Bài 2: Đường trung bình của tam giác

Chương 7 – Bài 2: Đường trung bình của tam giác trang 45 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.

1. Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh I là trung điểm của MN.

Giải

a) Xét ∆ABC, ta có: MA = MB và NA = NC, nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // BC do đó tứ giác BMNC là hình thang.

b) Xét ∆ABE, ta có MA = MB và MI // BE nên IA = IE.

Suy ra MI là đường trung bình của ∆ABE, suy ra MI = \(\displaystyle\frac{BE}{2}.\)

Tương tự, ta có IN = \(\displaystyle\frac{BE}{2}.\)

Ta lại có BE = EC, suy ra MI = IN.

Vậy I là trung điểm của MN.

\(\)

2. Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyển AM (M ∈ BC). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh:

a) EF = FB;

b) AE = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)AB;

c) CE = 4EI.

Giải

a) Xét ∆BCE, ta có MB = MC và MF // CE nên EF = FB.

b) Xét ∆AMF, ta có IA = IM và EI // MF nên EA = EF.

Suy ra EA = EF = FB.

Vậy AE = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)AB.

c) Xét ∆BCE, ta có MB = MC và EF = FB, nên MF là đường trung bình của ∆BCE.

Suy ra CE = 2MF.

Tương tự, EI là là đường trung bình của ∆AMF nên MF = 2EI.

Suy ra CE = 4EI.

\(\)

3. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến EM và CN cắt nhau tại G (M ∈ AC, N ∈ AB). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh:

a) MN // DE;

b) ND // ME.

Giải

a) Xét ∆ABC, ta có MA = MC và NA = NB nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // BC (1)

Xét ∆BCG, ta có BD = DG và CE = EG nên DE là đường trung bình của ∆BCG.

Suy ra DE // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // DE.

b) Xét ∆ABG có NA = NB và DG = DB nên ND là đường trung bình của ∆ABG.

Suy ra ND // AG (3)

Xét ∆ACG có MA = MC và EG = EC nên ME là đường trung bình của ∆ACG.

Suy ra ME // AG (4)

Từ (3) và (4) suy ra ND // ME.

\(\)

4. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD, AC. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Giải

Xét ∆ABD, ta có MA = MD và PD = PB, nên MP là đường trung bình của ∆ABD.

Suy ra MP //AB mà AB // CD nên MP // CD.

Xét ∆ADC, ta có MA = MD và QA = QC nên MQ là đường trung bình của ∆ADC.

Suy ra MQ // CD.

Xét ∆BCD, ta có PB = PD và NB = NC nên BN là đường trung bình của ∆BCD.

Suy ra PN // CD.

Qua điểm M ∉ CD có: MP // CD và MQ // CD, suy ra M, P, Q thẳng hàng.

Qua điểm P ∉ CD có: MP // CD và PN // CD, suy ra M, P, N thẳng hàng.

Vậy bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

\(\)

5. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác AMNB là hình thang.

b) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho ME = MI. Chứng minh EF // AB.

Giải