Chương 7 – Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác trang 94 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
85. Cho hai tam giác đều chung đáy ABC và BCD. Gọi I là trung điểm của BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Đường thẳng BC là đường trung trực của AD.
b) Điểm I cách đều các điểm A, B, D.
c) Điểm B nằm trên đường trung trực của CD.
d) Điểm C không nằm trên đường trung trực của BD.
Giải
Vì tam giác ABC, DBC là tam giác đều nên AB = AC = BC = BD = DC.
Ta có CA = CD nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Do BA = BD nên B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Suy ra BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Do đó phát biểu a là đúng.
Vì BC = BD nên điểm B nằm trên đường trung trực của CD.
Do đó phát biểu c là đúng.
Vì CB = CD nên điểm C nằm trên đường trung trực của BD.
Do đó phát biểu d là sai.
Tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat{ABC}=60^o.\)
Trong ∆ABI vuông tại I có
\(\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Suy ra \(\widehat{IAB}=90^o-\widehat{IBA}=90^o-60^o=30^o.\)
Xét tam giác ABI có \(\widehat{ABI}>\widehat{IAB}\) (do \(60^o > 30^o\)).
Suy ra AI > BI (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Do đó điểm I không cách đều hai điểm A và B nên phát biểu b là sai.
Vậy phát biểu a, c là đúng; phát biểu b, d là sai.
\(\)
86. Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Giải
Đặt \(\widehat{DCA}=x\).
Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên
\(\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{BCD}=2x.\)
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)
Suy ra \(\widehat{ABC}=2x.\)
Do điểm D nằm trên đường trung trực của AC nên DA = DC.
Do đó tam giác DAC cân ở D nên \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=x.\)
Xét ∆ABC có \(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Hay \(2x + 2x + x = 180^o\) nên \(5x = 180^o.\)
Suy ra \(x =180^o : 5 = 36^o.\)
Do đó \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=2.36^o=72^o,\) \(\widehat{BAC}=36^o.\)
Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: \(36^o,\ 72^o,\ 72^o.\)
\(\)
87. Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.
Khi đó IM = IN = IP.
+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Xét hai tam giác vuông AIP và AIN có:
AI là cạnh chung,
IP = IN (chứng minh trên)
Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{PAI}=\widehat{NAI}\) (hai góc tương ứng).
Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.
Mà \(\widehat{BAC}=60^o\) (do tam giác ABC đều).
Nên \(\widehat{PAI}=\widehat{NAI}=30^o.\)
Xét tam giác API vuông tại P có:
\(\widehat{PAI}+\widehat{PIA}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{PIA}=90^o-\widehat{PAI}=90^o-30^o=60^o.\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat{PIB}=60^o.\)
Xét hai tam giác vuông PIA và PIB có:
PI là cạnh chung,
\(\widehat{PIA}=\widehat{PIB}\ (= 60^o)\)
Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.
Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)
Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).
Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.
Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.
CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.
Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.
Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.
Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.
Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.
Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
\(\)
88. Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
Giải
Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.
Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.
Suy ra \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\) (1)
Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Nên \(\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}\) (2)
Ta có \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}=90^o\)
Nên \(\widehat{MAC}=90^o-\widehat{MBA}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}.\)
Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.
Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
\(\)
89. Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55). Chứng minh:
a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.
b) Nếu \(\widehat{xOy}=30^o\) thì \(\widehat{EOF}=60^o.\)
Giải
a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.
Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.
b)
Gọi H là trung điểm của EM.
Xét hai tam giác vuông OEH và OMH có:
OH là cạnh chung,
EH = MH (do H là trung điểm của EM).
Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{EOH}=\widehat{MOH}\) (hai góc tương ứng).
Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên \(\widehat{EOx}=\widehat{xOM}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{EOM}.\)
Hay \(\widehat{EOM}=2\widehat{xOM}.\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\widehat{FOy}=\widehat{MOy}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{MOF}.\)
Hay \(\widehat{MOF}=2\widehat{MOy}.\)
Ta có \(\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}\) \(=2\widehat{xOM}+2\widehat{MOy}=2(\widehat{xOM}+\widehat{MOy})\) \(=2\widehat{xOy}=2.30^o=60^o\)
Vậy nếu \(\widehat{xOy}=30^o\) thì \(\widehat{EOF}=60^o.\)
\(\)
90. Cho tam giác ABC cân ở A có \(\widehat{BAC}=120^o.\) Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).
a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?
c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.
