Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến

Chương 1 – Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến trang 16 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Thực hiện phép tính:

a) \((-xy)(-2x^2y + 3xy-7x);\)

b) \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2\right)(-0,3x^2y-0,4xy+1);\)

c) \((x + y)(x^2 + 2xy + y^2);\)

d) \((x-y)(x^2-2xy + y^2).\)

Giải

a) \((-xy)(-2x^2y + 3xy-7x)\)

\(= (-xy) . (-2x^2y) + (-xy) . 3xy-(-xy) . 7x\)

\(= 2x^3y^2-3x^2y^2 + 7x^2y.\)

b) \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2\right)(-0,3x^2y-0,4xy+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2.(-0,3x^2y)-\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2.0,4xy+\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2.1\)

\(=\displaystyle\frac{-5}{6}x^4y^3-\displaystyle\frac{1}{15}x^3y^3+\displaystyle\frac{1}{6}x^2y^2.\)

c) \((x + y)(x^2 + 2xy + y^2)\)

\(= x . x^2 + x . 2xy + x . y^2 + y . x^2 + y . 2xy + y . y^2\)

\(= x^3 + 2x^2y + xy^2 + x^2y + 2xy^2 + y^3\)

\(= x^3 + (2x^2y + x^2y) + (xy^2+ 2xy^2) + y^3\)

\(= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\)

d) \((x-y)(x^2-2xy + y^2)\)

\(= x . x^2-x . 2xy + x . y^2-y . x^2-y . (-2xy)-y . y^2\)

\(= x^3-2x^2y + xy^2-x^2y + 2xy^2-y^3\)

\(= x^3-(2x^2y + x^2y) + (xy^2 + 2xy^2)-y^3\)

\(= x^3-3x^2y + 3xy^2-y^3.\)

\(\)

2. Thực hiện phép tính:

a) \((39x^5y^7) : (13x^2y);\)

b) \(\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{1}{6}x^3y^2-x^5y^4\right):\left(\displaystyle\frac{1}{2}xy^2\right).\)

Giải

\(a) (39x^5y^7) : (13x^2y)\)

\(= (39: 13) (x^5: x^2) (y^7: y)\)

\(= 3x^3y^6.\)

b) \(\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{1}{6}x^3y^2-x^5y^4\right):\left(\displaystyle\frac{1}{2}xy^2\right)\)

\(=x^2y^2:\left(\displaystyle\frac{1}{2}xy^2\right)+\displaystyle\frac{1}{6}x^3y^2:\left(\displaystyle\frac{1}{2}xy^2\right)-x^5y^4:\left(\displaystyle\frac{1}{2}xy^2\right)\)

\(=2x+\displaystyle\frac{1}{3}x^2-2x^4y^2.\)

\(\)

3. Rút gọn biểu thức:

a) \((x-y)(x^2 + xy + y^2);\)

b) \((x + y)(x^2-xy + y^2);\)

c) \((4x-1)(6y+1)-3x\left(8x+\displaystyle\frac{4}{3}\right);\)

d) \((x + y)(x-y) + (xy^4-x^3y^2) : (xy^2).\)

Giải

a) \((x-y)(x^2 + xy + y^2)\)

\(= x . x^2 + x . xy + x . y^2-y . x^2-y . xy-y . y^2\)

\(=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\)

\(= x^3 + (x^2y-x^2y) + (xy^2-xy^2)-y^3\)

\(= x^3-y^3.\)

b) \((x + y)(x^2-xy + y^2)\)

\(= x . x^2-x . xy + x . y^2 + y . x^2-y . xy + y . y^2\)

\(= x^3-x^2y + xy^2 + x^2y-xy^2 + y^3\)

\(= x^3 + (x^2y-x^2y) + (xy^2-xy^2) + y^3\)

\(= x^3 + y^3.\)

c) \((4x-1)(6y+1)-3x\left(8x+\displaystyle\frac{4}{3}\right)\)

\(= 4x.6y + 4x.1 -1.6y -1.1 -3x.8x -3x.\displaystyle\frac{4}{3}\)

