Bài \(2\). Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất trang \(15\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A\): “Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa”;
\(B\): “Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”;
\(C\): “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;
\(D\): “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
Trong hai biến cố \(C, D\), biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố \(A, B\)? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố \(A, B\).
Trả lời:
Biến cố hợp (\(A\) và \(B\)): “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa” (biến cố \(C\)) là kết quả của việc ghép lại hai biến cố \(A\) và \(B\), tức là xảy ra cùng lúc cả \(A\) và \(B\).
Biến cố giao (\(A\) giao \(B\)): “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” (biến cố \(D\)) là kết quả của việc giao của hai biến cố \(A\) và \(B\), tức là ít nhất một trong \(A\) hoặc \(B\) xảy ra.
\(\)
Bài \(2\). Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A:\) “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn \(4\)”;
\(B:\) “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn \(4\)”;
\(C:\): “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn \(4\)”.
Trong các biến cố trên, hãy:
\(a)\) Tìm cặp biến cố xung khắc;
\(b)\) Tìm cặp biến cố độc lập.
Trả lời:
\(a)\) Cặp biến cố xung khắc là \(A\) và \(C\), vì nếu \(A\) xảy ra thì \(C\) không thể xảy ra, và ngược lại, nếu \(C\) xảy ra thì \(A\) không thể xảy ra.
\(b)\) Cặp biến cố độc lập là \(A\) và \(B\), vì xảy ra hay không xảy ra biến cố \(A\) không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(B\), và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố \(B\) cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(A\).
\(\)
Bài \(3\). Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố \(M\): “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho \(11\) hoặc chia hết cho \(12\)”.
Trả lời:
Ta có \(n_{\Omega}= 90 \)
Xét biến cố \(A\): “Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho \(11\)”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n(A) = 9\)
Suy ra \(P(A) = \displaystyle \frac{9}{90} = \displaystyle \frac{1}{10}\)
Xét biến cố \(B\): “Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho \(12\)”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là \(n(B) = 8\).
Suy ra \(P(B) = \displaystyle \frac{8}{90} = \displaystyle \frac{4}{45}\).
Ta thấy, các số tự nhiên có hai chữ số, chia hết cho \(11\) thì không có số nào chia hết cho \(12\). Vì thế hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
Vậy \(P(M) = \displaystyle \frac{1}{10} + \displaystyle \frac{4}{45} = \displaystyle \frac{17}{90}\)
\(\)
Bài \(4\). Một hộp có \(12\) viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có \(7\) viên bi màu xanh và \(5\) viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên \(5\) viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong \(5\) viên bi được chọn có ít nhất \(2\) viên bi màu vàng.
Trả lời:
Mỗi cách chọn ngẫu nhiên \(5\) viên bi từ hộp \(12\) viên bi là một tổ hợp chập \(5\) của \(12\) . Do đó không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(5\) của \(12\) phần tử và
\(n(\Omega) = C_{12}^5 = \displaystyle \frac{12!}{5!. 7!} = 792\)
Xét biến cố \(A\): “Trong \(5\) viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào” tức là \(5\) viên bi được chọn đều là màu xanh.
\(\Rightarrow n(A) = C_7^5 = 21\)
Xét biến cố \(B\): “Trong \(5\) viên bi được chọn có \(1\) viên bi màu vàng, \(4\) viên bi màu xanh”
\(\Rightarrow n(B) = C_5^1. C_7^4 = 175\)
Xét biến cố \(M\): “Trong \(5\) viên bi được chọn có ít nhất \(2\) viên bi màu vàng”.
Xét biến cố \(\overline{M}\): “Trong \(5\) viên bi được chọn có nhiều nhất \(1\) viên bi màu vàng”.
Xét thấy hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
Suy ra: \(P(\overline{M}) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \displaystyle \frac{21 + 175}{792} = \displaystyle \frac{49}{198}\)
\(\Rightarrow P(M) = 1 \ – \ P(\overline{M}) = 1 \ – \ \displaystyle \frac{49}{198} = \displaystyle \frac{149}{198}\).
\(\)
Bài \(5\). Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm \(6\) mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.
Trả lời:
Ta có số phần tử của không gian mẫu là:
\(n(\Omega) = 6^4 \)
Hai bạn Việt và Nam có chung một mã đề thi nên xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp \(1\): Hai bạn trùng mã đề thi môn Toán, môn Tiếng anh không trùng nhau. Khi đó:
Hùng có \(6\) cách chọn mã đề thi toán, \(6\) cách chọn đề thi Tiếng anh.
Vương có \(1\) cách chọn mã đề thi toán trùng mã của Hùng, \(5\) cách chọn mã đề thi tiếng anh.
Vậy có tất cả: \(6. 6. 1. 5 = 180\) (cách)
Trường hợp \(2\): Hai bạn trùng mã đề thi môn Tiếng anh, môn Toán không trùng nhau.
Tương tự, ta cũng có tổng số cách chọn là \(180\) cách.
Vậy tổng số cách chọn để hai bạn có chung duy nhất một mã đề thi là:
\(180 + 180 = 360\) (cách)
Xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung một mã đề thi trong kì thi đó là:
\(P = \displaystyle \frac{360}{6^4} = \displaystyle \frac{5}{18}\)
\(\)
Bài \(6\). Trong một chiếc hộp có \(20\) viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có \(9\) viên bi màu đỏ, \(6\) viên bi màu xanh và \(5\) viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) viên bi. Tính xác suất để \(3\) viên bi lấy ra có đúng \(2\) màu.
Trả lời:
Mỗi cách lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) viên bi trong một chiếc hộp \(20\) viên bi là một tổ hợp chập \(3\) của \(20\) phần tử. Do đó không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(3\) của \(20\) phần tử và
\(n(\Omega) = C_{20}^3 = 1140\)
Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) viên vi lấy ra có đúng hai màu”.
Khi đó biến cố \(\overline{A}\): “\(3\) viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả \(3\) màu.
Trường hợp \(1\): \(3\) viên bi lấy ra đều là màu đỏ. Khi đó số cách chọn là \(C_9^3\) (cách)
Trường hợp \(2\): \(3\) viên bi lấy ra đều là màu xanh. Khi đó số cách chọn là \(C_6^3\) (cách)
Trường hợp \(3\): \(3\) viên bi lấy ra đều là màu vàng. Khi đó số cách chọn là \(C_5^3\) (cách)
Trường hợp \(4\): \(3\) viên bi lấy ra có đủ ba màu. Khi đó số cách chọn là \(C_9^1. C_6^1. C_5^1\) (cách)
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là:
\(n(\overline{A} = (C_9^1. C_6^1. C_5^1) + C_9^3 + C_6^3 + C_5^3 = 384\)
\(\Rightarrow P(\overline{A}) = \displaystyle \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{384}{1140} = \displaystyle \frac{32}{95}\)
Suy ra \(P(A) = 1 \ – \ P(\overline{A}) = 1 \ – \ \displaystyle \frac{32}{95} = \displaystyle \frac{63}{95}\).
Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến cố hợp và
Xem bài giải trước: Bài 1 – Các số liệu đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương V
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.