Bài 2. Tứ giác

Chương 5 – Bài 2. Tứ giác trang 90 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

6. Tính các số đo \(x,\ y,\ z\) ở các hình \(6a,\ 6b,\ 6c:\)

Giải

a) Trong tứ giác \(ABCD,\) ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^o.\)

Do đó: \(\widehat {DAB} = 360^o-\left( {\widehat B + \widehat C + \widehat D} \right)\) \(= 360^o-\left( {120^o + 80^o + 50^o } \right) = 110^o.\)

Ta có: \(\widehat {DAB} + x = 180^o \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(x = 180^o-\widehat {DAB}= 180^o-110^o = 70^o.\)

b) Ta có: \(\widehat {GHI} + 65^o = 180^o \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {GHI} = 115^o.\)

Trong tứ giác \(GHIK,\) ta có: \(\widehat G + \widehat {GHI} + \widehat I + \widehat K = 360^o.\)

Do đó: \(90^o + 115^o + 90^o + y = 360^o \) hay \(y + 295^o = 360^o.\) Suy ra \(y = 65^o.\)

c) Ta có: \(\widehat {MNP} + 60^o = 180^o \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {MNP} = 120^o.\)

Ta lại có: \(\widehat {NPQ} + 130^o = 180^o \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {NPQ} = 50^o.\)

Trong tứ giác \(MNPQ,\) ta có: \(\widehat M + \widehat {MNP} + \widehat {NPQ} + \widehat Q = 360^o.\)

Do đó \(90^o + 120^o + 50^o + z = 360^o \) hay \(z + 260^o = 360^o.\) Suy ra \(z = 100^o.\)

\(\)

7. Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác. Chứng minh tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD ở Hình 7 (tại mỗi đỉnh chỉ nhọn một góc ngoài):

\(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}=360^o.\)

Giải

Trong tứ giác \(ABCD,\) ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = 360^o.\)

Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {{A_1}} = \widehat {ABC} + \widehat {{B_1}}\) \(= \widehat {BCD} + \widehat {{C_1}} = \widehat {CDA} + \widehat {{D_1}} = 180^o \) (các cặp góc kề bù).

Suy ra \(\left( {180^o-\widehat {{A_1}}} \right) + \left( {180^o-\widehat {{B_1}}} \right)\) \(+ \left( {180^o-\widehat {{C_1}}} \right) + \left( {180^o-\widehat {{D_1}}} \right) = 360^o.\)

Hay \(720^o-\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 360^o.\)

Vậy \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 360^o.\)

\(\)

8. a) Cho tứ giác ABCD có AB//CD, \(\widehat{B} =135^o,\ \widehat{D} =70^o,\ \widehat{ACB} =25^o\) (Hình 8a). Tính số đo góc DAC.

b) Cho tứ giác GHIK có \(\widehat{KGH} =\widehat{K} =90^o,\ \widehat{I} =65^o.\) Trên HI lấy điểm E sao cho \(\widehat{EGH} =25^o\) (Hình 8b). Tính số đo góc GEI.

c) Cho tứ giác MNPQ có PM là tia phân giác của góc NPQ, \(\widehat {QMN} = 110^o ,\ \widehat N = 120^o,\ \widehat Q = 60^o\) (Hình 8c). Tính các số đo góc NPM, MPQ, QMP.

Giải

a) Trong tam giác ABC, ta có: \(\widehat {BAC} = 180^o-\left( {\widehat B + \widehat {BCA}} \right) = 20^o.\)

Do AB // CD nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 20^o \) (hai góc so le trong).

Trong tam giác ACD, ta có: \(\widehat {DAC} = 180^o-\left( {\widehat {ACD} + \widehat D} \right) = 90^o.\)

b) Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat H = 360^o-\left( {\widehat {KGH} + \widehat I + \widehat K} \right) = 115^o.\)

Trong tam giác GHE, ta có: \(\widehat {HEG} = 180^o-\left( {\widehat {EGH} + \widehat H} \right) = 40^o.\)

Vậy \(\widehat {GEI} = 180^o-\widehat {HEG} = 140^o.\)

c) Trong tứ giác MNPQ, ta có: \(\widehat {NPQ} = 360^o-\left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 70^o.\)

Do PM là tia phân giác của góc \(NPQ\) nên \(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = \displaystyle\frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = 35^o.\)

Trong tam giác MPQ, ta có: \(\widehat {QMP} = 180^o-\left( {\widehat {MPQ} + \widehat Q} \right) = 85^o.\)

\(\)

9. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác ABCD.

Xét tam giác OAB, ta có: OA + OB > AB.

Xét tam giác OCD, ta có: OC + OD > CD.

Suy ra OA + OB + OC + OD > AB + CDHay AC + BD > AB + CD.

Tương tự, ta cũng chứng minh được AC + BD > AD + BC.

Vậy: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

\(\)

10. Thả diều là một trò chơi dân gian của nhiều trẻ em ở Việt Nam cũng như ở nhiều nước trên thế giới. Một tứ giác ABCD với AB = AD, BC = CD gọi là hình “chiếc diều” (Hình 9).

a) So sánh \(\widehat{B}\) và \(\widehat{D}.\)

b) Tìm mối liên hệ giữa hai đường chéo AC và BD.