Chương 7 – Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác trang 92 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
79. Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.
b) \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}.\)
c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.
d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.
Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.
Xét hai tam giác vuông BNE và BME có:
EN = EM (giả thiết),
BE là cạnh chung.
Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{NBE}=\widehat{MBE}\) (hai góc tương ứng).
Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.
Do đó phát biểu a là sai.
Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}.\)
Xét hai tam giác vuông ANE và APE có:
AE là cạnh chung,
\(\widehat{NAE}=\widehat{PAE}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).
Mà EN = EM (giả thiết)
Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.
Do đó phát biểu c là đúng.
Xét hai tam giác vuông CPE và CME có:
EP = EM (chứng mình trên),
CE là cạnh chung.
Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat{PCE}=\widehat{MCE}\) (hai góc tương ứng).
Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.
Do đó phát biểu d là đúng.
Do AB < AC nên \(\widehat{ACB}<\widehat{ABC}\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).
Khi đó \(\widehat{EBC}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.\)
Do đó phát biểu b là sai.
\(\)
80. Cho tam giác ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}.\) Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
a) Số đo góc KAC bằng \(30^o.\)
b) Số đo góc BAK bằng \(25^o.\)
c) Số đo góc BKC bằng \(120^o.\)
d) Số đo góc BKC bằng \(115^o.\)
Giải
Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}\) nên \(3\widehat{BAC}=180^o.\)
Suy ra \(\widehat{BAC}=180^o:3=60^o.\)
Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K.
Nên AK là tia phân giác của góc BAC.
Suy ra \(\widehat{KAB}=\widehat{KAC}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\displaystyle\frac{1}{2}.60^o=30^o.\)
Do đó phát biểu a là đúng, phát biểu b là sai.
Vì BK là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat{KBC}=\widehat{KBA}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABC}.\)
Vì CK là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat{KCB}=\widehat{KCA}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}.\)
Suy ra \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}=2.60^o=120^o.\)
Do đó \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}.120^o=60^o.\)
Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}+\widehat{CKB}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat{CKB}=180^o-(\widehat{KBC}+\widehat{KCB})\) \(=180^o-60^o=120^o.\)
Do đó phát biểu c là đúng, phát biểu d là sai.
\(\)
81. Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác C cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;
b) KI là tia phân giác của góc EKD.
Giải
a) Vì I là giao điểm của hai đường phân giác BD và CE nên I cũng nằm trên phân giác AK.
Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
b) Xét hai tam giác EBC và DCB có:
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (∆ABC cân tại A),
BC là góc chung,
\(\widehat{ECB}\ \left(=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{B}\right)=\widehat{DBC}\ \left(=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\).
Do đó ∆EBC = ∆DCB (g.c.g).
Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác EBK và DCK có:
BE = CD (chứng minh trên),
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (∆ABC cân tại A),
BK = CK (K là trung điểm BC).
Do đó ∆EBK = ∆DCK (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{BKE}=\widehat{CKD}\) (hai góc tương ứng) (1).
Lại có \(\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90^o\) ( do tam giác ABC cân tại A và K là trung điểm của BC) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat{AKB}-\widehat{BKE}=\widehat{AKC}-\widehat{CKD}\)
Hay \(\widehat{EKI}=\widehat{IDK}.\)
Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.
\(\)
82. Cho tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat{CAB}=60^o,\) AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:
a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;
b) EC = ED = EK.
Giải
a) Tam giác ABC vuông tại C có:
\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{CBA}=90^o-\widehat{CAB}=90^o-60^o=30^o.\)
Tam giác EBK vuông tại K có
\(\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{KEB}=90^o-\widehat{KBE}=90^o-30^o=60^o.\)
Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên
\(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\displaystyle\frac{1}{2}.60^o=30^o.\)
Tam giác ACE vuông tại C có \(\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{CEA}=90^o-\widehat{CAE}=90^o-30^o=60^o.\)
Do đó \(\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60^o\) (hai góc đối đỉnh).
Ta có \(\widehat{KEB}=\widehat{DEB}\ (=60^o)\) nên EB là tia phân giác của góc DEK.
Ta có \(\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180^o\) (hai góc kề bù)
Hay \(\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180^o\)
Suy ra \(\widehat{KEA}=180^o-\widehat{KEB}-\widehat{BED}\) \(=180^o-60^o-60^o=60^o.\)
Do đó \(\widehat{KEA}=\widehat{KEB}\ (= 60^o).\)
Suy ra EK là tia phân giác của góc BEA.
b) Xét hai tam giác vuông ACE và AKE có:
AE là cạnh chung,
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông EKB và EDB có:
BE là cạnh chung,
\(\widehat{KEB}=\widehat{DEB}\) (chứng minh câu a)
Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.
Vậy EC = ED = EK.
\(\)
83. Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52). Chứng minh:
a) Tam giác EIF là tam giác vuông;
b) IA = IB.
Giải
a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên \(\widehat{AEI}=\widehat{IEF}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{AEF}.\)
Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên \(\widehat{BFI}=\widehat{IFE}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BFE}.\)
Vì a // b nên \(\widehat{aEF}+\widehat{bFE}=180^o\) (hai góc trong cùng phía)
Suy ra \(\widehat{IEF}+\widehat{IFE}=\displaystyle\frac{\widehat{aEF}+\widehat{bFE}}{2}=\displaystyle\frac{180^o}{2}=90^o.\)
Xét ΔIEF có \(\widehat{IEF}+\widehat{IFE}+\widehat{EIF}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra \(\widehat{EIF}=180^o-(\widehat{IEF}+\widehat{IFE})\) \(=180^o-90^o=90^o.\)
Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.
b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.
Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1)
Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) ta có IA = IB.
Vậy IA = IB.
\(\)
84*. Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.
a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.
Giải
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}.\)
Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB.
Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC.
Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.
Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.
Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.
Xét hai tam giác ABM và ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
AM là cạnh chung,
MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác AEG và ADG có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat{EAG}=\widehat{DAG}\) (do \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)),
AG là cạnh chung.
Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{AGE}=\widehat{AGD}\) (hai góc tương ứng).
Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.
Ta có \(\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\ \widehat{CGM}=\widehat{AGE}\) (các cặp góc đối đỉnh)
Mà \(\widehat{AGE}=\widehat{AGD}\) nên \(\widehat{BGM}=\widehat{CGM}.\)
Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.
Xét hai tam giác AME và AMD có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat{EAM}=\widehat{DAM}\) (do \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)),
AM là cạnh chung.
Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{AME}=\widehat{AMD}\) (hai góc tương ứng)
Nên MA là tia phân giác của góc EMD.
Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)
Ta có AE = AD (chứng minh câu a) nên tam giác AED cân tại A.
Suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}.\)
Xét ΔADE có \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}\) nên \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}.\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó ED // BC.
Nên \(\widehat{DEC}=\widehat{ECM}\) (hai góc so le trong).
Để EG là tia phân giác của góc DEM thì \(\widehat{DEC}=\widehat{CEM}.\)
Suy ra \(\widehat{ECM}=\widehat{CEM}\) nên tam giác MEC cân tại M.
Do đó ME = MC
Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.
Suy ra tam giác EMB cân tại M nên \(\widehat{MEB}=\widehat{MBE}.\)
Xét ΔEBC có \(\widehat{BEC}+\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Hay \(\widehat{BEC}+\widehat{MCE}+\widehat{MBE}=180^o.\)
Mà \(\widehat{MEC}=\widehat{MCE} và \widehat{MEB}=\widehat{MBE}.\)
Nên \(\widehat{BEC}+\widehat{MEC}+\widehat{MEB}=180^o\) hay \(\widehat{BEC}+\widehat{BEC}=180^o.\)
Suy ra \(2\widehat{BEC}=180^o.\)
Do đó \(\widehat{BEC}=180^o:2=90^o\) nên \(\widehat{AEC}=90^o.\)
Xét hai tam giác BEC và AEC có:
\(\widehat{BEC}=\widehat{AEC}\ (=90^o),\)
EC là cạnh chung,
BE = AE (chứng minh câu a).
Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra BC = AC.
Mà AB = AC (chứng minh câu a).
Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
