Bài tập cuối chương \(VI\) trang \(26\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Chọn phương án đúng
Bài \(1\). Rút gọn biểu thức \(\left[\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2\right]^{\frac{1}{4}}. (\sqrt{3})^5\), ta được:
\(A.\) \(\sqrt{3}\).
\(B.\) \(3\sqrt{3}\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\(D.\) \(9\).
Trả lời:
\(\left[\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2\right]^{\frac{1}{4}}. (\sqrt{3})^5\)
\(= \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{4}}. 3^{\frac{5}{2}}\)
\(= 3^{\ – \ \frac{1}{2}}. 3^{\frac{5}{2}} = 3^2 = 9\)
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(2\). Nếu \(2^{\alpha} = 9\) thì \(\left(\displaystyle \frac{1}{16}\right)^{\frac{\alpha}{8}}\) có giá trị bằng
\(A.\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\).
\(B.\) \(3\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{1}{9}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Trả lời:
Ta có: \(\left(\displaystyle \frac{1}{16}\right)^{\frac{\alpha}{8}}\)
\(= (2^{\ – \ 4})^{\frac{\alpha}{8}}\)
\(= (2^{\alpha})^{\ – \ \frac{1}{2}}\)
\(= 9^{\ – \ \frac{1}{2}} = \displaystyle \frac{1}{3}\)
Chọn đáp án \(A\)
\(\)
Bài \(3\). Nếu \(a^{\frac{1}{2}} = b (a > 0, a \neq 1)\) thì
\(A.\) \(\log_{\displaystyle \frac{1}{2}} a = b\).
\(B.\) \(2\log_{a} b = 1\).
\(C.\) \(\log_{a} \displaystyle \frac{1}{2} = b\).
\(D.\) \(\log_{\displaystyle \frac{1}{2}} b = a\).
Trả lời:
Ta có: \(a^{\frac{1}{2}} = b\)
\(\Leftrightarrow \log_{a} b = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\log_{a} b = 1\)
Chọn đáp án \(B\)
\(\)
Bài \(4\). Nếu \(x = \log_{3} 4 + \log_{9} 4\) thì \(3^x\) có giá trị bằng
\(A.\) \(6\)
\(B\). \(8\)
\(C.\) \(16\).
\(D.\) \(64\).
Trả lời:
Ta có: \(x = \log_{3} 4 + \log_{9} 4 = \log_{3} 4 + \log_{3} 2\)
\(= \log_{3} (4. 2) = \log_{3} 8\)
Suy ra \(3^x = 8\)
Chọn đáp án \(B\)
\(\)
Bài \(5\). Cho \(\alpha, \beta\) là hai số thực với \(\alpha < \beta\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(A.\) \(0,3^{\alpha} < 0,3^{\beta}\).
\(B.\) \(\pi^{\alpha} \geq \pi^{\beta}\).
\(C.\) \(\sqrt{2}^{\alpha} < \sqrt{2}^{\beta}\).
\(D\). \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\beta} > \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\alpha}\).
Trả lời:
Do \( 0 < 0,3 < 1\) nên \(0,3^{\alpha} > 0,3^{\beta}\). Vậy \(A.\) sai.
Do \(\pi > 1\) nên \(\pi^{\alpha} < \pi^{\beta}\)
Vậy \(B\) sai.
Do \(\sqrt{2} > 1 \) nên \((\sqrt{2})^{\alpha} < (\sqrt{2})^{\beta}\). Vậy \(C\) đúng
Do \(0 < \displaystyle \frac{1}{2} < 1\) nên \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\alpha} > \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\beta}\). Vậy \(D\) sai.
Chọn đáp án \(C\)
\(\)
Bài \(6\). Hình nào vẽ đồ thị của hàm số \(y = \log_{\displaystyle \frac{1}{2}} x\)?
Trả lời:
Đáp án \(B\)
\(\)
Bài \(7\). Phương trình \(0,1^{2x \ – \ 1} = 100\) có nghiệm là:
\(A.\) \(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\).
\(C.\) \(1\displaystyle \frac{1}{2}\).
\(D.\) \(2\displaystyle \frac{1}{3}\).
Trả lời:
Ta có: \(0,1^{2x \ – \ 1} = 100\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 1 = \log_{0,1} 100 = \ – \ 2\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)
Chọn đáp án \(A\)
\(\)
Bài \(8\). Tập nghiệm của bất phương trình \(0,5^{3x \ – \ 1} > 0,25\) là
\(A.\) \((\ – \ \infty; 1)\).
\(B.\) \((1; + \infty)\).
\(C\). \((0; 1)\).
\(D.\) \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)\).
Trả lời:
\(0,5^{3x \ – \ 1} > 0,25\)
\(\Leftrightarrow 0,5^{3x \ – \ 1} > 0,5^2\)
\(\Leftrightarrow 3x \ – \ 1 < 2\) (Do \(0< 0,5 < 1\))
\(\Leftrightarrow x < 1\)
Chọn đáp án \(A\)
\(\)
Bài \(9\). Nếu \(\log x = 2\log5 \ – \ \log2\) thì
\(A.\) \(x = 8\).
\(B.\) \(x = 23\).
\(C.\) \(x = 12.5\).
\(C.\) \(x = 5\).
Trả lời:
Điệu kiện \(x > 0\)
Ta có: \(\log x = \log 25 \ – \ \log 2\)
\(\Leftrightarrow \log x = \log \displaystyle \frac{25}{2}\)
\(\Leftrightarrow x = 12,5\)
Chọn đáp án \(C\)
\(\)
Bài \(10\). Số nguyên \(x\) nhỏ nhất thoả mãn \(\log_{0,1} (1 \ – \ 2x) > \ – \ 1\) là
\(A.\) \(0\).
\(B.\) \(1\).
\(C.\) \(\ – \ 5\).
\(D.\) \(\ – \ 4\).
Trả lời:
Điều kiện \(1 \ – \ 2x > 0 \Leftrightarrow x < \displaystyle \frac{1}{2}\)
Ta có: \(\ – \ 1 = \log_{0,1} 10\)
Hàm số \(y = \log_{0,1} (1 \ – \ 2x)\) có cơ số \(0< 0,1 < 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\(1 \ – \ 2x < 10 \Leftrightarrow x > \ – \ \displaystyle \frac{9}{2}\)
Kết hợp lại ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\ – \ \displaystyle \frac{9}{2} < x < \displaystyle \frac{1}{2}\)
Chọn đáp án \(D\)
\(\)
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài \(11\). Biết \(4^{\alpha} + 4^{\ – \ \alpha} = 5\). Tính giá trị của các biểu thức:
\(a)\) \(2^{\alpha} + 2^{\ – \ \alpha}\);
\(b)\) \(4^{2\alpha} + 4^{\ – \ 2\alpha}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(4^{\alpha} + 4^{\ – \ \alpha} = (2^{\alpha})^2 + (2^{\ – \ \alpha})^2\)
\(= (2^{\alpha} + 2^{\ – \ \alpha})^2 \ – \ 2. 2^{\alpha}. 2^{\ – \ \alpha}\)
\(= (2^{\alpha} + 2^{\ – \ \alpha})^2 \ – \ 2 = 5\)
\(\Rightarrow 2^{\alpha} + 2^{\ – \ \alpha} = \sqrt{7}\)
\(b)\) \(4^{2\alpha} + 4^{\ – \ 2\alpha}\)
\( = (4^{\alpha} + 4^{\ – \ \alpha})^2 \ – \ 2. 4^{\alpha}. 4^{\ – \ \alpha}\)
\(= 5^2 \ – \ 2 = 23\)
\(\)
Bài \(12\). Tính giá trị của các biểu thức:
\(a)\) \(\log_{2} 72 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} (\log_{2} 3 + \log_{2} 27)\);
\(b)\) \(5^{\log_{2} 40 \ – \ \log_{2} 5}\);
\(c)\) \(3^{2 + \log_{9} 2}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\log_{2} 72 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. (\log_{2} 3 + \log_{2} 27)\)
\(= \log_{2} (2. 6^2) \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. \log_{2} 81\)
\(= \log_{2} 2 + \log_{2} 6^2 \ – \ 2. \log_{2} 3\)
\(= 1 + 2 \log_{2} (2. 3) \ – \ 2 \log_{2} 3\)
\(= 1 + 2. (1 + \log_{2} 3) \ – \ 2 \log_{2} 3\)
\(= 3 \)
\(b)\) \(5^{\log_{2} 40 \ – \ \log_{2} 5}\)
\(= 5^{\log_{2} (2^3. 5) \ – \ \log_{2} 5}\)
\(= 5^{\log_{2} 2^3 + \log_{2} 5 \ – \ \log_{2} 5}\)
\(= 5^3 = 125\)
\(c)\) \(3^{2 + \log_{9} 2}\)
\(= 3^{2 + \frac{1}{2} \log_{3} 2}\)
\(= 3^2 . 3^{\frac{1}{2} \log_{3} 2}\)
\(= 9. (3^{\log_{3} 2})^{\frac{1}{2}}\)
\(= 9. 2^{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{2}\)
\(\)
Bài \(13\). Biết rằng \(5^x = 3\) và \(3^y = 5\). Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của \(xy\).
Trả lời:
Ta có: \(5^x = 3\) nên \(x = \log_{5} 3\)
\(3^y = 5\) nên \(y = \log_{3} 5\)
Suy ra \(xy = \log_{5} 3. \log_{3} 5 = \displaystyle \frac{1}{\log_{3} 5}. \log_{3} 5 = 1\)
\(\)
Bài \(14\). Viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\), biết
\(2 \log_{2} y = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \log_{2} x\).
Trả lời:
Ta có: \(2 \log_{2} y = 2 + \displaystyle \frac{1}{2} \log_{2} x\)
\(\Leftrightarrow \log_{2} y = 1 + \displaystyle \frac{1}{4} \log_{2} x\)
\(\Leftrightarrow \log_{2} y = 1 + \log_{2} x^{\frac{1}{4}}\)
Suy ra \(y = 2^{1 + \log_{2} x^{\frac{1}{4}}}\)
\(= 2. 2^{\log_{2} x^{\frac{1}{4}}}\)
\(= 2. x^{\frac{1}{4}} = 2 \sqrt[4]{x}\)
\(\)
Bài \(15\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^{x \ – \ 2} = \sqrt{8}\);
\(b)\) \(9^{2x \ – \ 1} = 81. 27^x\);
\(c)\) \(2\log_{5} (x \ – \ 2) = \log_{5} 9\);
\(d)\) \(\log_{2} (3x + 1) = 2 \ – \ \log_{2} (x \ – \ 1)\).
Trả lời:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^{x \ – \ 2} = \sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2^{2x \ – \ 4}} = 2^{\frac{3}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 2^{4 \ – \ 2x} = 2^{\frac{3}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 4 \ – \ 2x = \displaystyle \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{5}{4}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{5}{4}\)
\(b)\) \(9^{2x \ – \ 1} = 81. 27^x\)
\(\Leftrightarrow 3^{2. (2x \ – \ 1)} = 3^4. 3^{3x}\)
\(\Leftrightarrow 3^{4x \ – \ 2} = 3^{3x + 4}\)
\(\Leftrightarrow 4x \ – \ 2 = 3x + 4\)
\(\Leftrightarrow x = 6\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6\)
\(c)\) \(2 \log_{5} (x \ – \ 2) = \log_{5} 9\)
Điều kiện \(x \ – \ 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\(\log_{5} (x \ – \ 2)^2 = \log_{5} 9\).
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 2)^2 = 9\)
\(\Leftrightarrow x \ – \ 2 = 3\) (Do \(x \ – \ 2 > 0\))
\(\Leftrightarrow x = 5\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\)
\(d)\) \(\log_{2} (3x + 1) = 2 \ – \ \log_{2} (x \ – \ 1)\)
Điều kiện: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x + 1 > 0\\x \ – \ 1 > 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow x > 1\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\(\log_{2} (3x + 1) + \log_{2} (x \ – \ 1) = 2\)
\(\Leftrightarrow \log_{2} (3x + 1)(x \ – \ 1) = 2\)
\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 2x \ – \ 1 = 4\)
\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 2x \ – \ 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 1\\x = \displaystyle \frac{5}{3} \end{array} \right.\end{equation}\)
Kết hợp với điều kiện \(x > 1\) ta thấy \(x = \displaystyle \frac{5}{3}\) thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \displaystyle \frac{5}{3}\)
\(\)
Bài \(16\). Giải các bất phương trình:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{9}\right)^{x + 1} > \displaystyle \frac{1}{81}\);
\(b)\) \((\sqrt[4]{3})^x \leq 27. 3^x\);
\(c)\) \(\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (2 \ – \ 4x)\).
Trả lời:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{9}\right)^{x + 1} > \displaystyle \frac{1}{81}\)
\(\Leftrightarrow \left(\displaystyle \frac{1}{9}\right)^{x + 1} > \left(\displaystyle \frac{1}{9}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x + 1 < 2\) (Do \(\displaystyle \frac{1}{9} < 1\))
\(\Leftrightarrow x < 1\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 1\).
\(b)\) \((\sqrt[4]{3})^x \leq 27. 3^x\)
\(\Leftrightarrow (3^{\frac{1}{4}})^x \leq 3^3. 3^x\)
\(\Leftrightarrow 3^{\frac{x}{4}} \leq 3^{x + 3}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{4} \leq x + 3\) (Do \(3 > 1\))
\(\Leftrightarrow x \geq \ – \ 4\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \geq \ – \ 4\).
\(c)\) \(\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (2 \ – \ 4x)\).
Điều kiện \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + 1 > 0\\2 \ – \ 4x > 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > \ – \ 1\\x < \displaystyle \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 1 < x < \displaystyle \frac{1}{2}\) (*)
Khi đó, do cơ số \(2 > 0\) nên bất phương trình đã cho trở thành:
\(x + 1 \leq 2 \ – \ 4x\)
\(\Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{1}{5}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\ – \ 1 < x < \displaystyle \frac{1}{5}\)
\(\)
Bài \(17\). Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với \(1000\) vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện ra số lượng vi khuẩn tăng thêm \(25 \%\) sau mỗi hai ngày.
\(a)\) Công thức \(P(t) = P_0. a^t\) cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau \(t\) ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số \(P_0\) và \(a (a > 0)\) (Làm tròn \(a\) đến hàng phần trăm).
\(b)\) Sau \(5\) ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
\(c)\) Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Trả lời:
\(a)\) Ta có: Số lượng vi khuẩn tăng thêm \(25 \%\) sau mỗi \(2\) ngày nên ta có:
\(P(2) = 125 % P_0 = P_0. a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2 = 1,25\)
\(\Leftrightarrow a \approx 1,12\)
Tại thời điểm ban đầu, \(t = 0\) Suy ra \(P_0 = 1000\)
\(b)\) Khi \(t = 5\) ta có:
\(Q(5) = 1000. 1,12^5 = 1762,34\) (vi khuẩn)
\(c)\) Số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu, tức là \(Q(t) = 1000. 1,12^t = 2000\)
\(\Leftrightarrow t = \log_{1,12} 2 = 6,1\) (ngày)
Vậy sau \(6,1\) ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.
\(\)
Bài \(18\). Nhắc lại rằng độ \(pH\) của một dung dịch được tính theo công thức \(pH = \ – \ \log[H^+]\), trong đó \(H^+\) là nồng độ \(H^+\) của dung dịch đó tính bằng \(mol/L\). Nồng độ \(H^+\) trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.
\(a)\) Dung dịch acid \(A\) có độ \(pH\) bằng \(1,9\); dung dịch acid \(B\) có độ \(pH\) bằng \(2,5\). Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần?
\(b)\) Nước cất có nồng độ \(H^+\) là \(10^{\ – \ 7} mol/L\). Nước chảy ra từ một vòi nước có độ \(pH\) từ \(6,5\) đến \(6,7\) thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất?
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(pH(A) = 1,9 = \ – \ \log[H^+](A)\)
\(\Rightarrow [H^+](A)= 10^{\ – \ 1,9} = 0,0126\) mol/L
\(pH(B) = 2,5 = \ – \ \log[H^+](B)\)
\(\Rightarrow [H^+](B) = 10^{\ – \ 2,5} = 0,0032\) mol/L
Ta thấy \(\displaystyle \frac{[H^+](A)}{[H^+](B)} = \displaystyle \frac{0,0126}{0,0032} \approx 4\)
Vậy dung dịch \(A\) có độ acid cao hơn dung dịch \(B\) khoảng \(4\) lần.
\(b)\) Ta có: \(pH = 6,5 = \ – \ \log[H^+]\)
\(\Rightarrow [H^+] = 10^{\ – \ 6,5} = 3.10^{\ – \ 7}\) mol /L\)
\(pH = 6,7 = \ – \ \log[H^+]\)
\(\Rightarrow [H^+] = 10^{\ – \ 6,7} = 2. 10^{\ – \ 7}\) mol/L
Nước chảy ra từ vòi nước có độ \(pH\) từ \(6,5\) đến \(6,7\) thì có nồng độ \(H^+\) trong khoảng \(2. 10^{\ – \ 7}\) đến \(3.10^{\ – \ 7}\) lớn hơn nồng độ \(H^+\) của nước cất là \(10^{\ – \ 7}\) mol/L hay nước đó có độ acid cao hơn nước cất.
\(\)
Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI
Xem bài giải trước: Bài 4 – Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Đạo hàm
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.