Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Chương 8 – Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác trang 85 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho Hình 86.

a) Chứng minh ∆MNP ∽ ∆ABC.

b) Tìm x.

Giải

a) Xét hai tam giác ABC và MNP có:

\(\widehat{A}=\widehat{M}=60^o;\ \widehat{B}=\widehat{N}=45^o.\)

Suy ra ∆ABC ∽ ∆MNP.

b) Vì ∆MNP ∽ ∆ABC nên \(\displaystyle\frac{MP}{AC}=\displaystyle\frac{NP}{BC}\) hay \(\displaystyle\frac{x}{4\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}.\)

Do đó \(x = 3\sqrt{2}.\)

\(\)

2. Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn \(\widehat{A}=70^o,\ \widehat{B}=80^o,\) \(\widehat{M}=80^o,\ \widehat{N}=30^o.\) Chứng minh \(\displaystyle\frac{AB}{PM}=\displaystyle\frac{BC}{MN}=\displaystyle\frac{CA}{NP}.\)

Giải

Xét tam giác MNP, ta có:

\(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^o\)

\(80^o+30^o+\widehat{P}=180^o\)

\(\widehat{P}=70^o.\)

Xét hai tam giác ABC và PMN, ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{P}=70^o;\ \widehat{B}=\widehat{M}=80^o\)

Suy ra ∆ABC ∽ ∆PMN.

Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{PM}=\displaystyle\frac{BC}{MN}=\displaystyle\frac{CA}{NP}.\)

\(\)

3. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ∆ACD ∽ ∆BCE và CA.CE = CB.CD;

b) ∆ACD ∽ ∆AHE và AC.AE = AD.AH.

Giải

a) Xét hai tam giác ACD và BCE có:

\(\widehat{ADC} = \widehat{BEC} = 90^o;\)

\(\widehat{C}\) là góc chung;

Suy ra ∆ACD ∽ ∆BCE.

Do đó \(\displaystyle\frac{CA}{CB} = \displaystyle\frac{CD}{CE}\) hay CA.CE = CB.CD.

b) Xét hai tam giác ACD và AHE có:

\(\widehat{ADC} = \widehat{AEH} = 90^o;\)

\(\widehat{A}\) là góc chung;

Suy ra ∆ACD ∽ ∆AHE.

Do đó \(\displaystyle\frac{AC}{AH} = \displaystyle\frac{AD}{AE}\) hay AC.AE = AD.AH.

\(\)

4. Cho Hình 87 với \(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}.\) Chứng minh:

a) ∆OAD ∽ ∆OCB;

b) \(\displaystyle\frac{OA}{OD}=\displaystyle\frac{OC}{OB};\)

c) ∆OAC ∽ ∆ODB.

Giải

a) Xét hai tam giác OAD và OCB có:

\(\widehat{OAD} = \widehat{OCB};\)

\(\widehat{O}\) là góc chung;

Suy ra ∆OAD ∽ ∆OCB.

b) Vì ∆OAD ∽ ∆OCB nên \(\displaystyle\frac{OA}{OC} = \displaystyle\frac{OD}{OB}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{OA}{OD} = \displaystyle\frac{OC}{OB}.\)

c) Xét hai tam giác OAC và ODB có:

\(\displaystyle\frac{OA}{OD} = \displaystyle\frac{OC}{OB}\) và \(\widehat{O}\) là góc chung;

Suy ra ∆OAC ∽ ∆ODB.

\(\)

5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) ∆ABC ∽ ∆HBA và \(AB^2 = BC . BH;\)

b) ∆ABC ∽ ∆HAC và \(AC^2 = BC . CH;\)

c) ∆ABH ∽ ∆CAH và \(AH^2 = BH . CH;\)

d) \(\displaystyle\frac{1}{AB^2} + \displaystyle\frac{1}{AC^2}\)

Giải

a) Xét hai tam giác ABC và HBA có:

\(\widehat{BAC} =\widehat{BHA} =90^o;\)

\(\widehat{B}\) là góc chung;

Suy ra ∆ABC ∽ ∆HBA.

Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{HB} = \displaystyle\frac{BC}{BA}\) hay \(AB^2 = BC.HB.\)

b) Xét hai tam giác ABC và HAC có:

\(\widehat{BAC} = \widehat{AHC} = 90^o;\) \(\widehat{C}\) là góc chung;

Suy ra ∆ABC ∽ ∆HAC.

Do đó \(\displaystyle\frac{AC}{HC} = \displaystyle\frac{BC}{AC}\) hay \(AC^2 = BC.CH.\)

c) Vì ∆ABC ∽ ∆HBA và ∆ABC ∽ ∆HAC nên ∆ABH ∽ ∆CAH.

Do đó \(\displaystyle\frac{AH}{CH} = \displaystyle\frac{BH}{AH}\) hay \(AH^2 = BH.CH.\)

d) Ta có:

\(AB^2 = BC.BH \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{AB^2} = \displaystyle\frac{1}{BC.BH}\)

\(AC^2 = BC.CH \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{AB^2} = \displaystyle\frac{1}{BC.CH}\)

\(AH^2 = BH.CH \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{AH^2} = \displaystyle\frac{1}{BH.CH}\)

\(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{AB^2} + \displaystyle\frac{1}{AC^2} = \displaystyle\frac{1}{BC.BH} + \displaystyle\frac{1}{BC.CH}\)

\(= \displaystyle\frac{1}{BC}.\left( {\displaystyle\frac{1}{BH} + \displaystyle\frac{1}{CH}} \right) = \displaystyle\frac{1}{BC}.\displaystyle\frac{BH + CH}{BH.CH}\)

\(= \displaystyle\frac{1}{BC}.\displaystyle\frac{BC}{BH.CH} = \displaystyle\frac{1}{BH.CH} = \displaystyle\frac{1}{AH^2}\)

\(\)

6. Trong Hình 89, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m. Em hãy tính chiều cao của cây.