Bài \(2\). Các quy tắc tính đạo hàm trang \(42\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x^3 \ – \ \displaystyle \frac{x^2}{2} + 4x \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{\ – \ 2x + 3}{x + 4}\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 2x + 3}{x \ – \ 1}\);
\(d)\) \(y = \sqrt{5}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(y’ = \left(2x^3 \ – \ \displaystyle \frac{x^2}{2} + 4x \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\right)’\)
\(= 3. 2x^2 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 2x + 4\)
\( = 6x^2 \ – \ x + 4\)
\(b)\) \(y’ = \left(\displaystyle \frac{\ – \ 2x + 3}{x + 4}\right)’\)
\(= \displaystyle \frac{(\ – \ 2x + 3)’ (x + 4) \ – \ (\ – \ 2x + 3)(x + 4)’}{(x + 4)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 2(x + 4) \ – \ (\ – \ 2x + 3). 1}{(x + 4)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 2x \ – \ 8 + 2x \ – \ 3}{(x + 4)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 11}{(x + 2)^2}\)
\(c)\) \(y’ = \left(\displaystyle \frac{x^2 \ – \ 2x + 3}{x \ – \ 1}\right)’\)
\(= \displaystyle \frac{(x^2 \ – \ 2x + 3)'(x \ – \ 1) \ – \ (x^2 \ – \ 2x + 3)(x \ – \ 1)’}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{(2x \ – \ 2)(x \ – \ 1) \ – \ (x^2 \ – \ 2x + 3)}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{2x^2 \ – \ 4x + 2 \ – \ x^2 + 2x \ – \ 3}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 2x \ – \ 1}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{(x \ – \ 1)^2 \ – \ 2}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(= 1 \ – \ \displaystyle \frac{2}{(x \ – \ 1)^2}\)
\(d)\) \(y’ = (\sqrt{5})’ = \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}\)
\(\)
Bài \(2\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sin{3x}\);
\(b)\) \(y = \cos^3{2x}\);
\(c)\) \(y = \tan^2{x}\);
\(d)\) \(y = \cot{4 \ – \ x^2}\).
Trả lời:
\(a)\) Đặt \(u = 3x\) thì \(y = \sin{u}\)
Ta có: \(u'(x) = 3\) và \(y'(u) = (\sin{u})’ = \cos{u}\)
Suy ra \(y'(x) = y'(u). u'(x) = cos{u}. 3 = 3\cos{u} = 3\cos{3x}\)
\(b)\) Đặt \(u = 2x\) thì \(y = \cos^3{u}\)
Ta có: \(u'(x) = 2\) và \(y'(u) = 3\cos^2{u} (\cos{u})’ = \ – \ 3\sin{u} \cos^2{u}\)
Suy ra \(y'(x) = y'(u). u'(x) = \ – \ 6\sin{u}\cos^2{u}\)
\(= \ – \ 3\sin{2u}\cos{u} = \ – \ 3 \sin{4x} \cos{2x}\)
\(c)\) Ta có: \(\tan^2{x} = 2 \tan{x}. (\tan{x})’\)
\(= 2\tan{x}. \displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}\)
\(= \displaystyle \frac{2\tan{x}}{\cos^2{x}}\)
\(d)\) Đặt \(u = 4 \ – \ x^2\) thì \(y = \cot{u}\)
Ta có: \(u'(x) = \ – \ 2x\) và \(y'(u) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{u}}\)
Suy ra: \(y'(x) = y'(u). u'(x) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{u}}. (\ – \ 2x)\)
\(= \displaystyle \frac{2x}{\sin^2{(4 \ – \ x^2)}}\)
\(\)
Bài \(3\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = (x^2 \ – \ x). 2^x\);
\(b)\) \(y = x^2. \log_{3} x\);
\(c)\) \(y = e^{3x + 1}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y’ = [(x^2 \ – \ x). 2^x]’ = (x^2 \ – \ x)’ . 2^x + (x^2 \ – \ x). (2^x)’\)
\(= (2x \ – \ 1). 2^x + (x^2 \ – \ x). 2^x. \ln a\)
\(= 2^x(2x \ – \ 1 + x^2 ln a \ – \ x ln a)\)
\(b)\) \(y = (x^2. \log_{3} x)’ = (x^2)’. \log_{3} x + x^2. (\log_{3} x)’\)
\(= 2x \log_{3} x + x^2. \displaystyle \frac{1}{x \ln 3}\)
\(= 2x \log_{3}x + \displaystyle \frac{x}{\ln 3}\)
\(c)\) \(y’ = (e^{3x + 1})’ = (3x + 1)’. e^{3x + 1}\)
\(= 3 e^{3x + 1}\)
\(\)
Bài \(4\). Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x^4 \ – \ 5x^2 + 3\);
\(b)\) \(y = xe^x\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = 2x^4 \ – \ 5x^2 + 3\)
Ta có: \(y'(x) = 2. 4x^3 \ – \ 5. 2x = 8x^3 \ – \ 10x\)
Suy ra \(y”(x) = 8. 3x^2 \ – \ 10 = 24x^2 \ – \ 10\)
\(b)\) \(y = xe^x\)
Ta có: \(y'(x) = x’e^x + x(e^x)’ = (x + 1). e^x\)
Suy ra: \(y”(x) = (x + 1)’e^x + (x + 1)(e^x)’\)
\(= e^x + (x + 1) e^x = (x + 2)e^x\)
\(\)
Bài \(5\). Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ \(0\) đến \(36\) tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số \(w(t) = 0,000758t^3 \ – \ 0,0596t^2 + 1,82t + 8,15\), trong đó \(t\) được tính bằng tháng và \(w\) được tính bằng pound (nguồn: http://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái thời điểm \(10\) tháng tuổi.
Trả lời:
Ta có: \(w(t) = 0,000758t^3 \ – \ 0,0596t^2 + 1,82t + 8,15\)
Suy ra \(w'(t) = 0,000758.3t^2 \ – \ 0,0596. 2t + 1,82\)
\(= 0,002274t^2 \ – \ 0,1192t + 1,82\)
Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái thời điểm \(10\) tháng tuổi là:
\(w'(10) = 0,002274. 10^2 \ – \ 0,1192. 10 + 1,82\)
\(= 0,8554\) (pound/tháng)
\(\)
Bài \(6\). Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la để sản xuất \(x\) mặt hàng là \(C(x) = \sqrt{5x^2 + 60}\) và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong \(t\) tháng kể từ nay theo hàm số \(x(t) = 20t + 40\). Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?
Trả lời:
Ta có: \(C(x) = \sqrt{5x^2 + 60}\)
Mà \(x(t) = 20t + 40\)
Suy ra \(C(t) = \sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}\) là hàm số biểu diễn chi phí sau \(t\) tháng kể từ khi công ty lên kế hoạch nâng sản lượng.
\(\Rightarrow C'(t) = (\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60})’\)
\(= C'(x). x'(t) = \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5x^2 + 60}}. 20\)
\(= \displaystyle \frac{10}{\sqrt{5x^2 + 60}} = \displaystyle \frac{10}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}}\)
Với \(t = 4\) thì \(C'(t) = \displaystyle \frac{10}{\sqrt{5(20. 4 + 40)^2 + 60}} = 0,04\) (nghìn đô la/ tháng)
Vậy sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó, chi phí sẽ tăng \(0,04\) nghìn đô la/tháng.
\(\)
Bài \(7\). Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức \(s(t) = 0,81t^2\), trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao \(200\) m phía trên mặt trăng. Tại thời điểm \(t = 2\) sau khi thả vật đó, tính:
\(a)\) Quãng đường vật đã rơi;
\(b)\) Gia tốc của vật.
Trả lời:
\(a)\) Tại \(t = 2\) ta có:
\(s(t) = 0,81 t^2 = 0,81. 2^2 = 3,24\) (m)
\(b)\) Gọi \(a(t)\) là gia tốc của vật sau thời gian \(t\)
Khi đó ta có:
\(a(t) = s”(t) = [s'(t)]’= 1,62\) (\(m/s^2\))
Suy ra gia tốc rơi tự do của vật trên Mặt trăng là không đổi và bằng \(1,62\) (\(m/s^2\))
Vậy tại thời điểm \(t = 2\) gia tốc của vật là \(1,62 m/s^2\)
Bài 2. Các quy tắc tính Bài 2. Các quy tắc tính Bài 2. Các quy tắc tính
Xem bài giải trước: Bài 1 – Đạo hàm
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VII
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.