Bài \(1\). Giá trị lượng giác của góc lượng giác trang \(5\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1.1\). Hoàn thành bảng sau:
Trả lời:
Áp dụng công thức đổi số đo độ sang radian và ngược lại:
\(\alpha^o = \alpha. \displaystyle \frac{\pi}{180^o}\) rad
\(\alpha\) rad = \(\alpha. \left(\displaystyle \frac{180}{\pi}\right)^o\)
Ta được bảng sau:
\(\)
Bài \(1.2\). Một đường tròn có bán kính \(20\) cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{\pi}{12}\);
\(b)\) \(1,5\);
\(c)\) \(35^o\);
\(d)\) \(315^o\).
Trả lời:
Độ dài các cung trên đường tròn lần lượt là:
\(a)\) \(l = R. \alpha = 20. \displaystyle \frac{\pi}{12} \approx 5,236\) (cm)
\(b)\) \(l = R. \alpha = 20. 1,5 = 30\) (cm)
\(c)\) \(l = R. \alpha = 20. \displaystyle \frac{35. 2\pi}{360} \approx 12,217\) (cm)
\(d)\) \(l = R. \alpha = 20. \displaystyle \frac{315. 2\pi}{360} \approx 109,956\) (cm)
\(\)
Bài \(1.3\). Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm \(M\) biểu diễn các góc có số đo sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\);
\(b)\) \(\ – \ \displaystyle \frac{11\pi}{4}\);
\(c)\) \(150^o\);
\(d)\) \(\ – \ 225^o\).
Trả lời:
\(a)\) Điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) được xác định như hình dưới:
\(b)\) Ta có: \(\ – \ \displaystyle \frac{11\pi}{4} = \ – \ \left(\displaystyle \frac{3\pi}{4} + 2\pi\right)\)
Điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\ – \ \displaystyle \frac{11\pi}{4}\) được xác định như hình dưới:
\(c)\) Điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(150^o\) được xác định như hình dưới:
\(d)\) Điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\ – \ 225^o\) được xác định như hình dưới:
\(\)
Bài \(1.4\). Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), biết:
\(a)\) \(\cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{5}\) và \(0 < \alpha < \displaystyle \frac{\pi}{2}\);
\(b)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{2}{3}\) và \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\);
\(c)\) \(\tan{\alpha} = \sqrt{5}\) và \(\pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\);
\(d)\) \(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{\sqrt{2}}\) và \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2 \pi\).
Trả lời:
\(a)\) Vì \(0 < \alpha < \displaystyle \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin{\alpha} > 0\)
Ta có: \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}}\)
\(= \displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}\)
Suy ra \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}}{\displaystyle \frac{1}{5}} = 2\sqrt{6}\)
\(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{2sqrt{6}}\)
\(b)\) Vì \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos{\alpha} < 0\)
Lại có: \(\sin^{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ sin^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{4}{9}}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)
Suy ra: \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}} = \ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\).
\(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(c)\) Ta có: \(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Vì \(\pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\) nên \(\cos{\alpha} < 0, \sin{\alpha} < 0\)
Mặt khác có \(1 + \tan^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{1}{1 + \tan^2{\alpha}}}\)
\(= \ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{1}{1 + 5}} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{6}}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}\)
\(d)\) Ta có: \(\tan{\alpha}. \cot{\alpha} = 1\)
\(\Rightarrow \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \ – \ \sqrt{2}\)
Vì \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) nên \(\sin{\alpha} < 0, \cos{\alpha} > 0\)
Mặt khác có: \(1 + \tan^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \sqrt{\displaystyle \frac{1}{1 + \tan^2{\alpha}}} = \sqrt{\displaystyle \frac{1}{1 + 2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\)
Bài \(1.5\) Chứng minh các đẳng thức:
\(a)\) \(\cos^4{\alpha} \ – \ \sin^4{\alpha} = 2\cos^2{\alpha} \ – \ 1\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{\cos^2{\alpha} + \tan^2{\alpha} \ – \ 1}{\sin^2{\alpha}} = \tan^2{\alpha}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\cos^4{\alpha} \ – \ \sin^4{\alpha} = (cos^2{\alpha} + \sin^{\alpha})(\cos^2{\alpha} \ – \ \sin^2{\alpha})\)
\(= 1. (\cos^2{\alpha} \ – \ \sin^2{\alpha}) = \cos^2{\alpha} \ – \ (1 \ – \ \cos^2{\alpha})\)
\(= 2\cos^2{\alpha} \ – \ 1\) (đpcm)
\(b)\) Ta có:
\(\displaystyle \frac{\cos^2{\alpha} + \tan^2{\alpha} \ – \ 1}{\sin^2{\alpha}} = \displaystyle \frac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} + \displaystyle \frac{\tan^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}}\)
\(= \cot^2{\alpha} + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}}{\sin^2{\alpha}} \ – \ (1 + \cot^2{\alpha})\)
\(= \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}} \ – \ 1 = \tan^2{\alpha}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(1.6\). Bánh xe của người đi xe đạp quay được \(11\) vòng trong \(5\) giây.
\(a)\) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong \(1\) giây.
\(b)\) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong một phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là \(680\) mm.
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(5\) giây quay được \(11\) vòng
Suy ra \(1\) giây bánh xe quay được số vòng là \(\displaystyle \frac{11}{5}\) vòng
Vậy góc mà bánh xe quay được trong \(1\) giây là:
\(\displaystyle \frac{11}{5}. 360^o = 792^o\)
\( = \displaystyle \frac{11}{5}. 2\pi = 4,4\pi\) (rad)
\(b)\) Bán kính bánh xe đạp là: \(\displaystyle \frac{680}{2} = 340\) mm
Đổi \(1\) phút = \(60\) giây
Trong \(1\) phút, bánh xe quay được số vòng là: \(60. \displaystyle \frac{11}{5} = 132\) vòng.
Vậy độ dài quãng đường người đi xe đã đi được trong một phút là:
\(l = R \alpha = 340. 132. 2\pi = 89760\pi\) mm.
\(\)
Bài 1. Giá trị lượng giác Bài 1. Giá trị lượng giác Bài 1. Giá trị lượng giác
Xem bài giải trước:
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Công thức lượng giác
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.