Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương \(VII\) trang \(76\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho \(u = u(x), v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(A.\) \((uv)’ = u’v’\).
\(B.\) \((uv)’ = uv’\).
\(C.\) \((uv)’ = u’v\).
\(D.\) \((uv)’ = u’v + uv’\).

Trả lời:

Ta có: \((uv)’ = u’v + uv’\)

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(2\). Cho \(u = u(x), v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’}{v’}\) với \(v = v(x) \neq 0, v’ = v'(x) \neq 0\).
\(B.\) \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’v \ – \ uv’}{v}\) với \(v = v(x) \neq 0\).
\(C.\) \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’v \ – \ uv’}{v^2}\) với \(v = v(x) \neq 0\).
\(D.\) \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’v \ – \ uv’}{v’}\) với \(v = v(x) \neq 0, v’ = v'(x) \neq 0\).

Trả lời:

Ta có: \(\left(\displaystyle \frac{u}{v}\right)’ = \displaystyle \frac{u’v \ – \ uv’}{v^2}\) với \(v = v(x) \neq 0\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = (x^2 + 2x)(x^3 \ – \ 3x)\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{\ – \ 2x + 5}\);
\(c)\) \(y = \sqrt{4x + 5}\);
\(d)\) \(y = \sin{x} \cos{x}\);
\(e)\) \(y = xe^x\);
\(g)\) \(y = \ln (e^x + 1)\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = (x^2 + 2x)(x^3 \ – \ 3x)\)

\(\Rightarrow y’ = (2x + 2)(x^3 \ – \ 3x) + (x^2 + 2x)(3x^2 \ – \ 3)\)

\(= 2x^4 \ – \ 6x^2 + 2x^3 \ – \ 6x + 3x^4 \ – \ 3x^2 + 6x^3 \ – \ 6x\)

\(= 5x^4 + 8x^3 \ – \ 9x^2 \ – \ 12x\)

\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{\ – \ 2x + 5}\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{2}{(\ – \ 2x + 5)^2}\)

\(c)\) \(y = \sqrt{4x + 5}\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{4}{2\sqrt{4x + 5}}\)

\(d)\) \(y = \sin{x} \cos{x}\)

\(\Rightarrow y’ = \cos{x}. \cos{x} + \sin{x}. (\ – \ \sin{x})\)

\(= \cos^2{x} \ – \ \sin^2{x} = \cos{2x}\)

\(e)\) \(y = xe^x\)

\(\Rightarrow y’ = e^x + xe^x\)

\(g)\) \(y = \ln (e^x + 1)\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{e^x}{e^x + 1}\)

\(\)

Bài \(4\). Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x^4 \ – \ 3x^3 + 5x^2\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2}{3 \ – \ x}\);
\(c)\) \(y = \sin{2x} \cos{x}\);
\(d)\) \(y = e^{\ – \ 2x + 3}\);
\(e)\) \(y = \ln (x + 1)\);
\(g)\) \(y = \ln (e^x + 1)\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = 2x^4 \ – \ 3x^3 + 5x^2\)

\(\Rightarrow y’ = 2. 4x^3 \ – \ 3. 3x^2 + 5. 2x\)

\(= 8x^3 \ – \ 9x^2 + 10x\)

\(\Rightarrow y” = 8. 3x^2 \ – \ 9. 2x + 10 = 24x^2 \ – \ 18x + 10\)

\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{2}{3 \ – \ x}\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{2}{(3 \ – \ x)^2}\)

\(\Rightarrow y” = \displaystyle \frac{4. (3 \ – \ x)}{(3 \ – \ x)^2} = \displaystyle \frac{4}{(3 \ – \ x)^3}\)

\(c)\) \(y = \sin{2x} \cos{x}\)

\(\Rightarrow y’ = 2\cos{2x} \cos{x} + \sin{2x}. (\ – \ sin{x}) = 2\cos{2x} \cos{x} \ – \ \sin{x} \sin{2x}\)

\(\Rightarrow y” = 2. [\ – \ 2\sin{2x} \cos{x} + \cos{2x}. (\ – \ \sin{x})] \ – \ [\cos{x} \sin{2x} + 2\sin{x}\cos{2x}]\)

\(= \ – \ 4 \sin{2x} \cos{x} \ – \ 2 \sin{x} \cos{2x} \ – \ \cos{x} \sin{2x} \ – \ 2\sin{x} \cos{2x}\)

\(= \ – \ 5\cos{x} \sin{2x} \ – \ 4\sin{x} \cos{2x}\)

\(d)\) \(y = e^{\ – \ 2x + 3}\)

\(\Rightarrow y’ = \ – \ 2. e^{\ – \ 2x + 3}\)

\(\Rightarrow y” = 4. e^{\ – \ 2x + 3}\)

\(e)\) \(y = \ln (x + 1)\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{1}{x + 1}\)

\(\Rightarrow y” = \ – \ \displaystyle \frac{1}{(x + 1)^2}\)

\(g)\) \(y = \ln (e^x + 1)\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{e^x}{e^x + 1}\)

\(\Rightarrow y” = \displaystyle \frac{e^x. (e^x + 1) \ – \ e^x. e^x}{(e^x + 1)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{e^x}{e^x + 1} \ – \ \displaystyle \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{e^{x}}{(e^x + 1)^2}\)

\(\)

Bài \(5\). Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức \(v(t) = 2t + t^2\), trong đó \(t > 0, t\) tính bằng giây và \(v(t)\) tính bằng \(m/s\). Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:
\(a)\) Tại thời điểm \(t = 3 (s)\);
\(b)\) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng \(8 m/s\).

Trả lời:

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\) là:

\(a(t) = v'(t) = 2 + 2t\)

\(a)\) Tại thời điểm \(t = 3s\), gia tốc tức thời của chất điểm là:

\(a(3) = 2 + 2. 3 = 8 (m/s^2)\)

\(b)\) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng \(8 m/s\) ta có:

\(2t + t^2 = 8\)

\(\Leftrightarrow t^2 + 2t \ – \ 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} t = 2 \text{ (Thoả mãn) }\\t = \ – \ 4 \text{ (Loại) } \end{array} \right. \end{equation}\)

Ứng với \(t = 2\) suy ra:

\(a(2) = 2. 2 + 2 = 6 (m/s^2)\)

\(\)

Bài \(6\). Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4 \cos{\left(\pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét.
\(a)\) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t(s)\).
\(b)\) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng \(0\).

Trả lời:

\(a)\) Vận tốc tức thời của con lắc là:

\(v(t) = x’ = \ – \ 4\pi \sin{\left(\pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)}\)

Gia tốc tức thời của con lắc là:

\(a(t) = v'(t) = \ – \ 4 \pi^2 \cos{\left(\pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)}\)

\(b)\) Tại thời điểm, vận tốc tức thời của con lắc bằng \(0\) ta có:

\(v(t) = \ – \ 4\pi \sin{\left(\pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(\pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = 0\)

\(\Leftrightarrow \pi t \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3} = 0\)

\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Ứng với \(t = \displaystyle \frac{2}{3}\) ta có:

\(a\left(\displaystyle \frac{2}{3}\right) = \ – \ 4\pi^2 \cos{\left(\pi. \displaystyle \frac{2}{3} \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = \ – \ 4 \pi^2\)

Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII Bài tập cuối chương VII

Xem bài giải trước: Bài 3 – Đạo hàm cấp hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Hai đường thẳng vuông góc
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech