Bài tập cuối chương \(VII\) trang \(19\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.
\(A -\) TRẮC NGHIỆM
Bài \(1\). Tam thức bậc hai nào có biệt thức \(\Delta = 1\) và hai nghiệm là: \(x_1 = \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{7}{4}\)?
\(A.\) \(8x^2 \ – \ 26x + 21\);
\(B\). \(4x^2 \ – \ 13x + \displaystyle \frac{21}{2}\);
\(C.\) \(4x^2 + 4x \ – \ 15\);
\(D.\) \(2x^2 \ – \ 7x + 6\).
Trả lời:
\(A.\) \(8x^2 \ – \ 26x + 21\) có \(\Delta = (\ – \ 26)^2 \ – \ 4. 8. 21 = 4\) Loại
\(B.\) \(4x^2 \ – \ 13x + \displaystyle \frac{21}{2}\) có \(\Delta = (\ – \ 13)^2 \ – \ 4. 4. \displaystyle \frac{21}{2} = 1\) nên có hai nghiệm là:
\(x_1 = \displaystyle \frac{13 + \sqrt{1}}{2. 4} = \displaystyle \frac{7}{4}\)
\(x_2 = \displaystyle \frac{13 \ – \ \sqrt{1}}{2. 4} = \displaystyle \frac{3}{2}\)
Vậy \(B\) đúng.
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(2\). Tam thức bậc hai nào dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
\(A.\) \(2x^2 \ – \ 4x + 2\);
\(B\). \(3x^2 + 6x + 2\);
\(C.\) \(\ – \ x^2 + 2x + 3\);
\(D.\) \(5x^2 \ – \ 3x + 1\).
Trả lời:
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
Xét đáp án \(A\) có \(a = 2 > 0, \Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. 2. 2 = 0\) Loại
Xét đáp án \(B\) có \(a = 3 > 0, \Delta = 6^2 \ – \ 4. 3. 2 = 12 > 0\) Loại
Xét đáp án \(C\) có \(a = \ – \ 1 < 0\) Loại
Xét đáp án \(D\) có \(a = 5 > 0, \Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 5. 1 = \ – \ 11 < 0\) Thoả mãn
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(3\). Khẳng định nào sau đây đúng với tam thức bậc hai \(f(x) = 10x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\)?
\(A.\) \(f(x) > 0\) với mọi \(x\) không thuộc khoảng \((\ – \ 1; 1)\);
\(B.\) \(f(x) < 0\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \((\ – \ 1; 1)\);
\(C.\) \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{4}{5}\right)\);
\(D.\) \(Các khẳng định trên đều sai.
Trả lời:
Tam thức \(f(x) = 10x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\) có \(a = 10 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 10. (\ – \ 4) = 169 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = \displaystyle \frac{3 + \sqrt{169}}{2. 10} = \displaystyle \frac{4}{5}\)
\(x_2 = \displaystyle \frac{3 \ – \ \sqrt{169}}{2. 10} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\)
Do đó hàm số dương trong \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{4}{5}; +\infty\right)\); hàm số âm khi \(\left(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}; \displaystyle \frac{4}{5}\right)\).
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(4\). Trong trường hợp nào, tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) có \(\Delta > 0\) và \(a < 0\)?
Trả lời:
Tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) có \(a < 0\) nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới, có \(\Delta > 0\) nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Do đó B đúng.
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(5\). Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x)\) như Hình \(1\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là:
\(A.\) \((1; 2)\);
\(B\). \([1; 2]\);
\(C.\) \((\ – \ \infty; 1) \cup (2; +\infty)\);
\(D.\) \((\ – \ \infty; 1] \cup [2; +\infty)\).
Trả lời:
Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là khoảng \(x\) mà có phần đồ thị nằm trên trục hoành (kể cả điểm thuộc trục hoành), tức là khoảng \((\ – \ \infty; 1] \cup [2; +\infty)\)
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(6\). Bất phương trình nào có tập nghiệm là \((2; 5)\)?
\(A.\) \(x^2 \ – \ 7x + 10 > 0\);
\(B.\) \(x^2 \ – \ 7x + 10 < 0\);
\(C.\) \(x^2 + 13x \ – \ 30 > 0\);
\(D.\) \(x^2 + 13x \ – \ 30 < 0\).
Trả lời:
\(+)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 7x +10\) có \(\Delta = (\ – \ 7)^2 \ – \ 4. 1. 10 = 9 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 2\) và \(x_2 = 5\), và có \(a = 1 > 0\) nên ta có:
\(f(x) > 0\) với \(x < 2\) hoặc \(x > 5\).
\(f(x) < 0\) với \(2 < x < 5\).
Do đó \(A\) sai, \(B\) đúng.
\(+)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + 13x \ – \ 30\) có \(\Delta = 13^2 \ – \ 4.1.(\ – \ 30) = 289 > 0\) nên \(f(x)\) hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 2\) và \(x_2 = \ – \ 15\), và có \(a = 1 > 0\) nên ta có:
\(f(x) > 0\) với \(x < \ – \ 15\) hoặc \(x > 2\).
\(f(x) < 0\) với \(\ – \ 15 < x < 2\).
Do đó \(C, D\) sai.
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(7\). Tập xác định của hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{9x^2 \ – \ 3x \ – \ 2}} + \sqrt{3 \ – \ x}\) là:
\(A.\) \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{2}{3}; +\infty\right)\);
\(B.\) \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{2}{3}; 3\right)\);
\(C.\) \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right) \cup (3; +\infty)\);
\(D.\) \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}; 3 \right]\).
Trả lời:
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}9x^2 \ – \ 3x \ – \ 2 > 0\\ 3 \ – \ x \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x< \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3}\\x > \displaystyle \frac{2}{3} \end{array} \right.\end{equation} \\x \leq 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x < \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3}\\ \displaystyle \frac{2}{3} < x < 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy tập xác định là \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{2}{3}; 3\right]\).
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(8\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình \((2m + 6)x^2 + 4mx + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
\(A.\) \(m < \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\) hoặc \(m > 3\);
\(B.\) \(\ – \ \displaystyle \frac{3}{2} < m < 3\);
\(C.\) \(m < \ – \ 3\) hoặc \(\ – \ 3 < m < \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\) hoặc \(m > 3\);
\(D.\) \(\ – \ 3 < m < \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\) hoặc \(m > 3\).
Trả lời:
\(+)\) \(2m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = \ – \ 3\)
Khi đó phương trình trở thành \(\ – \ 12x + 3 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{1}{4}\) Hay phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.
Do đó không thỏa mãn.
\(+)\) \(2m + 6 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \ – \ 3\)
Khi đó phương trình \((2m + 6)x^2 + 4mx + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta = (4m)^2 \ – \ 4. 3. (2m + 6) > 0\)
\(\Leftrightarrow 2m^2 \ – \ 3m \ – \ 9 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(m) = 2m^2 \ – \ 3m \ – \ 9\) có hai nghiệm phân biệt \(m_1 = 3\) và \(m_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\).
Mà \(a = 2 > 0\) nên \(f(m) > 0\) với \(m < \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\) hoặc \(m > 3\)
Kết hợp với điều kiện \(m \neq \ – \ 3\) nên suy ra:
\(m \in (\ – \ \infty; \ – \ 3) \cup \left(\ – \ 3; \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\right) \cup (3; +\infty)\).
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(9\). Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt{x^2 + x + 11} = \sqrt{\ – \ 2x^2 \ – \ 13x + 16}\)?
\(A.\) \(x = \ – \ 5\);
\(B.\) \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\);
\(C.\) Cả hai câu \(A, B\) đều đúng;
\(D.\) Cả hai câu \(A, B\) đều sai.
Trả lời:
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(x^2 + x + 11 = \ – \ 2x^2 \ – \ 13x + 16\)
\(\Leftrightarrow 3x^2 + 14x \ – \ 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ 5\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình ban đầu, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(10\). Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 1} = \sqrt{3x^2 \ – \ 2x \ – \ 13}\)?
\(A.\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;
\(B\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu;
\(C.\) Phương trình có một nghiệm;
\(D.\) Phương trình vô nghiệm.
Trả lời:
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
\(2x^2 \ – \ 3x \ – \ 1 = 3x^2 \ – \ 2x \ – \ 13\)
\(\Leftrightarrow x^2 + x \ – \ 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = \ – \ 4\)
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Chọn đáp án \(B\)
\(\)
Bài \(11\). Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt{5x^2 + 27x + 36} = 2x + 5\)?
\(A.\) Phương trình có một nghiệm;
\(B.\) Phương trình vô nghiệm;
\(C.\) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là \(\ – \ 7\);
\(D.\) Các nghiệm của phương trình đều không bé hơn \(\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}\).
Trả lời:
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
\(5x^2 + 27x + 36 = 4x^2 + 20x + 25\)
\(\Rightarrow x^2 + 7x + 11 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 7 + \sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 7 \ – \ \sqrt{5}}{2}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 7 + \sqrt{5}}{2}\) thoả mãn.
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(12\). Cho đồ thị của hai hàm số bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) và \(g(x) = dx^2 + ex + h\) như Hình \(2\). Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + h}\)?
\(A.\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x = 1\) và \(x = 6\);
\(B.\) Phương trình có \(1\) nghiệm là \(x = 1\);
\(C.\) Phương trình có \(1\) nghiệm là \(x = 6\);
\(D.\) Phương trình vô nghiệm.
Trả lời:
Xét phương trình \(\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + h}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + h\)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(x = 1\) và \(x = 6\)
Dễ thấy, tại \(x = 1\) thì \(f(x), g(x)\) đều dương
Tại \(x = 6\) thì \(f(x), g(x)\) đều âm nên không thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\)
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
\(B – \) TỰ LUẬN
Bài \(1\). Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai \(y = f(x)\) sau đây, hãy xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\).
Trả lời:
\(a)\) Dựa vào đồ thị ta thấy:
Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi \(x < \displaystyle \frac{1}{2}\) hoặc \(x > 3\) hay \(f(x) > 0\) khi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right) \cup (3; +\infty)\).
Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành khi \(\displaystyle \frac{1}{2} < x < 3\) hay \(f(x) < 0\) khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{1}{2}; 3\right)\).
Vậy \(f(x)\) dương khi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right) \cup (3; +\infty)\), âm khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{1}{2}; 3\right)\).
\(b)\) Dựa vào đồ thị ta thấy:
Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi \(\ – \ 3 < x < 5\) hay \(f(x) > 0\) khi \(x \in (\ – \ 3; 5)\).
Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành khi \(x < \ – \ 3\) hoặc \(x > 5\) hay \(f(x) < 0\) khi \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 3) \cup (5; +\infty)\).
Vậy \(f(x)\) dương khi \(x \in (\ – \ 3; 5)\), âm khi \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 3) \cup (5; +\infty)\).
\(c)\) Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi \(x \neq 3\).
Vậy \(f(x)\) mang dấu dương khi \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
\(d)\) Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy \(f(x)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\)
Bài \(2\). Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
\(a)\) \(f(x) = \ – \ 7x^2 + 44x \ – \ 45\);
\(b)\) \(f(x) = 4x^2 + 36x + 81\);
\(c)\) \(f(x) = 9x^2 \ – \ 6x + 3\);
\(d)\) \(f(x) = \ – \ 9x^2 + 30x \ – \ 25\);
\(e)\) \(f(x) = x^2 \ – \ 4x + 3\);
\(g)\) \(f(x) = \ – \ 4x^2 + 8x \ – \ 7\).
Trả lời:
\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 7x^2 + 44x \ – \ 45\) có \(\Delta = 44^2 \ – \ 4. (\ – \ 7). (\ – \ 45) = 676 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = 5; x_2 = \displaystyle \frac{9}{7}\).
Mặt khác \(a = \ – \ 7 < 0\)
Do đó \(f(x)\) dương khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{9}{7}; 5\right)\), \(f(x)\) âm khi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{9}{7}\right) \cup (5; +\infty)\).
\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 4x^2 + 36x + 81\) có \(\Delta = 36^2 \ – \ 4. 4. 81 = 0\) nên \(f(x)\) có một nghiệm kép \(x_1 = x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 9}{2}\).
Mặt khác \(a = 4 > 0\)
Do đó \(f(x)\) dương với mọi \(x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 9}{2}\).
\(c)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 9x^2 \ – \ 6x + 3\) có \(\Delta = (\ – \ 6)^2 \ – \ 4. 9. 3 = \ – \ 72 < 0\) và có \(a = 9 > 0\) nên \(f(x)\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(d)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 9x^2 + 30x \ – \ 25\) có \(\Delta = 30^2 \ – \ 4. (\ – \ 9). (\ – \ 25) = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = \displaystyle \frac{5}{3}\).
Mặt khác \(a = \ – \ 9 < 0\)
Do đó \(f(x)\) âm với mọi \(x \neq \displaystyle \frac{5}{3}\).
\(e)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 4x + 3\) có \(\Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. 1. 3 = 4 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1; x_2 = 3\).
Mặt khác \(a = 1 > 0\)
Do đó \(f(x)\) dương khi \(x \in (\ – \ \infty; 1) \cup (3; +\infty)\), \(f(x)\) âm khi \(x \in (1; 3)\).
\(g)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 4x^2 + 8x \ – \ 7\) có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. (\ – \ 4). (\ – \ 7) = \ – \ 48 < 0\)
Lại có \(a = \ – \ 4 < 0\)
Do đó \(f(x)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\)
Bài \(3\). Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(a)\) \(x^2 \ – \ 10x + 24 \geq 0\);
\(b)\) \(\ – \ 4x^2 + 28x \ – \ 49 \leq 0\);
\(c)\) \(x^2 \ – \ 5x + 1 > 0\);
\(d)\) \(9x^2 \ – \ 24x + 16 \leq 0\);
\(e)\) \(15x^2 \ – \ x \ – \ 2 < 0\);
\(g)\) \(\ – \ x^2 + 8x \ – \ 17 > 0\);
\(h)\) \(\ – \ 25x^2 + 10x \ – \ 1 < 0\);
\(i)\) \(4x^2 + 4x + 7 \leq 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(x^2 \ – \ 10x + 24 \geq 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 10x + 24\) có \(\Delta = (\ – \ 10)^2 \ – \ 4. 1. 24 = 4 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 6\) và \(x_2 = 4\).
Lại có \(a = 1 > 0\) nên \(f(x) > 0\) với \(x \leq 0\) hoặc \(x \geq 6\).
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = (\ – \ \infty; 0) \cup (6; +\infty)\).
\(b)\) \(\ – \ 4x^2 + 28x \ – \ 49 \leq 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 4x^2 + 28x \ – \ 49\) có \(\Delta = 28^2 \ – \ 4. (\ – \ 4). (\ – \ 49) = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\).
Lại có \(a = \ – \ 4 < 0\) nên \(f(x) \leq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \mathbb{R}\).
\(c)\) \(x^2 \ – \ 5x + 1 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 5x + 1\) có \(\Delta = (\ – \ 5)^2 \ – \ 4. 1. 1 = 21 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\) hoặc \(x_2 = \displaystyle \frac{5\ – \ \sqrt{21}}{2}\).
Lại có \(a = 1 > 0\)
Do đó, \(f(x) > 0\) với \(x < \displaystyle \frac{5 \ – \ \sqrt{21}}{2}\) hoặc \(x > \displaystyle \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\).
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{5 \ – \ \sqrt{21}}{2}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty\right)\).
\(d)\) \(9x^2 \ – \ 24x + 16 \leq 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 9x^2 \ – \ 24x + 16\) có \(\Delta = (\ – \ 24)^2 \ – \ 4. 9. 16 = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{4}{3}\).
Lại có \(a = 9 > 0\)
Do đó \(f(x) \leq 0\) khi \(x = \displaystyle \frac{4}{3}\)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{\displaystyle \frac{4}{3}\right\}\).
