Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(34\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

\(A -\) TRẮC NGHIỆM

Bài \(1\). Bạn Danh để dành được \(900\) nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ trẻ em mồ côi, Danh đã lấy ra \(x\) tờ tiền \(50\) nghìn đồng, \(y\) tờ tiền loại \(100\) nghìn đồng để trao tặng. Một bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) là:
\(A.\) \(50x + 100y \leq 900\);
\(B.\) \(50x + 100y \geq 900\);
\(C.\) \(100x + 50y \leq 900\);
\(D.\) \(x + y = 900\).

Trả lời:

Ta có: \(x\) tờ tiền loại \(50\) nghìn đồng thì có giá trị là \(50x\) (nghìn đồng), \(y\) tờ tiền loại \(100\) nghìn đồng thì có giá trị là \(100y\) (nghìn đồng).

Tổng số tiền bạn Danh trao tặng là: 50x + 100y (nghìn đồng).

Do bạn Danh có \(900\) nghìn đồng nên \(50x + 100y \leq 900\).

Vậy bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) là \(50x + 100y \leq 900\).

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(A.\) \(2x \ – \ 3y \ – \ 2022 \leq 0\);
\(B.\) \(5x + y \geq 2x + 11\);
\(C.\) \(x + 2025 > 0\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{x}{y} + 1 > 0\).

Trả lời:

Ta có: \(2x \ – \ 3y \ – \ 2022 \leq 0 \Leftrightarrow 2x + 3y \leq 2022\)

Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by \leq c (a, b, c\) là các số thực, \(a, b\) không đồng thời bằng \(0\)).

\(5x + y \geq 2x + 11 \Leftrightarrow 3x + y \geq 11\)

Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by \geq c (a, b, c\) là các số thực, \(a, b\) không đồng thời bằng \(0\)).

\(x + 2025 > 0 \Leftrightarrow x + 0y > \ – \ 2025\)

Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by > c (a, b, c\) là các số thực, \(a, b\) không đồng thời bằng \(0\)).

\(\displaystyle \frac{x}{y} + 1 > 0\). Đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn do nó không có dạng \(ax + by < c, ax + by \leq c, ax + by > c, ax + by \geq c\) \((a, b, c\) là các số thực, \(a, b\) không đồng thời bằng \(0)\).

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(3\). Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong Hình \(1\) là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?

\(A.\) \(2x + 3y < 6\);
\(B.\) \(2x + 3y > 6\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{y}{3} > 0\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{y}{3} < 1\).

Trả lời:

Đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\)

Dựa vào hình vẽ ta thấy, đường thẳng đi qua hai điểm \((3; 0)\) và \((0; 2)\).

Do đó ta có: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}0 = a. 3 + b\\2 = a. 0 + b \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\\b = 2 \end{array} \right. \end{equation}\).

Suy ra \(y = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}x + 2\)

\(\Rightarrow 2x + 3y = 6\)

Xét điểm \(O(0; 0)\) thuộc miền gạch chéo, ta có: \(2. 0 + 3. 0 = 0 < 6\)

Mà điểm \(O(0; 0)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình ở Hình \(1\) nên bất phương trình cần tìm là \(2x + 3y > 6\) (không lấy dấu \(=\) vì miền nghiệm không kể bờ \(d\)).

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(4\). Miền tam giác không gạch chéo trong Hình \(2\) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình dưới đây?

\(A.\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \ – \ 4 \geq 0\\x \leq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(B.\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \ – \ 4 \geq 0\\x \geq 0\\y \leq 0 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(C.\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \geq 4\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(D.\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \ – \ 4 \leq 0\\x \leq 0\\y \leq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Trả lời:

Quan sát Hình \(2\), ta thấy miền tam giác không gạch chéo nằm phía trên trục \(Ox\) (là miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\)), nằm bên phải trục \(Oy\) (là miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\)) nên \(x \geq 0, y \geq 0\).

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(5\). Biểu thức \(F = 2x \ – \ 8y\) đạt GTNN bằng bao nhiêu trên miền đa giác không gạch chéo trong Hình \(3\)?

\(A.\) \(\ – \ 48\);
\(B.\) \(0\);
\(C.\) \(\ – \ 160\);
\(D.\) \(\ – \ 40\).

Trả lời:

Miền đa giác không gạch chéo trong Hình \(3\) có tọa độ các đỉnh là \((0; 0), (0; 6), (4; 3), (5; 0)\).

Người ta chứng minh được rằng biểu thức \(F = 2x \ – \ 8y\) đạt GTNN tại các đỉnh của đa giác.

Ta có: \(F(0; 0) = 2 . 0 \ – \ 8 . 0 = 0\).