\(= 24xy + 4x-6y-1-24x^2-4x\)

\(= 24xy-24x^2 + (4x-4x)-6y-1\)

\(= 24xy-24x^2-6y-1.\)

d) \((x + y)(x-y) + (xy^4-x^3y^2) : (xy^2)\)

\(= x . x + x . y-x . y-y . y + (xy^4) : (xy^2)-(x^3y^2) : (xy^2)\)

\(= x^2-y^2 + y^2-x^2\)

\(= (x^2-x^2) + (y^2-y^2) = 0.\)

\(\)

4. a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

\(P = (5x^2-2xy + y^2)-(x^2 + y^2)-(4x^2-5xy + 1)\)

khi \(x = 1,2\) và \(x + y = 6,2.\)

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

\((x^2-5x + 4)(2x + 3)-(2x^2-x-10)(x-3).\)

Giải

a) \(P = (5x^2-2xy + y^2)-(x^2 + y^2)-(4x^2-5xy + 1)\)

\(= 5x^2-2xy + y^2-x^2-y^2-4x^2 + 5xy-1\)

\(= (5x^2-x^2-4x^2)+(5xy-2xy) + (y^2-y^2)-1\)

\(= 3xy-1.\)

Với \(x = 1,2;\ x + y = 6,2\) suy ra \(y = 6,2-x = 6,2-1,2 = 5.\)

Giá trị của biểu thức P khi \(x = 1,2\) và \(y = 5\) là:

\(3 . 1,2 . 5-1 = 18-1 = 17.\)

b) \((x^2-5x + 4)(2x + 3)-(2x^2-x-10)(x-3)\)

\(= (2x^3-10x^2+ 8x + 3x^2-15x + 12)-(2x^3-x^2-10x-6x^2 + 3x + 30)\)

\(= (2x^3-7x^2-7x+ 12)-(2x^3-7x^2-7x + 30)\)

\(= 2x^3-7x^2-7x+ 12-2x^3 +7x^2+ 7x-30\)

\(= (2x^3-2x^3) +(7x^2-7x^2) +(7x-7x) + (12-30) =-8.\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x.\)

\(\)

5. a) Chứng minh rằng biểu thức \(P = 5x(2-x)-(x + 1)(x + 9)\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức \(Q = 3x^2 + x(x-4y)-2x(6-2y) + 12x + 1\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Giải

a) \(P = 5x(2-x)-(x + 1)(x + 9)\)

\(= (10x-5x^2)-(x^2 + x + 9x + 9)\)

\(= (10x-5x^2)-(x^2 + 10x + 9)\)

\(= 10x-5x^2-x^2-10x-9\)

\(= (-5x^2-x^2) + (10x-10x)-9 =-9.\)

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x.\)

b) Ta có: \(Q = 3x^2 + x(x-4y)-2x(6-2y) + 12x + 1\)

\(= 3x^2 + x^2-4xy-12x + 4xy + 12x + 1\)

\(= (3x^2 + x^2) + (4xy-4xy) + (12x-12x) + 1\)

\(= 4x^2 + 1\)

Vì \(4x^2≥ 0\) nên \(4x^2 + 1 ≥ 1.\)

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

\(\)

6. Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Giải

Diện tích tam giác vuông ban đầu là: \(\displaystyle\frac{1}{2}.6.8 = 24\ (cm)\)

Tam giác vuông sau khi mở rộng có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(x + 6\ (cm);\) \(y + 8\ (cm).\)

Diện tích tam giác vuông sau khi tăng độ dài hai cạnh góc vuông là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(x+6).(y+8)\)

\(=\left(\displaystyle\frac{1}{2}x+3\right).(y+8)\)

\(= \displaystyle\frac{1}{2}xy + 4x + 3y + 24\ (cm).\)

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y là: \(\displaystyle\frac{1}{2}xy + 4x + 3y + 24\ (cm).\)

\(\)

7. Khu vực của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m^2. Tính độ dài x (m) của khu vườn đó.