Giải
a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat{B} =\widehat{C}.\)
Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB.
Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC.
Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.
Xét hai tam giác vuông AQI và API có:
AI là cạnh chung,
AQ = AP (chứng minh trên)
Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông BQD và CPE có:
\(\widehat{B} =\widehat{C}\) (chứng minh trên),
BQ = CP (chứng minh trên)
Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).
Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.
Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)
Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.
Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.
Suy ra IA = IB = IC
Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.
c) Vì ∆AQI = ∆API nên \(\widehat{QAI}=\widehat{PAI}\) (hai góc tương ứng)
Do đó AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\displaystyle\frac{1}{2}.120^o=60^o.\)
Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.
Lại có \(\widehat{BAI}=60^o\) nên tam giác ABI là tam giác đều.
Do đó IA = IB = AB.
Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.
Xét hai tam giác BAC và BIC có:
AB = IB (chứng minh trên),
AC = IC (chứng minh trên),
BC là cạnh chung
Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)
Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{IBC},\) \(\widehat{BAC}=\widehat{BIC},\) \(\widehat{ACB}=\widehat{ICB}\) (các cặp góc tương ứng)
Xét ∆ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác).
Mà \(\widehat{BAC}=120^o\) (giả thiết) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (do ∆ABC cân tại A).
Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o\widehat{BAC}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-120^o}{2}=30^o.\)
Do đó \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30^o,\ \widehat{BIC}=120^o.\)
\(\)
91*. Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
b) Tính số đo các góc của tam giác MKH.
Giải
a) Xét hai tam giác ABM và ACM có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (do AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)),
AM là cạnh chung.
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).
Ta có AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên:
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\displaystyle\frac{1}{2}.90^o=45^o.\)
Lại có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc trong tam giác ABC)
Mà \(\widehat{BAC}=90^o\) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (do ∆ABC cân tại A)
Nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-90^o}{2}=45^o\)
Xét ∆ABM có \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\) (cùng bằng \(45^o\)) nên tam giác ABM cân tại M.
Suy ra MA = MB
Mà MB = MC nên MA = MB = MC.
Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)
Xét ∆ABH vuông tại H có:
\(\widehat{B_1} +\widehat{BAH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Nên \(\widehat{B_1} =90^o-\widehat{BAH}\)
Mà \(\widehat{A_1} =\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90^o-\widehat{BAH}\)
Suy ra \(\widehat{B_1} =\widehat{A_1}.\)
Xét hai tam giác vuông BAH và ACK có:
\(\widehat{B_1} =\widehat{A_1}\) (chứng minh trên),
AB = AC (chứng minh ở câu a),
Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh n – góc nhọn).
Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BAH}=\widehat{ACK}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat{BAH}=\widehat{BAM}+\widehat{MAH}=45^o+\widehat{MAH},\) \(\widehat{ACK}=\widehat{ACM}+\widehat{MCK}=45^o+\widehat{MCK}\)
Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{ACK}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat{MAH}=\widehat{MCK}.\)
Xét hai tam giác AMH và CMK có:
AH = CK (chứng minh trên),
\(\widehat{MAH}=\widehat{MCK}\) (chứng minh trên),
AM = AM (chứng minh ở câu a)
Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c).
Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).
Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)
Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.
Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
b) Do ∆AMH = ∆CMK nên \(\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{HMK}=\widehat{HMC}+\widehat{CMK}.\)
Do đó \(\widehat{HMK}=\widehat{HMC}+\widehat{AMH}=\widehat{AMC}=90^o\) nên tam giác MHK vuông tại H.
Ta có MH = MK nên ∆MHK cân tại M.
Suy ra \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}.\)
Trong ∆MHK vuông tại H có \(\widehat{MHK}+\widehat{MKH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).
Mà \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}=90^o:2=45^o.\)
Vậy ∆MKH có \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}=45^o,\ \widehat{HMK}=90^o.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