\(F(0; 6) = 2. 0 \ – \ 8 . 6 = \ – \ 48\).

\(F(4; 3) = 2 . 4 \ – \ 8. 3 = \ – \ 16\).

\(F(5; 0) = 2 . 5 \ – \ 8. 0 = 10\).

Ta thấy \(\ – \ 48 < \ – \ 16 < 0 < 10\).

Vậy biểu thức \(F\) đạt GTNN bằng \(\ – \ 48\) tại điểm \((0; 6)\)

\(\)

Bài \(6\). Biểu thức \(F = 5x + 2y\) đạt \(GTLN\) bằng bao nhiêu trên miền đa giác không gạch chéo trong Hình \(3\)?
\(A.\) \(30\);
\(B.\) \(12\);
\(C.\) \(25\);
\(D.\) \(26\).

Trả lời:

Miền đa giác không gạch chéo trong Hình \(3\) có tọa độ các đỉnh là \((0; 0), (0; 6), (4; 3), (5; 0)\).

Người ta chứng minh được rằng biểu thức \(F = 5x + 2y\) đạt GTLN tại các đỉnh của đa giác.

Ta có: \(F(0; 0) = 5 . 0 + 2 . 0 = 0\).

\(F(0; 6) = 5. 0 + 2 . 6 = 12\).

\(F(4; 3) = 5 . 4 + 2 . 3 = 26\).

\(F(5; 0) = 5 . 5 + 2. 0 = 25\).

Ta thấy \(0 < 12 < 25 < 26\).

Vậy biểu thức \(F\) đạt GTLN bằng \(26\) tại điểm \((4; 3)\)

\(\)

\(B -\) TỰ LUẬN

Bài \(1\). Tìm bất phương trình có miền nghiệm là miền không gạch chéo (kể cả bờ \(d\)) trong Hình \(4\) (mỗi ô vuông có cạnh là \(1\) đơn vị).

Trả lời:

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\).

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\).

Xác định được điểm \(A(6; 0), B(0; \ – \ 3)\)

Khi đó ta có: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}0 = 6a + b\\ \ – \ 3 = 0a + b \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}b = \ – \ 3\\a = \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)

Suy ra \(d: y = \displaystyle \frac{1}{2}x \ – \ 3 \Leftrightarrow x \ – \ 2y \ – \ 6 = 0\)

Xét điểm \(O(0; 0)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình cần tìm.

Ta có: \(0 \ – \ 2 . 0 \ – \ 6 = \ – \ 6 < 0\).

Do đó, bất phương trình cần tìm có dạng \(x \ – \ 2y \ – \ 6 \leq 0\) (Do miền nghiệm bao gồm cả vờ \(d\)).

\(\)

Bài \(2\). Đường thẳng \(4x + 3y = 12\) và hai trục toạ độ chia mặt phẳng \(Oxy\) thành các miền như Hình \(5\). Hãy tìm hệ bất phương trình có miền nghiệm là miền \(B\) (kể cả bờ).

Trả lời:

Quan sát Hình \(5\), ta thấy miền \(B\) (kể cả bờ) nằm phía trên trục \(Ox\) (là miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\)), nằm bên phải trục \(Oy\) (là miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\)) và không chứa điểm \(O(0; 0)\).

Lại có \(4 . 0 + 3 . 0 = 0 < 12\), do đó miền \(B\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(4x + 3y \geq 12\).

Vậy ta có hệ bất phương trình có miền nghiệm là miền \(B\) là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4x + 3y \geq 12\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm giá trị của \(F\) và \(G\) tương ứng với các giá trị \(x; y\) được cho trong bảng dưới đây.

Trong các giá trị tìm được:
\(a)\) Tìm GTLN của \(F\);
\(b)\) Tìm GTNN của \(G\).

Trả lời:

Lần lượt thay các giá trị của \(x, y\) vào các biểu thức \(F = 4x + 5y, G = 5x \ – \ 3y\) ta được bảng sau:

\(a)\) Dựa vào bảng trên ta thấy, giá trị lớn nhất của \(F\) là \(20\) tại \((0; 4)\).

\(b)\) Dựa vào bảng trên ta thấy, giá trị nhỏ nhất của \(G\) là \(\ – \ 12\) tại \((0; 4)\).

\(\)

Bài \(4\). Trên miền đa giác không gạch chéo ở Hình \(6\), hãy:
\(a)\) Tìm GTLN của \(F = 2x + 3y\);
\(b)\) Tìm GTNN của \(G = x \ – \ 4y\).

Trả lời:

Miền đa giác không gạch chéo ở Hình \(6\) có tọa độ các đỉnh là \((0; 0), (0; 6), (4; 3), (5; 0)\).

