Chương 1 – Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến trang 11 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
8. Cho hai đa thức: \(A = x^7-4x^3y^2-5xy + 7;\) \(B = x^7 + 5x^3y^2-3xy-3.\)
a) Tìm đa thức \(C\) sao cho \(C = A + B.\)
b) Tìm đa thức \(D\) sao cho \(A + D = B.\)
Giải
a) \(C = A + B = x^7-4x^3y^2-5xy + 7 + x^7 + 5x^3y^2-3xy-3\)
\(= (x^7 + x^7) + (-4x^3y^2 + 5x^3y^2) + (-5xy-3xy) + 4\)
\(= 2x^7 + x^3y^2-8xy + 4.\)
b) \(A + D = B\) \(⇒ D = B-A\)
\(= x^7 + 5x^3y^2-3xy-3-(x^7-4x^3y^2-5xy + 7)\)
\(= x^7 + 5x^3y^2-3xy-3-x^7 + 4x^3y^2 + 5xy-7\)
\(= (x^7-x^7) + (5x^3y^2 + 4x^3y^2) + (-3xy + 5xy) -3-7\)
\(= 9x^3y^2 + 2xy-10.\)
\(\)
9. Rút gọn biểu thức:
a) \(2x(x^2 + y)-x(2y + 1)-x(2x^2-21y);\)
b) \(5x(6y-x^2) + 3y(y-10x)-3y(y-1) + 15x^3;\)
c) \(18x^{n+1}(y^{n+1} + x^{n+3}) + 9y^3(-2x^{n+1}y^{n-2} + 1)\) với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn \(2.\)
Giải
a) \(2x(x^2 + y)-x(2y + 1)-x(2x^2-21y)\)
\(= 2x^3 + 2xy-2xy-x-2x^3 + 21xy\)
\(= (2x^3- 2x^3) + (2xy-2xy + 21xy)-x\)
\(= 21xy-x.\)
b) \(5x(6y-x^2) + 3y(y-10x)-3y(y-1) + 15x^3\)
\(= 30xy-5x^3 + 3y^2-30xy-3y^2 + 3y + 15x^3\)
\(= (30xy-30xy) + (-5x^3 + 15x^3) + (3y^2-3y^2) + 3y\)
\(= 10x^3 + 3y.\)
c) \(18x^{n+1}(y^{n+1} + x^{n+3}) + 9y^3(-2x^{n+1}y^{n-2} + 1)\)
\(= 18x^{n+1}y^{n+1}+ 18x^{n+1+ n + 3}-18x^{n+1}y^{3 + n-2} + 9y^3\)
\(= 18x^{n+1}y^{n+1} + 18x^{2n+4}-18x^{n+1}y^{n+1} + 9y^3\)
\(= 18x^{2n+4} + 9y^3.\)
\(\)
10. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là \(12\) đơn vị.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là \(a,\ a + 1,\ a + 2.\)
Do tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là \(12\) đơn vị nên \((a + 1)(a + 2)-a(a + 1) = 12.\)
Ta có \((a + 1)(a + 2)-a(a + 1)\) \(=a^2 + 2a + a + 2-a^2-a = 12.\)
Do đó \(2a = 10.\) Suy ra \(a = 5.\)
Vậy ba số cần tìm là: \(5,\ 6,\ 7.\)
\(\)
11. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) \(M = (x-1)(x^2 + x + 1)-x^2(x-1)-x^2-23;\)
b) \(N=\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}y\right)(x^2+2y)-x(x^2+2y)+y\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2+y\right)-\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Giải
a) Ta có: \(M = (x-1)(x^2 + x + 1)-x^2(x-1)-x^2-23\)
\(= x^3 + x^2 + x-x^2-x-1-x^3 + x^2-x^2-23\)
\(= (x^3-x^3) + (x^2-x^2) + (x-x) + (-1-23)\)
\(=-24.\)
Vậy giá trị của \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Ta có: \(N=\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}y\right)(x^2+2y)-x(x^2+2y)+y\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2+y\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(=x^3+2xy-\displaystyle\frac{1}{2}x^2y-y^2-x^3-2xy+\displaystyle\frac{1}{2}x^2y+y^2-\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Vậy giá trị của \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
\(\)
12. Chứng minh rằng biểu thức \(P = (2y-x)(x + y) + x(y-x)-2y(x + 5y)-1\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y.\)
Giải
Ta có: \(P = (2y-x)(x + y) + x(y-x)-2y(x + 5y)-1\)
\(= 2xy + 2y^2-x^2-xy +xy-x^2-2xy-10y^2-1\)
\(= (2xy-xy + xy-2xy) + (2y^2-10y^2) + (-x^2-x^2)-1\)
\(=-8y^2-2x^2-1.\)
Do với mọi giá trị của \(x,\ y\) ta có: \(x^2 ≥ 0,\) \(y^2 ≥ 0\) nên \(-2x^2 ≤0,\) \(-8y^2 ≤0.\)
Suy ra \(-8y^2-2x^2-1≤-1\) với mọi giá trị của biến \(x,\ y.\)
Vậy \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y.\)
\(\)
13. Cho hai đơn thức: \(A =-132x^{n+1}y^{10}z^{n+2};\) \(B = 1,2x^5y^nz^{n+1}\) với \(n\) là số tự nhiên.
a) Tìm các số tự nhiên \(n\) để đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B.\)
b) Tìm đa thức \(P\) sao cho \(P = A : B.\)
c) Tính giá trị của đa thức \(P\) tại \(n = 9;\) \(x = 2;\) \(y = -1;\) \(z = 5,8.\)
Giải
a) Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\) khi mỗi biến của \(B\) đều là biến của \(A\) với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong \(A.\)
Suy ra \(5≤n+1;\) \(n≤10;\) \(n+1≤n+2\) hay \(4≤n≤10.\)
Vậy \(n ∈ {4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10}\) thì đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B.\)
b) \(P = A : B = (-132x^{n+1}y^{10}z^{n+2}) : (1,2x^5y^nz^{n+1})\)
\(= (-132 : 1,2)(x^{n+1}: x^5)(y^{10}-y^n)(z^{n+2}: z^{n + 1})\)
\(=-110x^{n+1-5}y^{10-n}z^{n+2-n-1}\)
\(=-110x^{n-4}y^{10-n}z.\)
c) Giá trị của đa thức \(P\) tại \(n = 9;\) \(x = 2;\) \(y = -1;\) \(z = 5,8\) là:
\(P =-110.2^{9-4}.(-1)^{10-9}.5,8= 20 416.\)
\(\)
14. Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với 1 < y < x. Người ta để lối đi có độ rộng 1 (m) (phần không tô màu) như Hình 2.
Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m)
a) Viết đa thức S biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó.
b) Tính giá trị của S tại x = 9; y = 5,4.
Giải
a) Phần còn lại của mảnh đất gồm bốn miếng đất bằng nhau có dạng hình chữ nhật với chiều dài bằng \(\displaystyle\frac{x-1}{2}\ (m),\) chiều rộng bằng \(\displaystyle\frac{y-1}{2}\ (m).\) Vậy đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó là:
\(S=4.\displaystyle\frac{x-1}{2}.\displaystyle\frac{y-1}{2}=xy-x-y+1\ (m^2).\)
b) Giá trị của \(S\) tại \(x = 9;\ y = 5,4\) là:
\(S = 9.5,4-9-5,4 +1 = 35,2\ (m^2).\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1. Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
