Chương 1 – Bài 6. Công, trừ phân thức trang 22 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
1. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{a-3b}{a + b}-\displaystyle\frac{5a + b}{a + b};\)
b) \(\displaystyle\frac{7a-b}{2a^3} + \displaystyle\frac{b-3a}{2a^3};\)
c) \(\displaystyle\frac{a^2}{{(a-b)}^2}-\displaystyle\frac{b^2}{{(b-a)}^2};\)
d) \(\displaystyle\frac{a^2 + 3}{a-2}-\displaystyle\frac{3a}{a-2} + \displaystyle\frac{a-1}{2-a}.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{a-3b}{a + b}-\displaystyle\frac{5a + b}{a + b}= \displaystyle\frac{a-3b-5a-b}{a + b}\)
\(= \displaystyle\frac{-4a-4b}{a + b} = \displaystyle\frac{-4(a + b)}{a + b} = -4.\)
b) \(\displaystyle\frac{7a-b}{2a^3} + \displaystyle\frac{b-3a}{2a^3} = \displaystyle\frac{7a-b + b-3a}{2a^3}\) \(= \displaystyle\frac{4a}{2a^3} = \displaystyle\frac{2}{a^2}.\)
c) \(\displaystyle\frac{a^2}{{(a-b)}^2}-\displaystyle\frac{b^2}{{(b-a)}^2} = \displaystyle\frac{a^2-b^2}{{(a-b)}^2}\)
\(= \displaystyle\frac{(a-b)(a + b)}{{(a-b)}^2} = \displaystyle\frac{a + b}{a-b}.\)
d) \(\displaystyle\frac{a^2 + 3}{a-2}-\displaystyle\frac{3a}{a-2} + \displaystyle\frac{a-1}{2-a}\)
\(= \displaystyle\frac{a^2 + 3-3a-a + 1}{a-2} = \displaystyle\frac{a^2-4a + 4}{a-2}\)
\(= \displaystyle\frac{{(a-2)}^2}{a-2} = a-2.\)
\(\)
2. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{3x}{2x-1}\) và \(\displaystyle\frac{3}{2x + 1};\)
b) \(\displaystyle\frac{1}{xy + x}\) và \(\displaystyle\frac{y}{xy-x};\)
c) \(\displaystyle\frac{xy}{2x + 2y}\) và \(\displaystyle\frac{x-y}{{(x + y)}^2};\)
d) \(\displaystyle\frac{1}{x-1};\ \displaystyle\frac{2x}{x + 1}\) và \(\displaystyle\frac{1-2x}{x^2-1}.\)
Giải
a) Mẫu thức chung là \((2x-1)(2x + 1).\)
\(\displaystyle\frac{3x}{2x-1} = \displaystyle\frac{3x(2x + 1)}{(2x-1)(2x + 1)} = \displaystyle\frac{6x^2 + 3x}{4x^2-1};\) \(\displaystyle\frac{3}{2x + 1} = \displaystyle\frac{3(2x-1)}{(2x-1)(2x + 1)} = \displaystyle\frac{6x-3}{4x^2-1}.\)
b) Ta có: \(xy + x = x(y + 1)\) và \(xy-x = x(y-1)\) nên mẫu thức chung là \(x(y + 1)(y-1).\)
\(\displaystyle\frac{1}{xy + x} = \displaystyle\frac{y-1}{x(y + 1)(y-1)} = \displaystyle\frac{y-1}{x(y^2-1)};\) \(\displaystyle\frac{y}{xy-x} = \displaystyle\frac{y(y + 1)}{x(y + 1)(y-1)} = \displaystyle\frac{y^2 + y}{x(y^2-1)}.\)
c) Ta có: \(2x + 2y = 2(x + y)\) nên mẫu thức chung là \(2{(x + y)^2}.\)
\(\displaystyle\frac{xy}{2x + 2y} = \displaystyle\frac{xy(x + y)}{2{(x + y)}^2} = \displaystyle\frac{x^2y + xy^2}{2{(x + y)}^2};\) \(\displaystyle\frac{x-y}{{(x + y)}^2} = \displaystyle\frac{2(x-y)}{2{(x + y)}^2} = \displaystyle\frac{2x-2y}{2{(x + y)}^2}.\)
d) Mẫu thức chung là \((x-1)(x + 1) = x^2-1.\)
\(\displaystyle\frac{1}{x-1} = \displaystyle\frac{x + 1}{(x-1)(x + 1)} = \displaystyle\frac{x + 1}{x^2-1};\) \(\displaystyle\frac{2x}{x + 1} = \displaystyle\frac{2x(x-1)}{(x-1)(x + 1)} = \displaystyle\frac{2x^2-2x}{x^2-1}\) và \(\displaystyle\frac{1-2x}{x^2-1}.\)
\(\)
3. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{x}{x + 2}-\displaystyle\frac{x}{x-2};\)