\(a)\) Biểu thức \(F = 2x + 3y\) đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của đa giác không bị gạch chéo trên Hình \(6\).

Ta có: \(F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0\).

\(F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18\).

\(F(4; 3) = 2 . 4 + 3 . 3 = 14\).

\(F(5; 0) = 2 . 5 + 3 . 0 = 10\).

Ta thấy, giá trị lớn nhất của \(F\) là \(18\) tại đỉnh có tọa độ \((0; 6)\).

\(b)\) Biểu thức \(G = x \ – \ 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của đa giác không bị gạch chéo trên Hình \(6\).

Ta có: \(G(0; 0) = 0 \ – \ 4 . 0 = 0\).

\(G(0; 6) = 0 \ – \ 4 . 6 = \ – \ 24\).

\(G(4; 3) = 4 \ – \ 4 . 3 = \ – \ 8\).

\(G(5; 0) = 5 \ – \ 4 . 0 = 5\).

Ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(G\) là \(\ – \ 24\) tại đỉnh có tọa độ \((0; 6)\).

\(\)

Bài \(5\). Bác Dũng dự định quy hoạch \(x\) sào đất trồng cà tím và \(y\) sào đất trồng cà chua. Bác chỉ có không quá \(9\) triệu đồng để mua hạt giống. Cho biết tiền mua hạt giống cà tím là \(200000\) đồng/sào và cà chua là \(100000\) đồng/sào. Viết hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\).

Trả lời:

Có \(x, y\) lần lượt là số sào đất bác Dũng dự định quy hoạch để trồng cà tím và cà chua nên \(x \geq 0, y \geq 0\).

Để trồng \(x\) sào đất cà tím, cần số tiền mua hạt giống là \(200000x\) đồng.

Để trồng \(y\) sào đất cà chua, cần số tiền mua hạt giống là \(100000y\) đồng.

Do bác Dũng chỉ có không quá \(9\) triệu đồng để mua hạt giống nên \(200000x + 100000y \leq 9000000\)

\(\Leftrightarrow 2x + y \leq 90\)

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x + y \leq 90\\x \geq 0\\y\geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\)

Bài \(6\). Một phân xưởng lắp ráp máy tính dự định ráp \(x\) chiếc máy tính cá nhân và \(y\) chiếc máy tính bảng trong một ngày. Do hạn chế về nhân công nên mỗi ngày chỉ có thể xuất xưởng tổng hai loại máy tính trên không quá \(150\) chiếc. Viết hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\).

Trả lời:

Ta có: \(x, y\) lần lượt là số chiếc máy tính cá nhân và máy tính bảng mà phân xưởng lắp ráp được trong một ngày nên \(x \geq 0, y \geq 0\).

Do hạn chế về nhân công nên mỗi ngày chỉ có thể xuất xưởng tổng hai loại máy tính trên không quá \(150\) chiếc, nên \(x + y \leq 150\).

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \leq 150\\x \geq 0\\y\geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\)

Bài \(7\). Bạn Hoàng dự định mua \(x\) con cá vàng và \(y\) con cá Koi từ một trại cá giống. Cho biết mỗi con cá vàng có giá \(35\) nghìn đồng còn mỗi con cá Koi có giá \(150\) nghìn đồng. Hoàng chỉ để dành được \(1,7\) triệu đồng và trại cá chỉ bán mỗi loại cá từ \(10\) con trở lên. Hãy viết hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\).

Trả lời:

Có \(x\) và \(y\) lần lượt là số cá vàng và cá Koi bạn Hoàng dự định mua.

Mà trại cá chỉ bán mỗi loại cá từ \(10\) con trở lên nên \(x \geq 10; y \geq 10\).

Số tiền để mua \(x\) con cá vàng, \(y\) con cá Koi lần lượt là là \(35x, 150y\) (nghìn đồng).

Do Hoàng chỉ có \(1,7\) triệu đồng tương đương với \(1700\) nghìn đồng nên ta có:

\(35x + 150y \leq 1700 \Leftrightarrow 7x + 30y \leq 340\).

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}7x + 30y \leq 340\\x \geq 10 \\y \geq 10 \end{array} \right. \end{equation}\).

\(\)

Bài \(8\). Một học sinh dự định làm các bình hoa bằng giấy để bán trong một hội chợ gây quỹ từ thiện. Cần \(1\) giờ để làm một bình hoa loại nhỏ và sẽ bán với giá \(100\) nghìn đồng, \(90\) phút để làm một bình hoa loại lớn và sẽ bán với giá \(200\) nghìn đồng. Học sinh này chỉ thu xếp được \(15\) giờ nghỉ để làm và ban tổ chức yêu cầu phải làm ít nhất là \(12\) bình hoa. Hãy cho biết bạn ấy cần làm bao nhiêu bình hoa mỗi loại để gây quỹ được nhiều tiền nhất.

