Bài \(4\). Phương trình lượng giác cơ bản trang \(31\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1.20\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sin{x} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(b)\) \(2 \cos{x} = \ – \ \sqrt{2}\);
\(c)\) \(\sqrt{3} \tan{\left(\displaystyle \frac{x}{2} + 15^o\right)} = 1\);
\(d)\) \(\cot{(2x \ – \ 1)} = \cot{\displaystyle \frac{\pi}{5}}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sin{x} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sin{x} = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \pi \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi ( k \in \mathbb{Z})\) và \(y = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
\(b)\) \(2\cos{x} = \ – \ \sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos{x} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos{x} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k2\pi\\x = \ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
\(c)\) \(\sqrt{3} \tan{\left(\displaystyle \frac{x}{2} + 15^o\right)} = 1\)
\(\Leftrightarrow \tan{\left(\displaystyle \frac{x}{2} + 15^o\right)} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \tan{\left(\displaystyle \frac{x}{2} + 15^o\right)} = \tan{30^o}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{2} + 15^o = 30^o + k. 180^o, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = 30^o + k. 360^o, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 30^o + k.360^o, k \in \mathbb{Z}\)
\(d)\) \(\cot{(2x \ – \ 1)} = \cot{\displaystyle \frac{\pi}{5}}\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 1 = \displaystyle \frac{\pi}{5} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{10} + \displaystyle \frac{1}{2} + k \displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\pi}{10} + \displaystyle \frac{1}{2} + k \displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)
\(\)
Bài \(1.21\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sin{2x} + \cos{4x} = 0\);
\(b)\) \(\cos{3x} = \ – \ \cos{7x}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sin{2x} + \cos{4x} = 0\)
\(\Leftrightarrow \cos{4x} = \ – \ \sin{2x}\)
\(\Leftrightarrow \cos{4x} = \sin{(\ – \ 2x)}\)
\(\Leftrightarrow \cos{4x} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ (\ – \ 2x)\right)}\)
\(\Leftrightarrow \cos{4x} = \cos{\displaystyle \frac{\pi}{2} + 2x}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II} 4x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2x + k2\pi\\4x = \ – \ \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + 2x\right) + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \\x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k \displaystyle \frac{\pi}{3} \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\displaystyle \frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})\)
\(b)\) \(\cos{3x} = \ – \ cos{7x}\)
\(\Leftrightarrow \cos{3x} = \cos{(\pi + 7x)}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}3x = \pi + 7x + k2\pi\\3x = \ – \ (\pi + 7x) + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k \displaystyle \frac{\pi}{2}\\x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{10} + k \displaystyle \frac{\pi}{5} \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\displaystyle \frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{10} + k\displaystyle \frac{\pi}{5} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\)
Bài \(1.22\). Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu \(v_0 = 500 m/s\) hợp với phương ngang một góc \(\alpha\). Trong vật lý, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \displaystyle \frac{\ – \ g}{2v_o^2 \cos^2{\alpha}} x^2 + x \tan{\alpha}\), ở đó \(g = 9,8 m/s^2\) là gia tốc trọng trường.
\(a)\) Tính theo góc bắn \(\alpha\) tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất.
\(b)\) Tìm góc bắn \(\alpha\) để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo \(22000\)m.
\(c)\) Tìm góc bắn \(\alpha\) để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Trả lời:
Thay \(v_0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s^2\) ta được phương trình quỹ đạo của quả đạn là:
\(y = \displaystyle \frac{\ – \ 9,8}{2. 500^2. \cos^2{\alpha}} x^2 + x\tan{\alpha}\)
\(\Leftrightarrow y = \displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}} x^2 + x\tan{\alpha}\)
\(a)\) Quả đạn chạm đất ta có \(y = 0\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}} x^2 + x\tan{\alpha} = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left(\displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}} x + \tan{\alpha}\right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = \displaystyle \frac{2500000\cos^2{\alpha} \tan{\alpha}}{49} \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = \displaystyle \frac{2500000\cos{\alpha} \sin{\alpha}}{49} \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = \displaystyle \frac{1250000\sin{2\alpha}}{49} \end{array} \right. \end{equation}\)
Tại \(x = 0\) thì quả đạn chưa được bắn ra.
Suy ra \(x = 0\) loại.
Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là:
\(x = \displaystyle \frac{1250000\sin{2\alpha}}{49}\) (m)
\(b)\) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo \(22000 m\) thì \(x = 22000 m\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1250000\sin{2\alpha}}{49} = 22000\)
\(\Leftrightarrow \sin{2\alpha} = \displaystyle \frac{539}{625}\)
Gọi \(\beta \in \left[\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) thỏa mãn \(\sin{\beta} = \displaystyle \frac{539}{625}\)
Khi đó ta có: \(\sin{2\alpha} = \sin{\beta}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II}2\alpha = \beta + k2\pi\\2\alpha = \pi \ – \ \alpha + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II}\alpha = \displaystyle \frac{\beta}{2} + k\pi\\\alpha = \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \displaystyle \frac{\beta}{2} + k\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)
\(c)\) Hàm số \(y = \displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}} x^2 + x\tan{\alpha}\) là hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh \(I(x_I; y_I)\) thỏa mãn:
\(x_I = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ \displaystyle \frac{\tan{\alpha}}{2. \displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}}}\)
\( = \displaystyle \frac{1250000\cos{\alpha} \sin{\alpha}}{49}\)
\(\Rightarrow y_I = f(x_I)\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 49}{2500000\cos^2{\alpha}} \left(\displaystyle \frac{1250000\cos{\alpha} \sin{\alpha}}{49}\right)^2\)
\( + \displaystyle \frac{1250000\cos{\alpha} \sin{\alpha}}{49} \tan{\alpha}\)
\(= \displaystyle \frac{625000\sin^2{\alpha}}{49}\)
\(\Rightarrow I(x_I; y_I) = \left(\displaystyle \frac{1250000\cos{\alpha} \sin{\alpha}}{49}; \displaystyle \frac{625000\sin^2{\alpha}}{49}\right)\)
Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là:
\(y_{max} = \displaystyle \frac{625000\sin^2{\alpha}}{49}\)
Ta có: \(y_{max} \leq \displaystyle \frac{625000}{49}\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi và chỉ khi \(\sin^2{\alpha} = 1\)
\(\Leftrightarrow \alpha = 90^o\)
Vậy khi góc bắn \(\alpha = 90^o\) thì quả đạn đạt độ cao lớn nhất
\(\)
Bài \(1.23\). Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\(x = 2 \cos{\left(5t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\).
Ở đây thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Trả lời:
Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên tức là \(x = 0\)
Ta có: \(2 \cos{\left(5t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow \cos{\left(5t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow 5t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} = \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{2\pi}{15} + k\displaystyle \frac{\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}\)
Trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây tức là \(0 \leq t \leq 6\)
\(\Leftrightarrow 0 \leq \displaystyle \frac{2\pi}{15} + k\displaystyle \frac{\pi}{5} \leq 6\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3} \leq k \leq \displaystyle \frac{90 \ – \ 2\pi}{3\pi}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\)
Vậy trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây, vật đi qua vị trí cân bằng \(9\) lần.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 3 – Hàm số lượng giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương I
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.