b) \(\displaystyle\frac{3x}{2y} + \displaystyle\frac{5x}{3y};\)
c) \(\displaystyle\frac{y-1}{5y}-\displaystyle\frac{3x-1}{15x};\)
d) \(\displaystyle\frac{1-x}{x^3} + \displaystyle\frac{1}{x^2};\)
e) \(\displaystyle\frac{x-2y}{xy^2}-\displaystyle\frac{y-2x}{x^2y};\)
g) \(\displaystyle\frac{1-y^2}{3xy} + \displaystyle\frac{2{y^3}-1}{6xy^2}.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{x}{x + 2}-\displaystyle\frac{x}{x-2}\)
\( = \displaystyle\frac{x(x-2)}{(x-2)(x + 2)}-\displaystyle\frac{x(x + 2)}{(x-2)(x + 2)}\)
\( = \displaystyle\frac{x^2-2x-x^2-2x}{(x-2)(x + 2)}\)
\( = \displaystyle\frac{-4x}{x^2-4}.\)
b) \(\displaystyle\frac{3x}{2y} + \displaystyle\frac{5x}{3y} = \displaystyle\frac{3x.3}{6y} + \displaystyle\frac{5x.2}{6y}\)
\( = \displaystyle\frac{9x + 10x}{6y} = \displaystyle\frac{19x}{6y}.\)
c) \(\displaystyle\frac{y-1}{5y}-\displaystyle\frac{3x-1}{15x}\)
\( = \displaystyle\frac{3x(y-1)}{15xy}-\displaystyle\frac{y(3x-1)}{15xy}\)
\( = \displaystyle\frac{3xy-3x-3xy + y}{15xy}\)
\( = \displaystyle\frac{y-3x}{15xy}.\)
d) \(\displaystyle\frac{1-x}{x^3} + \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{1-x}{x^3} + \displaystyle\frac{x}{x^3}\)
\( = \displaystyle\frac{1-x + x}{x^3} = \displaystyle\frac{1}{x^3}.\)
e) \(\displaystyle\frac{x-2y}{xy^2}-\displaystyle\frac{y-2x}{x^2y}\)
\( = \displaystyle\frac{x(x-2y)}{x^2y^2}-\displaystyle\frac{y(y-2x)}{x^2y^2}\)
\( = \displaystyle\frac{x^2-2xy-y^2 + 2xy}{x^2y^2}\)
\( = \displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}.\)
g) \(\displaystyle\frac{1-y^2}{3xy} + \displaystyle\frac{2{y^3}-1}{6xy^2}\)
\( = \displaystyle\frac{2y(1-y^2)}{6xy^2} + \displaystyle\frac{2{y^3}-1}{6xy^2}\)
\( = \displaystyle\frac{2y-2{y^3} + 2{y^3}-1}{6xy^2}\)
\( = \displaystyle\frac{2y-1}{6xy^2}.\)
\(\)
4. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{b}{a-b} + \displaystyle\frac{a^2-3ab}{a^2-b^2};\)
b) \(\displaystyle\frac{a + 3}{a^2-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a};\)
c) \(\displaystyle\frac{2a}{a^2-4a + 4} + \displaystyle\frac{4}{2-a};\)
d) \(\displaystyle\frac{a + 1}{a^3-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a + 1}.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{b}{a-b} + \displaystyle\frac{a^2-3ab}{a^2-b^2}\)
\( = \displaystyle\frac{b(a + b)}{(a-b)(a + b)} + \displaystyle\frac{a^2-3ab}{(a-b)(a + b)}\)
\( = \displaystyle\frac{ab + b^2 + a^2-3ab}{(a-b)(a + b)} = \displaystyle\frac{a^2-2ab + b^2}{(a-b)(a + b)}\)
\( = \displaystyle\frac{{(a-b)}^2}{(a-b)(a + b)} = \displaystyle\frac{a-b}{a + b}.\)
b) \(\displaystyle\frac{a + 3}{a^2-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a}\)
\( = \displaystyle\frac{a(a + 3)}{a(a-1)(a + 1)}-\displaystyle\frac{a-1}{a(a-1)(a + 1)}\)
\( = \displaystyle\frac{a^2 + 3a-a + 1}{a(a-1)(a + 1)} = \displaystyle\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a + 1)}\)
\( = \displaystyle\frac{{(a + 1)}^2}{a(a-1)(a + 1)} = \displaystyle\frac{a + 1}{a(a-1)}.\)
c) \(\displaystyle\frac{2a}{a^2-4a + 4} + \displaystyle\frac{4}{2-a}\)
\( = \displaystyle\frac{2a}{{(a-2)}^2}-\displaystyle\frac{4(a-2)}{{(a-2)}^2}\)
\( = \displaystyle\frac{2a-4a + 8}{{(a-2)}^2} = \displaystyle\frac{-2a + 8}{{(a-2)}^2}.\)
d) \(\displaystyle\frac{a + 1}{a^3-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a + 1}\)
\( = \displaystyle\frac{a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}-\displaystyle\frac{a-1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}\)
\( = \displaystyle\frac{a + 1-a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)} = \displaystyle\frac{2}{a^3-1}.\)
\(\)
5. Tính:
a) \(x-\displaystyle\frac{2x-y}{4} + \displaystyle\frac{x + 4y}{12};\)
b) \(\displaystyle\frac{y}{x}-\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{x^2 + y^2}{xy};\)
c) \(\displaystyle\frac{4}{x + 2}-\displaystyle\frac{3}{x-2} + \displaystyle\frac{12}{x^2-4};\)
d) \(\displaystyle\frac{x + y}{x^2-xy}-\displaystyle\frac{4x}{x^2-y^2}-\displaystyle\frac{x-y}{x^2 + xy}.\)
Giải
a) \(x-\displaystyle\frac{2x-y}{4} + \displaystyle\frac{x + 4y}{12}\)
\( = \displaystyle\frac{12x}{12}-\displaystyle\frac{3(2x-y)}{12} + \displaystyle\frac{x + 4y}{12}\)
\(= \displaystyle\frac{12x-6x + 3y + x + 4y}{12} = \displaystyle\frac{7x + 7y}{12}.\)
b) \(\displaystyle\frac{y}{x}-\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{x^2 + y^2}{xy}\)
\( = \displaystyle\frac{y^2}{xy}-\displaystyle\frac{x^2}{xy}-\displaystyle\frac{x^2 + y^2}{xy}\)
\( = \displaystyle\frac{y^2-x^2-x^2-y^2}{xy}\)
\( = \displaystyle\frac{-2x^2}{xy} = \displaystyle\frac{-2x}{y}.\)
c) \(\displaystyle\frac{4}{x + 2}-\displaystyle\frac{3}{x-2} + \displaystyle\frac{12}{x^2-4}\)
\( = \displaystyle\frac{4(x-2)}{(x + 2)(x-2)}-\displaystyle\frac{3(x + 2)}{(x + 2)(x-2)} + \displaystyle\frac{12}{(x + 2)(x-2)}\)
\( = \displaystyle\frac{4x-8-3x-6 + 12}{(x + 2)(x-2)}\)
\( = \displaystyle\frac{x-2}{(x + 2)(x-2)} = \displaystyle\frac{1}{x + 2}.\)
d) \(\displaystyle\frac{x + y}{x^2-xy}-\displaystyle\frac{4x}{x^2-y^2}-\displaystyle\frac{x-y}{x^2 + xy}\)
\( = \displaystyle\frac{{(x + y)}^2}{x(x + y)(x-y)}-\displaystyle\frac{4x^2}{x(x + y)(x-y)}-\displaystyle\frac{{(x-y)}^2}{x(x + y)(x-y)}\)
\( = \displaystyle\frac{x^2 + 2xy + y^2-4x^2-x^2 + 2xy-y^2}{x(x + y)(x-y)}\)
\(= \displaystyle\frac{4xy-4x^2}{x(x + y)(x-y)}\)
\( = \displaystyle\frac{-4x(x-y)}{x(x + y)(x-y)} = \displaystyle\frac{-4}{x + y}.\)
\(\)
6. Tính:
a) \(\displaystyle\frac{1}{ab} + \displaystyle\frac{1}{ac} + \displaystyle\frac{1}{bc};\)
b) \(\displaystyle\frac{b-a}{ab} + \displaystyle\frac{c-b}{bc}-\displaystyle\frac{c-a}{ac}.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{1}{ab} + \displaystyle\frac{1}{ac} + \displaystyle\frac{1}{bc}\)
\(= \displaystyle\frac{c}{abc} + \displaystyle\frac{b}{abc} + \displaystyle\frac{a}{abc}\)
\(= \displaystyle\frac{a + b + c}{abc}.\)
b) \(\displaystyle\frac{b-a}{ab} + \displaystyle\frac{c-b}{bc}-\displaystyle\frac{c-a}{ac}\)
\(= \displaystyle\frac{c(b-a)}{abc} + \displaystyle\frac{a(c-b)}{abc}-\displaystyle\frac{b(c-a)}{abc}\)
\( = \displaystyle\frac{bc-ca-ab + ac-bc + ab}{abc}\)
\(= \displaystyle\frac{0}{abc} = 0.\)
\(\)
7. Tính giá trị của biểu thức:
a) \(P = \displaystyle\frac{5}{a + b} + \displaystyle\frac{6}{a-b}-\displaystyle\frac{12b}{a^2-b^2}\) tại \(a = 0,12\) và \(b = -0,11;\)
b) \(Q = \displaystyle\frac{a^2 + 2a}{a^3-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a + 1}\) tại \(a = 1,25;\)
Giải
a) Điều kiện xác định: \(a \ne b,\ a \ne -b.\)
Ta có: \(P = \displaystyle\frac{5}{a + b} + \displaystyle\frac{6}{a-b}-\displaystyle\frac{12b}{a^2-b^2}\)
\( = \displaystyle\frac{5(a-b)}{(a-b)(a + b)} + \displaystyle\frac{6(a + b)}{(a-b)(a + b)}-\displaystyle\frac{12b}{(a-b)(a + b)}\)
\( = \displaystyle\frac{5a-5b + 6a + 6b-12b}{(a-b)(a + b)}\)
\(= \displaystyle\frac{11a-11b}{(a-b)(a + b)} = \displaystyle\frac{11(a-b)}{(a-b)(a + b)} = \displaystyle\frac{11}{a + b}.\)
Với \(a = 0,12\) và \(b = -0,11\) (thỏa mãn điều kiện) ta có: \(P = \displaystyle\frac{11}{0,12-0,11} = \displaystyle\frac{11}{0,01} = 1100.\)
b) Điều kiện xác định: \(a \ne 1.\)
Ta có: \(Q = \displaystyle\frac{a^2 + 2a}{a^3-1}-\displaystyle\frac{1}{a^2 + a + 1}\)
\( = \displaystyle\frac{a^2 + 2a}{(a-1)(a^2 + a + 1)}-\displaystyle\frac{a-1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}\)
\( = \displaystyle\frac{a^2 + 2a-a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}\)
\( = \displaystyle\frac{a^2 + a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)} = \displaystyle\frac{1}{a-1}.\)
Với \(a = 1,25\) (thỏa mãn điều kiện) ta có: \(Q = \displaystyle\frac{1}{1,25-1} = \displaystyle\frac{1}{0,25} = 4.\)
\(\)
8. Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.
Giải
Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài \(3\) km với tốc độ trung bình \(x\) (km/h) là: \(\displaystyle\frac{3}{x}\) (giờ).
Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài \(2\) km với tốc độ trung bình \(x-1\) (km/h) là: \(\displaystyle\frac{2}{x-1}\) (giờ).
Tổng thời gian cô Xuân đã đi là: \(\displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{2}{x-1} = \displaystyle\frac{3(x-1)}{x(x-1)} + \displaystyle\frac{2x}{x(x-1)}\) \(= \displaystyle\frac{3x-3 + 2x}{x(x-1)} = \displaystyle\frac{5x-3}{x(x-1)}\) (giờ).
\(\)
9. Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m) đường mỗi ngày. Tuy nhiên, do thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được trung bình z (m) đường mỗi ngày \((z < y).\) Dự án hoàn thành muộn hơn bao lâu so với kế hoạch ban đầu?
Giải
Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là: \(\displaystyle\frac{x}{y}\) (ngày).
Thực tế, thời gian đội hoàn thành công việc là: \(\displaystyle\frac{x}{z}\) (ngày).
Dự án hoành thành muộn hơn so với kế hoạch số ngày là: \(\displaystyle\frac{x}{z}-\displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{xy-xz}{zy}\) (ngày).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 5. Phân thức đại số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 7. Nhân, chia phân thức
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
