD\) và \(ABEF\).
\(a)\) Chứng minh đường thẳng \(OO’\) song song với các mặt phẳng \((CDEF), (ADF) \text{ và } (BCE)\).
\(b)\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AF\) và \(BE\). Chứng minh \(MN // (CDFE)\).
\(c)\) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((OMN) \text{ và } (ABCD)\).
Trả lời:
\(a)\) Xét tam giác \(BDF\) có \(O, O’\) lần lượt là trung điểm của \(BD, BF\).
Suy ra \(OO’ // DF\)
Mà \(DF \subset (CDFE), DF \subset (ADF)\) nên \(OO’ // (CDFE), OO’ // (ADF)\)
Xét tam giác \(ACE\) có \(O, O’\) lần lượt là trung điểm của \(AC, AE\) nên \(OO’ // CE\)
Mà \(CE \subset (BCE)\) nên \(OO’ // (BCE)\)
\(b)\) Xét hình bình hành \(ABEF\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(AF, BE\) nên ta có:
\(MN // AB // EF\)
Mà \(EF \subset (CDFE)\)
Suy ra \(MN // (CDFE)\)
\(c)\) Hai mặt phẳng \((OMN)\) và \((ABCD)\) có điểm chung là \(O\), \(MN // AB\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \((OMN)\) và \((ABCD)\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(MN\) và \(AB\)
\(\)
Bài \(3\). Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(AD\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(M\), song song với \(CD\) và \(SA\), cắt \(BC, SC, SD\) lần lượt tại \(N, P, Q\).
\(a)\) \(MNPQ\) là hình gì?
\(b)\) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(AD\).
Trả lời:
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \((\alpha) // CD\) và \((\alpha)\) cắt \((SCD)\) tại \(PQ\) nên \(PQ // CD\) \((1)\)
\((\alpha) // CD\) và \((\alpha)\) cắt \((ABCD)\) tại \(MN\) nên \(MN // CD\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(MN // PQ\)
Hay tứ giác \(MNPQ\) là hình thang với hai cạnh đáy là \(MN\) và \(PQ\).
\(b)\) Hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) có điểm chung \(S\) và \(AD // BC\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\)
Lại có: \(\left. \begin{matrix}I \in NP\\NP \subset (SBC) \end{matrix} \right\}\Rightarrow I \in (SBC)\)
\(\left. \begin{matrix}I \in MQ\\MQ \subset (SAD) \end{matrix} \right\}\Rightarrow I \in (SAD)\)
Suy ra \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng, nên sẽ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
Vậy khi \(M\) di chuyển thì \(I\) luôn nằm trên đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(BC\) và \(AD\).
\(\)
Bài \(4\). Cho tứ diện (ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\). Gọi \(N, P< Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với các cạnh \(AC, CD \text{ và } DB\).
\(a)\) Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.
\(b)\) Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi.
Trả lời:
\(a)\) Ta có \((\alpha) // BC\) và \((\alpha)\) cắt (ABC)\) chứa \(BC\) tại \(MN\).
\(\Rightarrow MN // BC\)
\((\alpha) // BC\) và \((\alpha)\) cắt \((BCD)\) chứa \(BC\) tại \(PQ\)
\(\Rightarrow PQ // BC\)
Suy ra \(MN // PQ\) \((1)\)
Lại có: \((\alpha) // AD\) và \((\alpha)\) cắt \((ACD)\) chứa \(AD\) tại \(NP\)
\(\Rightarrow NP // AD\)
\((\alpha) // AD\) và \((\alpha)\) cắt \((ABD)\) chứa \(AD\) tại \(MQ\).
\(\Rightarrow MQ // AD\)
Suy ra: \(NP // MQ\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song).
\(b)\) \(MNPQ\) là hình thoi khi và chỉ khi \(MN = NP\)
Vì \(MN // PC\) nên \(\displaystyle \frac{MN}{BC} = \displaystyle \frac{AN}{AC}\)
\(NP // AD\) nên \(\displaystyle \frac{NP}{AD} = \displaystyle \frac{CN}{AC}\)
Do \(MN = NP\) suy ra: \(\displaystyle \frac{MN}{AD} = \displaystyle \frac{CN}{AC}\)
Mà \(\displaystyle \frac{AN}{AC} + \displaystyle \frac{CN}{AC} = 1\) nên \(\displaystyle \frac{MN}{BC} + \displaystyle \frac{MN}{AD} = 1\)
Suy ra: \(MN = \displaystyle \frac{AD. BC}{AD + BC}\)
\(\)
Bài \(5\). Cho hình chóp \((S. ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \((P)\) với các mặt của hình chóp \(S. ABCD\).
Trả lời:
Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(N\).
Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(SB\) tại \(P\).
Qua \(P\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(Q\).
Mặt phẳng \((MNPQ)\) có \(MN // BC, NP // SA\) nên mặt phẳng \((MNPQ)\) là mặt phẳng \((P)\).
Giao tuyến của mặt phẳng \((P)\) với các mặt phẳng \((ABCD), (SAB), (SBC), (SCD)\) lần lượt là \(MN, NP, PQ, QM\).
Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\) với \((SAD)\).
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(MN)\). Khi đó \(E \in (SAD), E \in (P)\)
Trong mặt phẳng \((SCD)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(SD\) và \(MQ\). Khi đó \(F \in (SAD), S \in (P)\)
Vậy \(E, F\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD) \text{ và } (P)\) hay \(EF\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD) \text{ và } (P)\).
\(\)
Bài \(6\). Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng \(a, b, c, d, e\) với mặt phẳng \((P)\) là mặt trước của toà nhà (Hình \(19\)).
Trả lời:
Hai đường thẳng \(a\) và \(e\) thuộc mặt phẳng \((P)\)
Hai đường thẳng \(b\) và \(c\) song song với mặt phẳng \((P)\).
Đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((P)\).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2 – Hai đường thẳng song song
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Hai mặt phẳng song song
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.