Bài 3. Cấp số nhân

Bài \(3\). Cấp số nhân trang \(57\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\(a)\) \(u_n = 3(\ – \ 2)^n\);
\(b)\) \(u_n = (\ – \ 1)^{n + 1} .7^n\);
\(c)\) \(\begin{equation} \left \{\begin{array}{II}u_n = 1\\u_{n + 1} = 2 u_n + 3 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) \(u_n = 3. (\ – \ 2)^n = \ – \ 6. (\ – \ 2)^{n \ – \ 1}\)

Dãy số trên là cấp số nhân với công bội \(q = \ – \ 2\).

\(b)\) \(u_n = (\ – \ 1)^{n + 1}. 7^n = (\ – \ 7)^n. (\ – \ 1) = 7. (\ – \ 7)^{n \ – \ 1}\)

Dãy số trên là cấp số nhân với công bội \(q = \ – \ 7\)

\(c)\) Dãy số đã cho không phải cấp số nhân.

\(\)

Bài \(2\). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(\left \{\begin{matrix}u_5 \ – \ u_1 = 15\\u_4 \ – \ u_2 = 6 \end{matrix} \right.\)
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{ \begin{array}{II}u_1 \ – \ u_3 + u_5 = 65\\u_1 + u_7 = 325 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\left \{\begin{matrix}u_5 \ – \ u_1 = 15\\u_4 \ – \ u_2 = 6 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1.q^4 \ – \ u_1 = 15\\u_1.q^3 \ – \ u_1.q = 6 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1(q^4 \ – \ 1) = 15\\u_1(q^3 \ – \ q) = 6 \end{array}\right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{q^4 \ – \ 1}{q^3 \ – \ q} = \displaystyle \frac{15}{6}\\u_1(q^3 \ – \ q) = 6\end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}q = 2\\u_1 = 1\end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = 2\)

\(b)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_1 \ – \ u_3 + u_5 = 65\\u_1 + u_7 = 325 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_1 \ – \ u_1.q^2 + u_1.q^4 = 65\\u_1 + u_1.q^6 = 325 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1(q^4 \ – \ q^2 +1) = 65\\u_1(q^6 + 1) = 325 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{q^6 + 1}{q^4 \ – \ q^2 + 1} = \displaystyle \frac{325}{65} = 5\\u_1(q^6 + 1) = 325 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}q = 2\\u_1 = 5 \end{matrix} \right.\)

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 5\) và công bội \(q = 2\).

\(\)

Bài \(3\). \(a)\) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp \(8\) lần số đo của góc nhỏ nhất.
\(b)\) Viết sáu số xen giữa các số \(\ – \ 2\) và \(256\) để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ \(15\) là bao nhiêu?

Trả lời:

\(a)\) Gọi số đo bốn góc của tứ giác đó lần lượt là:

\(u_1; u_1. q; u_1. q^2; u_1. q^3\).

Ta có: \(u_1. q^3 = 8 u_1\)

\(\Rightarrow q = 2\)

Lại có: \(u_1 + 2 u_1 + 4u_1 + 8u_1 = 360\)

\(\Rightarrow u_1 = 24\)

Vậy số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là: \(24^o; 48^o; 96^o; 192^o\).

\(b)\) Theo bài ra ta có: \(u_1 = \ – \ 2; u_8 = 256\)

Mà \(u_8 = u_1. q^7 = (\ – \ 2). q^7 = 256\)

\(\Rightarrow q = \ – \ 2\)

Suy ra \(u_{15} = u_1. q^{14} = (\ – \ 2). (\ – \ 2)^{14} = \ – \ 32768\)

\(\)

Bài \(4\). Ba số \(\displaystyle \frac{2}{b \ – \ a}, \displaystyle \frac{1}{b}, \displaystyle \frac{2}{b \ – \ c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Trả lời:

Vì ba số \(\displaystyle \frac{2}{b \ – \ a}, \displaystyle \frac{1}{b}, \displaystyle \frac{2}{b \ – \ c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(+)\) \(\displaystyle \frac{1}{b} = d + \displaystyle \frac{2}{b \ – \ a}\)

\(\Leftrightarrow b \ – \ a = b( 2 + bd \ – \ ad)\)

\(\Leftrightarrow b(bd + 1) = a( bd \ – \ 1)\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{b}{a} = \displaystyle \frac{bd \ – \ 1}{bd + 1}\) \((1)\)

\(+)\) \(\displaystyle \frac{2}{b \ – \ c} = d + \displaystyle \frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow 2b = (b \ – \ c) (1 + bd)\)

\(\Leftrightarrow 2b = b + b^2d \ – \ c \ – \ c. bd\)

\(\Leftrightarrow b(bd \ – \ 1) = c(bd + 1)\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{c}{b} = \displaystyle \frac{bd \ – \ 1}{bd + 1}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(\displaystyle \frac{b}{a} = \displaystyle \frac{c}{b}\) (\(= \displaystyle \frac{bd + 1}{bd \ – \ 1}\))

Suy ra \(a, b, c\) lần lượt lập thành cấp số nhân với công bội \(q = \displaystyle \frac{bd \ – \ 1}{bd + 1}\)

\(\)

Bài \(5\). Tính các tổng sau:
\(a)\) \(S_n = 1 + \displaystyle \frac{1}{3} + \displaystyle \frac{1}{3^2} + … + \displaystyle \frac{1}{3^n}\);
\(b)\) \(S_n = 9 + 99 + 999 + … + \underbrace{99…9}_{n}\).

Trả lời:

\(a)\) \(S_n = 1 + \displaystyle \frac{1}{3} + \displaystyle \frac{1}{3^2} + … + \displaystyle \frac{1}{3^n}\)

\(= \displaystyle \frac{n\left[1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right]}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}}\)

\(= \displaystyle \frac{3n\left[1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right]}{2}\)

\(b)\) \(S_n = 9 + 99 + 999 + … + \underbrace{99…9}_{n}\)

\(\Rightarrow S_n = (10 \ – \ 1) + (10^2 \ – \ 1) + (10^3 \ – \ 1) + … \)

\(+ (10^n \ – \ 1)\)

\(= (10 + 10^2 + 10^3 + … + 10^n) \ – \ n. 1\)

\(= \displaystyle \frac{n (1 \ – \ 10^n)}{1 \ – \ 10} \ – \ n\)

\(= \displaystyle \frac{n(10^n \ – \ 1)}{9} \ – \ n\)

\(\)

Bài \(6\). Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau \(20\) phút.

Trả lời:

Vì sau mỗi phút, số lượng vi khuẩn lại tăng lên gấp đôi nên ta có số lượng vi khuẩn sinh ra trong mỗi phút lập thành cấp số nhân:

\(u_n = 1; 2; 2^2; 2^3;….; 2^n\)

Vậy tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau \(20\) phút là:

\(S_{20} = \displaystyle \frac{20. (1 \ – \ 2^{20})}{1 \ – \ 2} = 20971500\) (vi khuẩn)

\(\)

Bài \(7\). Giả sử một thành phố có dân số năm \(2022\) là khoảng \(2,1\) triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là \(0,75 %\)
\(a)\) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm \(2032\).
\(b)\) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào, dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm \(2022\)?

Trả lời:

Dân số của thành phố mỗi năm kể từ năm \(2022\) lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + 0,75% = 1,0075\)

Khi đó, dân số của thành phố vào năm \(n\) là:

\(u_n = 2,1. 1,0075^{n \ – \ 2022}\)

\(a)\) Dân số của thành phố vào năm \(2032\) là:

\(u_{2032} = 2,1. 1,0075^{2032 \ – \ 2022} = 2,1. 1,0075^10 = 2,26\) (triệu người)

\(b)\) Khi dân số tăng gấp đôi dân số năm \(2022\) thì ta có:

\(u_n = 2,1. 1,0075^{n \ – \ 2022} = 2 u_{2022}\)

\(\Leftrightarrow 1,0075^{n \ – \ 2022} = 2\)

\(\Leftrightarrow n = 2115\)

Vậy đến năm \(2115\) thì dân số thành phố gấp đôi so với năm \(2022\)

\(\)

Bài \(8\). Trong trò chơi mạo hiểm nhảy Bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo ngược lên \(60%\) chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên \(9\)m.
\(a)\) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.
\(b)\) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong \(5\) lần nảy đầu.