\(e)\) \(15x^2 \ – \ x \ – \ 2 < 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 15x^2 \ – \ x \ – \ 2\) có \(\Delta = (\ – \ 1)^2 \ – \ 4. 15. (\ – \ 2) = 121 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{2}{5}\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3}\).
Lại có \(a = 15 > 0\)
Do đó \(f(x) < 0\) khi \(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{3} < x < \displaystyle \frac{2}{5}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \left(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{3}; \displaystyle \frac{2}{5}\right)\).
\(g)\) \(\ – \ x^2 + 8x \ – \ 17 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ x^2 + 8x \ – \ 17\) có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. (\ – \ 1). (\ – \ 17) = \ – \ 4 < 0\)
Lại có \(a = \ – \ 1 < 0\)
Do đó \(f(x)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
\(h)\) \(\ – \ 25x^2 + 10x \ – \ 1 < 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 25x^2 + 10x \ – \ 1\) có \(\Delta = 10^2 \ – \ 4. (\ – \ 25). (\ – \ 1) = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{1}{25}\)
Lại có \(a = \ – \ 25 < 0\)
Do đó \(f(x) < 0\) khi \(x \neq \displaystyle \frac{1}{25}\).
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{1}{25}\right\}\).
\(i)\) \(4x^2 + 4x + 7 \leq 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 4x^2 + 4x + 7\) có \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. 4. 7 = \ – \ 96 < 0\)
Lại có \(a = 4 > 0\)
Do đó \(f(x)\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\)
Bài \(4\). Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:
Trả lời:
\(a)\) Ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(x = 4\).
Khi \(\displaystyle \frac{3}{2} < x < 4\) thì đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay \(f(x) > 0\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[\displaystyle \frac{3}{2}; 4\right]\).
\(b)\) \(f(x) > 0\) khi \(x < \ – \ 1\) hoặc \(x > 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((\ – \ \infty; \ – \ 1) \cup (3; +\infty)\).
\(c)\) Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(x = 1\) và nằm phía trên trục hoành.
Do đó \(f(x) \leq 0\) khi \(x = 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \{1\}\).
\(d)\) Ta thấy đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành hay \(f(x) > 0\)
Vậy bất phương trình \(f(x) \geq 0\) vô nghiệm.
\(e)\) Dựa vào đồ thị ta thấy:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (x = 3\).
Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành khi \(x \neq 3\)
Do đó \(f(x) < 0\) với mọi \(x \neq 3\)
Vậy \(f(x) < 0\) khi \(x \neq 3\).
\(g)\) Ta có thể thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) hoàn toàn nằm dưới trục hoành hay \(f(x) \leq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy \(f(x) \leq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\)
Bài \(5\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{3x^2 + 7x \ – \ 1} = \sqrt{6x^2 + 6x \ – \ 11}\);
\(b)\) \(\sqrt{x^2 + 12x + 28} = \sqrt{2x^2 + 14x + 24}\);
\(c)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 12x \ – \ 14} = \sqrt{5x^2 \ – \ 26x \ – \ 6}\);
\(d)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 43x + 25} = \ – \ 3x + 4\);
\(e)\) \(\sqrt{\ – \ 5x^2 \ – \ x + 35} = x + 5\);
\(g)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 64x + 97} = 3x \ – \ 11\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sqrt{3x^2 + 7x \ – \ 1} = \sqrt{6x^2 + 6x \ – \ 11}\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(3x^2 + 7x \ – \ 1 = 6x^2 + 6x \ – \ 11\)
\(\Rightarrow 3x^2 \ – \ x \ – \ 10 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{3}\) hoặc \(x = 2\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2\).
\(b)\) \(\sqrt{x^2 + 12x + 28} = \sqrt{2x^2 + 14x + 24}\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(x^2 + 12x + 28 = 2x^2 + 14x + 24\)
\(\Rightarrow x^2 + 2x \ – \ 4= 0\)
\(\Rightarrow x = \ – \ 1 + \sqrt{5}\) hoặc \(x = \ – \ 1 \ – \ \sqrt{5}\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = \ – \ 1 + \sqrt{5}\) thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \ – \ 1 + \sqrt{5}\).
\(c)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 12x \ – \ 14} = \sqrt{5x^2 \ – \ 26x \ – \ 6}\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(2x^2 \ – \ 12x \ – \ 14 = 5x^2 \ – \ 26x \ – \ 6\)
\(\Rightarrow 3x^2 \ – \ 14x + 8 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{2}{3}\) hoặc \(x = 4\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(d)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 43x + 25} = \ – \ 3x + 4\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(11x^2 \ – \ 43x + 25 = 9x^2 \ – \ 24x + 16\)
\(\Rightarrow 2x^2 \ – \ 19x + 9 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{1}{2}\) hoặc \(x = 9\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\) thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(e)\) \(\sqrt{\ – \ 5x^2 \ – \ x + 35} = x + 5\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(\ – \ 5x^2 \ – \ x + 35 = x^2 + 10x + 25\)
\(\Rightarrow 6x^2 + 11x \ – \ 10 = 0\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\) và \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\).
\(g)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 64x + 97} = 3x \ – \ 11\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(11x^2 \ – \ 64x + 97 = 9x^2 \ – \ 66x + 121\)
\(\Rightarrow 2x^2 + 2x \ – \ 24 = 0\)
\(\Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = \ – \ 4\).
Thay lần lượt hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\)
Bài \(6\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sqrt{\ – \ x^2 + 6x \ – \ 2}\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2x}{x \ – \ 2} + \sqrt{\ – \ x^2 + 3x \ – \ 2}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = \sqrt{\ – \ x^2 + 6x \ – \ 2}\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\ – \ x^2 + 6x \ – \ 2 \geq 0\)
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ x^2 + 6x \ – \ 2\) có \(\Delta = 6^2 \ – \ 4. (\ – \ 1). (\ – \ 2) = 28 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 3 \ – \ \sqrt{7}; x_2 = 3 + \sqrt{7}\).
Lại có \(a = \ – \ 1 < 0\) nên \(f(x) = \ – \ x^2 + 6x \ – \ 2 \geq 0\) khi và chỉ khi \(3 \ – \ \sqrt{7} \leq x \leq 3 + \sqrt{7}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = [3 \ – \ \sqrt{7}; 3 + \sqrt{7}]\).
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2x}{x \ – \ 2} + \sqrt{\ – \ x^2 + 3x \ – \ 2}\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \ – \ 2 \neq 0\\\ – \ x^2 + 3x \ – \ 2 \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \neq 2\\ 1 \leq x \leq 2 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow 1 \leq x < 2\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = [1; 2)\).
\(\)
Bài \(7\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) để:
\(a)\) \(f(x) = (m \ – \ 3)x^2 + 2mx \ – \ m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(b)\) \(f(x) = (m \ – \ 2)x^2 + 2(m + 3)x + 5(m \ – \ 3)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm;
\(c)\) Phương trình \(2x^2 + (3m \ – \ 1)x + 2(m + 1) = 0\) vô nghiệm;
\(d)\) Bất phương trình \(2x^2 + 2(m \ – \ 3)x + 3(m^2 \ – \ 3) \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
Trả lời:
\(a)\) \(f(x) = (m \ – \ 3)x^2 + 2mx \ – \ m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = m \ – \ 3 < 0 \\ \Delta = (2m)^2 \ – \ 4. (m \ – \ 3). (\ – \ m) < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m < 3 \\4m^2 + 4m(m \ – \ 3) < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m < 3\\2m^2 \ – \ 3m < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m < 3\\0 < m < \displaystyle \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow 0 < m < \displaystyle \frac{3}{2}\).
Vậy để \(f(x) = (m \ – \ 3)x^2 + 2mx \ – \ m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(m \in \left(0; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\).
\(b)\) \(f(x) = (m \ – \ 2)x^2 + 2(m + 3)x + 5(m \ – \ 3)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m \ – \ 2 \neq 0\\ \Delta’ \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m \neq 2\\ (m + 3)^2 \ – \ 5. (m \ – \ 2). (m \ – \ 3) \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m \neq 2\\ \ – \ 4m^2 + 31m \ – \ 21 \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m \neq 2\\ \displaystyle \frac{3}{4} \leq m \leq 7 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(\displaystyle \frac{3}{4} \leq m < 2\) và \(2 < m \leq 7\) thì \(f(x)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm.
\(c)\) Phương trình \(2x^2 + (3m \ – \ 1)x + 2(m + 1) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta = (3m \ – \ 1)^2 \ – \ 16(m + 1) < 0\)
\(\Leftrightarrow 9m^2 \ – \ 22m \ – \ 15 < 0\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\ – \ 5}{9}< m < 3\).
Vậy \(\displaystyle \frac{\ – \ 5}{9} < m < 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
\(d)\) Xét tam thức bậc hai \(2x^2 + 2(m \ – \ 3)x + 3(m^2 \ – \ 3)\) có \(a = 2 > 0\) nên để bất phương trình \(f(x) \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) thì \(\Delta’ < 0\)
\(\Leftrightarrow (m \ – \ 3)^2 \ – \ 2. 3(m^2 \ – \ 3) < 0\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 5m^2 \ – \ 6m + 27 < 0\)
\(\Leftrightarrow m < \ – \ 3\) hoặc \(m > \displaystyle \frac{9}{5}\)
Vậy \(m < \ – \ 3\) hoặc \(m > \displaystyle \frac{9}{5}\) thì bất phương trình \(2x^2 + 2(m \ – \ 3)x + 3(m^2 \ – \ 3) \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
\(\)
Bài \(8\). Người ta thử nghiệm ném một quả bóng trên Mặt Trăng. Nếu quả bóng được ném lên từ độ cao \(h_0 (m)\) so với bề mặt của Mặt Trăng với vận tốc \(v_0 (m/s)\) thì độ cao của bóng sau \(t\) giây được cho bởi hàm số \(h(t) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0\) với \(g = 1,625 m/s^2\) là gia tốc trọng trường của Mặt Trăng.
\(a)\) Biết độ cao ban đầu của quả bóng vào các thời điểm \(8\) giây và \(12\) giây lần lượt là \(30 m\) và \(5 m\) , hãy tìm vận tốc ném, độ cao ban đầu của quả bóng và viết công thức \(h(t)\).
\(b)\) Quả bóng đạt độ cao trên \(29 m\) trong bao nhiêu giây?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Trả lời:
\(a)\) Ứng với \(t = 8\) thì \(h(t) = 30 m\), ứng với \(t = 12\) thì \(h(t) = 5 m\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}30 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 1,625. 8^2 + v_0. 8 + h_0\\5 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 1,625. 12^2 + v_0. 12 + h_0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}8v_0 + h_0 = 82\\12v_0 + h_0 = 122 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} v_0 = 10\\h_0 = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(h(t) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} .1,625. t^2 + 10t + 2 = \ – \ 0,8125t^2 + 10t + 2\)
\(b)\) Quả bóng đạt độ cao trên \(29 m\) khi và chỉ khi \(\ – \ 0,8125t^2 + 10t + 2 > 29\) hay
\(\ – \ 0,8125t^2 + 10t \ – \ 27 > 0\)
Xét tam thức bậc hai \(f(t) = \ – \ 0,8125t^2 + 10t \ – \ 27\) có \(a = \ – \ 0,8125 < 0\) và có \(\Delta = 10^2 \ – \ 4. (\ – \ 0,8125). (\ – \ 27) = 12,25 > 0\) nên \(f(t)\) có hai nghiệm phân biệt \(t_1 = 8,31\) và \(t_2 = 4\).
Do đó \(f(t) > 0\) khi \(4 < t < 8,31\).
Vậy quả bóng ở độ cao trên \(29m\) trong khoảng ít hơn \(8,31 \ – \ 4 = 4,31\) giây.
\(\)
Bài \(9\). Một người phát cầu qua lưới từ độ cao \(y_0\) mét, nghiêng một góc \(\alpha\) so với phương ngang với vận tốc đầu \(v_0\).
Phương trình chuyển động của quả cầu là:
\(y = \displaystyle \frac{\ – \ g}{2v_0^2 \cos^2{\alpha}} x^2 + \tan{\alpha} x + y_0\) với \(g = 10 m/s^2\).
\(a)\) Viết phương trình chuyển động của quả cầu nếu \(\alpha = 45^o, y_0 = 0,3 m\) và \(v_0 = 7,67 m/s\).
\(b)\) Để cầu qua được lưới bóng cao \(1,5 m\) thì người phát cầu phải đứng cách lưới bao xa?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Trả lời:
\(a)\) Thay các giá trị \(\alpha = 45^o, y_0 = 0,3 m\) và \(v_0 = 7,67 m/s\) vào phương trình chuyển động của quả cầu ta được:
\(y = \displaystyle \frac{\ – \ 10}{2. 7,67^2. \cos^2{45^o}} + \tan{45^o}. x + 0,3\)
\(= \ – \ 0,17x^2 + x + 0,3\)
\(b)\) Để cầu qua được lưới bóng cao \(1,5 m\) thì \(y > 1,5\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 0,17x^2 + x + 0,3 > 1,5\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 0,17x^2 + x \ – \ 1,2 > 0\)
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 0,17x^2 + x \ – \ 1,2\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 0,17). (\ – \ 1,2) = 0,184 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 \approx 4,2\) và \(x_2 \approx 1,68\).
Lại có \(a = \ – \ 0,17 < 0\) nên \(f(x) > 0\) khi \(1,68 < x < 4,2\).
Vậy người phát cầu phải đứng cách lưới khoảng \(1,68 m\) đến \(4,2 m\).
\(\)
Bài \(10\). Cho tam giác \(ABC\) và \(ABD\) cùng vuông tại \(A\) như Hình \(3\) có \(AB = x, BC = 5\) và \(BD = 6\).
\(a)\) Biểu diễn độ dài cạnh \(AC\) và \(AD\) theo \(x\).
\(b)\) Tìm \(x\) để chu vi của tam giác \(ABC\) là \(12\).
\(c)\) Tìm \(x\) để \(AD = 2AC\).
Trả lời:
\(x\) là độ dài \(AB\) nên \(x > 0\)
\(a)\) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(AC = \sqrt{BC^2 \ – \ AB^2} = \sqrt{5^2 \ – \ x^2} = \sqrt{25 \ – \ x^2}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(ABD\) ta có:
\(AD = \sqrt{BD^2 \ – \ AB^2} = \sqrt{6^2 \ – \ x^2} = \sqrt{36 \ – \ x^2}\)
\(b)\) Ta có: \(AB + BC + AC = 12\)
\(\Rightarrow x + 5 + \sqrt{25 \ – \ x^2} = 12\)
\(\Rightarrow \sqrt{25 \ – \ x^2} = 7 \ – \ x\)
\(\Rightarrow 25 \ – \ x^2 = 49 \ – \ 14x + x^2\)
\(\Rightarrow 2x^2 \ – \ 14x + 24 = 0\)
\(\Rightarrow x = 4\) hoặc \(x = 3\)
Lần lượt thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy khi \(x = 3\) hoặc \(x = 4\) thì chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(12\).
\(c)\) Ta có: \(AD = 2AC\)
\(\Rightarrow \sqrt{36 \ – \ x^2} = 2\sqrt{25 \ – \ x^2}\)
\(\Rightarrow 36 \ – \ x^2 = 4. (25 \ – \ x^2)\)
\(\Rightarrow 3x^2 \ – \ 64 = 0\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ \displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3} (\text{ Loại vì } x > 0) \\x = \displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3} \end{array} \right. \end{equation}\).
Thay \(x = \displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}\) vào phương trình ban đầu ta thấy thoả mãn.
Vậy \(x = \displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}\) thì \(AD = 2AC\).
Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII
Xem bài giải trước: Bài 3 – Phương trình quy về phương trình bậc hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.