Chương 3 – Bài 3. Hình thang – Hình thang cân trang 60 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
1. Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
Giải
Ta có AB = BC nên \(\Delta ABC\) cân tại B, suy ra \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}.\)
Mặt khác, \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\) (do AC là tia phân giác của \(\widehat{BAD}\)).
Suy ra \(\widehat{BCA}=\widehat{DAC},\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
\(\)
2. Tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C}.\) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
Giải
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o;\) \(\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C}.\)
Do đó \(2.(\widehat{A}+\widehat{D})=360^o\) hay \(\widehat{A}+\widehat{D}=180^o.\)
Suy ra AB // CD.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
\(\)
3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC một tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Giải
Ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A,\) \(\Delta BCD\) vuông cân tại \(B\) suy ra \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45^o.\)
Vì \(\widehat{B_1}\) và \(\widehat{C_1}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \(AB // CD.\)
Vậy tứ giác \(ABDC\) là hình thang.
Hình thang \(ABDC\) có \(\widehat{A}=90^o\) nên \(ABDC\) là hình thang vuông.
\(\)
4. Hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}.\) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Trong \(\Delta ECD,\) ta có \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\) nên \(\Delta ECD\) cân tại E, suy ra EC = ED.(1)
Vì AB // CD nên
\(\widehat{EBA}=\widehat{D_1}\) (hai góc so le trong);
\(\widehat{EAB}=\widehat{C_1}\) (hai góc so le trong);
\(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\) (giả thiết).
Suy ra \(\widehat{EBA}=\widehat{EAB},\) do đó \(\Delta BEA\) cân tại E.
Nên AE = BE. (2)
Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
\(\)
5. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.
Giải
Xét \(\Delta AMN\) có AM = AN (giả thiết).
Do đó \(\Delta AMN\) cân tại A, suy ra \(\widehat{M_1}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A_2}}{2}.\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{B_1}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A_1}}{2}.\)
Mặt khác \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat{B_1}=\widehat{M_1}.\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.
Vậy tứ giác MNBC là hình thang (1)
Mặt khác AB = AC; AM = AN.
Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.
\(\)
6. Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao là BE và CD (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
Giải
Xét \(\Delta BEC\) vuông tại E và \(\Delta CDB\) vuông tại D, ta có:
BC là cạnh chung;
\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
Do đó \(\Delta BEC = \Delta CDB\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng).
Mà AC = AB nên AC – EC = AB – BD, hay AE = AD.
Do đó \(\Delta ADE\) cân tại A suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A_2}}{2}\) (1)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A_2}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}.\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC.
Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.
Hình thang BDEC có \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) nên là hình thang cân.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2. Tứ giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4. Hình bình hành – Hinh thoi
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
