Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài \(3\). Đạo hàm cấp hai trang \(59\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{2x + 3}\);
\(b)\) \(y = \log_3 x\);
\(c)\) \(y = 2^x\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{2x + 3}\)

\(\Rightarrow y’ = \ – \ \displaystyle \frac{2}{(2x + 3)^2}\)

\(\Rightarrow y” = \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{(2x + 3)^2}\right)’ = (\ – \ 2). \displaystyle \frac{\ – \ 2. (2x + 3). 2}{(2x + 3)^4} = \displaystyle \frac{8}{(2x + 3)^4}\)

\(b)\) \(y = \log_3 x\)

\(\Rightarrow y’ = (\log_3 x)’ = \displaystyle \frac{1}{x \ln 3}\)

\(\Rightarrow y” = \left(\displaystyle \frac{1}{x \ln 3}\right)’ = \ – \ \displaystyle \frac{\ln 3}{(x \ln 3)^2} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{x^2 \ln 3}\)

\(c)\) \(y = 2^x\)

\(\Rightarrow y’ = (2^x)’ = 2^x. \ln 2\)

\(\Rightarrow y” = (2^x. \ln 2)’ = \ln 2. 2^x. ln 2 = 2^x. (\ln 2)^2\)

\(\)

Bài \(2\). Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = 3x^2 \ – \ 4x + 5\) tại điểm \(x_0 = \ – \ 2\);
\(b)\) \(y = \log_3 (2x + 1)\) tại điểm \(x_0 = 3\);
\(c)\) \(y = e^{4x + 3}\) tại điểm \(x_0 = 1\);
\(d)\) \(y = \sin{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\) tại điểm \(x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{6}\);
\(e)\) \(y = \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\) tại điểm \(x_0 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = 3x^2 \ – \ 4x + 5\)

\(\Rightarrow y’ = 3. 2x \ – \ 4 = 6x \ – \ 4\)

\(\Rightarrow y” = 6\)

Tại \(x_0 = \ – \ 2\) Suy ra:

\(y”(\ – \ 2) = 6\)

\(b)\) \(y = \log_3 (2x + 1)\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{2}{(2x + 1). \ln 3}\)

\(\Rightarrow y” = \left(\displaystyle \frac{2}{(2x + 1). \ln 3}\right)’ = (\ – \ 2). \displaystyle \frac{[(2x + 1). \ln 3]’}{[(2x + 1). ln 3]^2}\)

\(= (\ – \ 2). \displaystyle \frac{2\ln 3}{[(2x + 1). \ln 3]^2} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{(2x + 1)^2. \ln 3}\)

Tại \(x_0 = 3\) suy ra:

\(y”(3) = \ – \ \displaystyle \frac{4}{(2. 3 + 1)^2. \ln 3} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{49 \ln 3}\)

\(c)\) \(y = e^{4x + 3}\)

\(\Rightarrow y’ = 4. e^{4x + 3}\)

\(\Rightarrow y” = 4. 4e^{4x + 3} = 16e^{4x + 3}\)

Tại \(x = 1\) suy ra:

\(y”(1) = 16. e^{4. 1 + 3} = 16. e^7\)

\(d)\) \(y = \sin{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

\(\Rightarrow y’ = 2\cos{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

\(\Rightarrow y” = \ – \ 4. \sin{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

Tại \(x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{6}\) suy ra:

\(y”(\displaystyle \frac{\pi}{6}) = \ – \ 4. \sin{\left(2. \displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = (\ – \ 4). \sin{\displaystyle \frac{2\pi}{3}} = \ – \ 2 \sqrt{3}\)

\(e)\) \(y = \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)

\(\Rightarrow y’ = \ – \ 3. \sin{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)

\(\Rightarrow y” = (\ – \ 3). 3. \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \ – \ 9. \cos{\left(3x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)

Tại \(x_0 = 0\) suy ra:

\(y”(0) = (\ – \ 9). \cos{\left(3. 0 \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

\(\)

Bài \(3\). Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình \(s = \displaystyle \frac{1}{2} gt^2\), trong đó \(g\) là gia tốc rơi tự do, \(g = 9,8 m/s^2\).
\(a)\) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t_0 = 2 (s)\).
\(b)\) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t_0 = 2 (s)\).

Trả lời:

\(a)\) Vận tốc của vật là:

\(v(t) = s’ = 2. \displaystyle \frac{1}{2}. g. t = gt\)

Suy ra \(v(2) = 9,8. 2 = 19,6\) (m/s)

\(b)\) Gia tốc của vật là:

\(a(t) = v'(t) = g = 9,8 (m/s^2)\)

Vậy gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t_0 = 2s\) là \(9,8 m/s^2\)

\(\)

Bài \(4\). Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = t^3 \ – \ 3t^2 + 8t + 1\), trong đó \(t > 0, t\) tính bằng giây và \(s(t)\) tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm:
\(a)\) Tại thời điểm \(t = 3 s\);
\(b)\) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được \(7 m\).

Trả lời:

Vận tốc tức thời tại thời điểm \(t\) là:

\(v (t) = s'(t) = 3t^2 \ – \ 6t + 8\)

Gia tốc tức thời tại thời điểm \(t\) là:

\(a (t) = v′ (t) = 6t \ – \ 6\)

\(a)\) Tại thời điểm \(t = 3s\) ta có:

Vận tốc tức thời của chất điểm là:

\(v(3) = 3. 3^2 \ – \ 6. 3 + 8 = 17 (m/s)\)

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

\(a(3) = 6. 3 \ – \ 6 = 12 (m/s^2)\)

\(b)\) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được \(7\) m ta có:

\(t^3 \ – \ 3t^2 + 8t + 1 = 7\)

\(\Leftrightarrow t^3 \ – \ 3t^2 + 8t \ – \ 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow t = 1\)

Ứng với \(t = 1s\) thì:

Vận tốc tức thời là:

\(v (1) = 3. 1^2 \ – \ 6. 1 + 8 = 5 (m/s)\)

Gia tốc tức thời là:

\(a (1) = 6. 1 \ – \ 6 = 0 (m/s^2)\)

\(\)

Bài \(5\). Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình \(7\), có phương trình chuyển động \(x = 4\sin t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét.
\(a)\) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t\) giây.
\(b)\) Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t = \displaystyle \frac{2\pi}{3} (s)\). Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?