Trả lời:

Gọi \(x, y\) lần lượt là số bình hoa loại nhỏ và loại lớn mà bạn học sinh có thể làm được (\(x \geq 0, y \geq 0\)).

Đổi \(90\) phút = \(1,5\) giờ.

Do ban tổ chức yêu cầu phải làm ít nhất \(12\) bình hoa nên \(x + y \geq 12\).

Số giờ để làm \(x\) bình hoa loại nhỏ, \(y\) bình hoa loại lớn lần lượt là \(x; 1,5y\) (giờ).

Vì học sinh này chỉ thu xếp được \(15\) giờ nghỉ để làm nên \(x + 1,5y \leq 15\).

Kết hợp, ta được hệ bất phương trình sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \geq 12\\x + 1,5y \leq 15\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A(6; 6), B(12; 0), C(15; 0)\) (phần không bị tô màu kể cả bờ trong hình dưới).

Số tiền gây quỹ là \(F = 100x + 200y\).

Người ta chứng minh được rằng \(F\) đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(F(A) = F(6; 6) = 100 . 6 + 200 . 6 = 1800\)

\(F(B) = F(12; 0) = 100 . 12 + 200 . 0 = 1200\)

\(F(C) = F(15; 0) = 100 . 15 + 200 . 0 = 1500\)

Suy ra \(F\) đạt giá trị lớn nhất là \(1800\) nghìn đồng tại đỉnh \(A(6; 6)\)

Vậy bạn đó cần làm \(6\) bình hoa mỗi loại để gây được quỹ nhiều tiền nhất.

\(\)

Bài \(9\). Một xưởng sản xuất có \(12\) tấn nguyên liệu \(A\) và \(8\) tấn nguyên liệu \(B\) để sản xuất hai loại sản phẩm \(X, Y\). Để sản xuất \(1\) tấn sản phẩm \(X\) cần dùng \(6\) tấn nguyên liệu \(A\) và \(2\) tấn nguyên liệu \(B\), khi bán lãi được \(10\) triệu đồng. Để sản xuất \(1\) tấn sản phẩm \(Y\) cần dùng \(2\) tấn nguyên liệu \(A\) và \(2\) tấn nguyên liệu \(B\), khi bán lãi được \(8\) triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xưởng nói trên sao cho có tổng số tiền lãi cao nhất.

Trả lời:

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số tấn sản phẩm \(X\) và \(Y\) mà xưởng cần sản xuất (\(x \geq 0, y \geq 0\)).

Để sản xuất \(x\) tấn sản phẩm \(X\) cần \(6x\) tấn nguyên liệu \(A\), \(2x\) tấn nguyên liệu \(B\).

Để sản xuất \(y\) tấn sản phẩm \(Y\) cần \(2y\) tấn nguyên liệu \(A\), \(2y\) tấn nguyên liệu \(B\).

Do xưởng sản xuất có \(12\) tấn nguyên liệu \(A\) và \(8\) tấn nguyên liệu \(B\) nên ta có:

\(6x + 2y \leq 12 \Leftrightarrow 3x + y \leq 6\)

\(2x + 2y \leq 8 \Leftrightarrow x + y \leq 4\).

Do đó ta có hệ bất phương trình sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x + y \leq 6\\x + y \leq 4 \\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác \(OABC\) có tọa độ các đỉnh là: \(O(0; 0), A(0; 4), B(1; 3), C(2; 0)\) (miền không bị tô màu trong hình dưới kể cả bờ).

Số tiền lãi khi bán \(x\) sản phẩm \(X\) và \(y\) sản phẩm \(Y\) là:

\( F = 10x + 8y\) (triệu đồng).

Người ta chứng minh được rằng \(F\) đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác \(OABC\).

Ta có: \(F(O) = F(0; 0) = 10 . 0 + 8 . 0 = 0\)

\(F(A) = F(0; 4) = 10 . 0 + 8 . 2 = 32\)

\(F(B) = F(1; 3) = 10 . 1 + 8 . 3 = 34\)

\(F(C) = F(2; 0) = 10 . 2 + 8 . 0 = 20\)

Do đó, \(F\) đạt giá trị lớn nhất là \(34\) triệu đồng tại đỉnh \(B(1; 3)\).

Vậy xưởng cần sản xuất \(1\) tấn sản phẩm \(X\) và \(3\) tấn sản phẩm \(Y\) thì sẽ có tổng tiền lãi cao nhất.

Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II

Xem bài giải trước: Bài 1 – Hàm số và đồ thị
Xem bài giải tiếp theo:
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech