Bài tập cuối chương IX

Bài tập cuối cuối chương \(IX\) trang \(97\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

\(A\) – TRẮC NGHIỆM

Bài \(9.18\). Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
\(A.\) \((u + v)’ = u’ \ – \ v’\).
\(B.\) \((uv)’ = u’v + uv’\).
\(C.\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{v}\right)’ = \ – \ \displaystyle \frac{1}{v^2}\).
\(D.\) \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’v + uv’}{v^2}\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(9.19\). Cho hàm số \(f(x) = x^2 + \sin^3{x}\). Khi đó \(f’\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) bằng
\(A.\) \(\pi\).
\(B.\) \(2\pi\).
\(C.\) \(\pi + 3\).
\(D.\) \(\pi \ – \ 3\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = 2x + 3\sin^2{x} \cos{x}\)

\(\Rightarrow f’\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}\right) = 2. \displaystyle \frac{\pi}{2} + 3 \sin^2{\displaystyle \frac{\pi}{2}} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{2}} = \pi\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(9.20\). Cho hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{3}x^3 \ – \ x^2 \ – \ 3x + 1\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) \leq 0\) là
\(A.\) \([1; 3]\).
\(B.\) \([\ – \ 1; 3]\).
\(C.\) \([\ – \ 3; 1]\).
\(D.\) \([\ – \ 3; \ – \ 1]\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = \displaystyle \frac{1}{3}. 3x^2 \ – \ 2x \ – \ 3 = x^2 \ – \ 2x \ – \ 3\)

Suy ra \(f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x^2 \ – \ 2x \ – \ 3 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 1 \leq x \leq 3\)

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(9.21\). Cho hàm số \(f(x) = \sqrt{4 + 3u(x)}\) với \(u(1) = 7, u'(1) = 10\). Khi đó \(f'(1)\) bằng
\(A.\) \(1\).
\(B.\) \(6\).
\(C.\) \(3\).
\(D.\) \(\ – \ 3\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = \displaystyle \frac{3u'(x)}{2\sqrt{4 + 3u(x)}}\)

Suy ra \(f'(1) = \displaystyle \frac{3u'(1)}{2\sqrt{4 + 3u(1)}} = \displaystyle \frac{3. 10}{2\sqrt{4 + 3. 7}} = 3\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(9.22\). Cho hàm số \(f(x) = x^2 e^{\ – \ 2x}\). Tập nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) là
\(A.\) \(\{0; 1\}\).
\(B.\) \(\{\ – \ 1; 0\}\).
\(C.\) \(\{0\}\).
\(D.\) \(\{1\}\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = 2x e^{\ – \ 2x} \ – \ 2x^2e^{\ – \ 2x}\)

Suy ra \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2xe^{\ – \ 2x} \ – \ 2x^2e^{\ – \ 2x} = 0\)

\(\Leftrightarrow 2xe^{\ – \ 2x}. (1 \ – \ x) = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(9.23\). Chuyển động của một vật có phương trình \(s(t) = \sin{\left(0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\), ở đó \(s\) tính bằng centimét và thời gian \(t\) tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng \(0\), giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?
\(A.\) \(4,5 cm/s^2\).
\(B.\) \(5,5 cm/s^2\).
\(C.\) \(6,3 cm/s^2\).
\(D.\) \(7,1 cm/s^2\).

Trả lời:

Ta có: \(v(t) = s'(t) = 0,8\pi \cos{\left(0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

\(a(t) = v'(t) = \ – \ 0,8 \pi. 0,8 \pi. \sin{\left(0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \)

\(= \ – \ 0,64\pi^2 \cos{\left(0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

Vận tốc bằng \(0\) nên: \(v(t) = 0\)

\(\Leftrightarrow 0,8 \pi \cos{\left(0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = 0\)

\(\Leftrightarrow 0,8 \pi t + \displaystyle \frac{\pi}{3} = \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow 0,8 \pi t = \displaystyle \frac{\pi}{6} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{5}{24} + \displaystyle \frac{5k}{4}\)

Tại thời điểm vận tốc bằng \(0\), giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật là:

\(|a| = |\ – \ 0,64 \pi^2 \sin{\left(0,8 \pi. \left(\displaystyle \frac{5}{24} + \displaystyle \frac{5k}{4}\right) + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}|\)

\( = 0,64 \pi^2 |\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi\right)}|\)

\(= 0,64 \pi^2 \approx 6,32\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(9.24\). Cho hàm số \(y = x^3 \ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 1\) có đồ thị là \((C)\). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là
\(A.\) \(1\).
\(B.\) \(2\).
\(C.\) \(\ – \ 1\).
\(D.\) \(3\).

Trả lời:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là:

\(k = y’ = 3x^2 \ – \ 6x + 4 = 3. (x^2 \ – \ 2x + 1) + 1 = 3. (x \ – \ 1)^2 + 1 \geq 1\)

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là \(1\).

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

\(B -\) TỰ LUẬN

Bài \(9.25\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \left(\displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\right)^5\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1}\);
\(c)\) \(y = e^x \sin^2x\);
\(d)\) \(y = \log (x + \sqrt{x})\).

Trả lời:

\(a)\) \(y’ = 5. \left(\displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\right)^4 \left(\displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\right)’\)

\( = 5 \left(\displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\right)^4. \displaystyle \frac{2(x + 2) \ – \ (2x \ – \ 1)}{(x + 2)^2}\)

\(= 5 \left(\displaystyle \frac{2x \ – \ 1}{x + 2}\right)’. \displaystyle \frac{5}{(x + 2)^2} = \displaystyle \frac{25 (2x \ – \ 1)^4}{(x + 2)^6}\)

\(b)\) \(y’ = \displaystyle \frac{(2x)'(x^2 + 1) \ – \ 2x. (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 + 2 \ – \ 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \displaystyle \frac{\ – \ 2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}\)

\(c)\) \(y’ = (e^x)’. \sin^2x + e^x. (\sin^2x)’ = e^x \sin^2x + e^x. 2\sin{x} \cos{x}\)

\(= e^x \sin^2 x + e^x \sin{2x}\)

\(d)\) \(y’ = [\log (x + \sqrt{x})]’ = \displaystyle \frac{(x + \sqrt{x})’}{(x + \sqrt{x}) \ln 10} = \displaystyle \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(x + \sqrt{x}) \ln 10}\)

\( = \displaystyle \frac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} (x + \sqrt{x}) \ln 10}\)

\(\)

Bài \(9.26\). Xét hàm số luỹ thừa \(y = x^{\alpha}\) với \(\alpha\) là số thực.
\(a)\) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
\(b)\) Bằng cách viết \(y = x^{\alpha} = e^{\alpha ln x}\), tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = x^{\alpha}\) với \(\alpha\) là số thực có tập xác định khác nhau, tuỳ theo \(\alpha\):

Nếu \(\alpha\) nguyên dương thì tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Nếu \(\alpha\) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\) thì tập xác định là \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

Nếu \(\alpha\) không nguyên thì tập xác định là \((0; +\infty)\)

\(b)\) \(y’ = (x^{\alpha})’ = (e^{\alpha \ln x})’ = (\alpha \ln x)’ e^{\alpha \ln x} = \displaystyle \frac{\alpha}{x} e^{\alpha \ln x}\)

\(= \displaystyle \frac{\alpha}{x}. x^{\alpha} = \alpha x^{\alpha \ – \ 1}\)

\(\)

Bài \(9.27\). Cho hàm số \(f(x) = \sqrt{3x + 1}\). Đặt \(g(x) = f(1) + 4(x^2 \ – \ 1)f'(1)\). Tính \(g(2)\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\)2

\(\Rightarrow f(1) = \sqrt{3. 1 + 1} = 2, f'(1) = \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3. 1 + 1}} = \displaystyle \frac{3}{4}\)

Suy ra: \(g(2) = f(1) + 4(x^2 \ – \ 1) f'(1) = 2 + 4(2^2 \ – \ 1). \displaystyle \frac{3}{4} = 11\)

\(\)

Bài \(9.28\). Cho hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{x + 1}{x \ – \ 1}\). Tính \(f”(1)\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = \left(\displaystyle \frac{x + 1}{x \ – \ 1}\right)’ = \displaystyle \frac{x \ – \ 1 \ – \ x \ – \ 1}{(x \ – \ 1)^2} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{(x \ – \ 1)^2}\)

\(f”(x) = \left(\displaystyle \frac{\ – \ 2}{(x \ – \ 1)^2}\right)’ = (\ – \ 2). (\ – \ 2). (x \ – \ 1)^{\ – \ 3} = \displaystyle \frac{4}{(x \ – \ 1)^3}\)

\(\Rightarrow f”(0) = \displaystyle \frac{4}{(0 \ – \ 1)^3} = \ – \ 4\)

\(\)

Bài \(9.29\). Cho hàm số \(f(x)\) thoả mãn \(f(1) = 2\) và \(f'(x) = x^2 f(x)\) với mọi \(x\). Tính \(f”(1)\).

Trả lời:

Ta có: \(f”(x) = 2xf(x) + x^2f'(x)\)

Mà \(f'(1) = 1^2 f(1) = f(1) = 2\)

\(\Rightarrow f”(1) = 2. 1. 2 + 1^2. 2 = 6\)

Vậy \(f”(1) = 6\)

\(\)

Bài \(9.30\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3 + 3x^2 \ – \ 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\).

Trả lời:

Ta có: \(y’ = 3x^2 + 6x\)

\(\Rightarrow y'(1) = 3. 1^2 + 6. 1 = 9\)

Lại có \(f(1) = 1^3 + 3. 1^2 \ – \ 1 = 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là:

\(y \ – \ 3 = 9. (x \ – \ 1) \Leftrightarrow y = 9x \ – \ 6\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 9x \ – \ 6\)

\(\)

Bài \(9.31\). Đồ thị của hàm số \(y = \displaystyle \frac{a}{x}\) (\(a\) là một hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Trả lời:

Ta có: \(y’ = \displaystyle \frac{\ – \ a}{x^2}\)

\(\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến của hypebol có hoành độ tại điểm có hoành độ \(x_0\) là:

\(y \ – \ \displaystyle \frac{a}{x_0} = \ – \ \displaystyle \frac{a}{x_0^2} (x \ – \ x_0)\)

\(\Leftrightarrow y = \ – \ \displaystyle \frac{a}{x_0^2} x + \displaystyle \frac{2a}{x_0}\)

Gọi \(A, B\) lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với hai trục toạ độ \(Ox, Oy\)

\(\Rightarrow A\left(0; \displaystyle \frac{2a}{x_0}\right), B(2x_0; 0)\).

Do đó diện tích tam giác \(OAB\) bằng:

\(S_{OAB} = \displaystyle \frac{1}{2} OA. OB = \displaystyle \frac{1}{2}.|\displaystyle \frac{2a}{x_0}. 2x_0| = 2a\) không đổi.

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó với các trục toạ độ một tạm giác có diện tích không đổi.

\(\)

Bài \(9.32\). Hình \(9.10\) biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ôtô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ôtô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Trả lời:

Hàm số \(c\) luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó luôn không âm.

Suy ra hàm số \(b\) là đạo hàm của hàm số \(c\).

Hàm số \(b\) đồng biến trên khoảng mà hàm số \(a\) dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số \(a\) âm, do đó hàm số \(a\) là đạo hàm của hàm số \(b\).

Vậy hàm số \(a\) là hàm gia tốc, hàm số \(b\) là hàm vận tốc và hàm số \(c\) là hàm vị trí của ô tô.

\(\)

Bài \(9.33\). Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: \(s = f(t) = t^3 \ – \ 6t^2 + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét.
\(a)\) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm \(t = 2\) giây và \(t = 4\) giây.
\(b)\) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?
\(c)\) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây.
\(d)\) Tính tổng quãng đường vật đi được trong \(5\) giây đầu tiên.
\(e)\) Trong \(5\) giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 \ – \ 12t + 9\)

Vận tốc của vật tại \(t = 2\) giây là:

\(v(2) = 3. 2^2 \ – \ 12. 2 + 9 = \ – \ 3 (m /s)\)

Vận tốc của vật tại \(t = 4\) giây là:

\(v(4) = 3. 4^2 \ – \ 12. 4 + 9 = 9 (m/s)\)

\(b)\) Vật đứng yên \(\Leftrightarrow v(t) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3t^2 \ – \ 12t + 9 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} t = 1\\t = 3 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy vào thời điểm \(t = 1\) giây hoặc \(t = 3\) giây thì vật đứng yên.

\(c)\) Ta có: \(a(t) = v'(t) = s”(t) = 6t \ – \ 12\)

\(\Rightarrow a(4) = 6. 4 \ – \ 12 = 12 (m/s^2)\)

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây là \(12\) \(m/s^2\)

\(d)\) Do tại \(t = 1\) và \(t = 3\) giây thì vật đứng yên nên để tính tổng quãng đường vật đi được trong \(5\) giây đầu tiên thì ta tính tổng quãng đường đi được của vật trên các khoảng thời gian \([0; 1]; [1; 3]; [3; 5]\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \([0; 1]\) giây là:

\(|f(1) \ – \ f(0)| = |(1 \ – \ 6 + 9) \ – \ 0| = 4\) (m)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \([1; 3]\) giây là:

\(|f(3) \ – \ f(1)| = |(3^3 \ – \ 6. 3^2 + 9. 3) \ – \ 4| = 4\) (m)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \([3; 5]\) giây là:

\(|f(5) \ – \ f(3)| = |(5^3 \ – \ 6. 5^2 + 9.5) \ – \ 0| = 20\) (m)

Vậy tổng quãng đường vật đi được trong \(5\) giây đầu tiên là:

\(4 + 4 + 20 = 28\) (m)

\(e)\) Xét \(a(t) = 6t \ – \ 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\) giây.

Vậy với \(t \in [0; 2)\) thì gia tốc âm, tức là vật giảm tốc.

Với \(t \in (2; 5]\) thì gia tốc dương, tức là vật tăng tốc.

Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX