Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài \(1\). Giới hạn của dãy số trang \(59\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho hai dãy số \((u_n), (v_n)\) với \(u_n = 3 + \displaystyle \frac{1}{n}, v_n = 5 \ – \ \displaystyle \frac{2}{n^2}\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim u_n, \lim v_n\).
\(b)\) \(\lim (u_n + v_n), \lim (u_n \ – \ v_n), \lim (u_n. v_n), \lim \displaystyle \frac{u_n}{v_n}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim u_n = \lim \left(3 + \displaystyle \frac{1}{n}\right) = \lim 3 + \lim \displaystyle \frac{1}{n}\)

\(= 3 + 0 = 3\)

\(\lim v_n = \lim \left(5 \ – \ \displaystyle \frac{2}{n^2}\right) = \lim 5 \ – \ \lim \displaystyle \frac{2}{n^2}\)

\(= 5 \ – \ 0 = 5\)

\(b)\) \(\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n = 3 + 5 = 8\)

\(\lim (u_n \ – \ v_n) = \lim u_n \ – \ \lim v_n = 3 \ – \ 5 = \ – \ 2\)

\(\lim (u_n. v_n) = \lim u_n. \lim v_n = 3. 5 = 15\)

\(\lim \displaystyle \frac{u_n}{v_n} = \displaystyle \frac{\lim u_n}{\lim v_n} = \displaystyle \frac{3}{5}\)

\(\)

Bài \(2\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim \displaystyle \frac{5n + 1}{2n}\);
\(b)\) \(\lim \displaystyle \frac{6n^2 + 8n + 1}{5n^2 + 3}\);
\(c)\) \(\lim \displaystyle \frac{\sqrt{n^2 + 5n + 3}}{6n + 2}\);
\(d)\) \(\lim \left(2 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3^n}\right)\);
\(e)\) \(\lim \displaystyle \frac{3^n + 2^n}{4. 3^n}\);
\(g)\) \(\lim \displaystyle \frac{2 + \frac{1}{n}}{3^n}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim \displaystyle \frac{5n + 1}{2n} = \lim \left(\displaystyle \frac{5}{2} + \displaystyle \frac{1}{2n}\right)\)

\(= \lim \displaystyle \frac{5}{2} + \lim \displaystyle \frac{1}{2n} = \displaystyle \frac{5}{2}\).

\(b)\) \(\lim \displaystyle \frac{6n^2 + 8n + 1}{5n^2 + 3} = \lim \displaystyle \frac{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{3}{n^2}}\)

\(= \displaystyle \frac{\lim \left(6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{\lim \left(5 + \frac{3}{n^2}\right)} = \displaystyle \frac{6}{5}\).

\(c)\) \(\lim \displaystyle \frac{\sqrt{n^2 + 5n + 3}}{6n + 2} = \lim \displaystyle \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}}}{6 + \frac{2}{n}}\)

\(= \displaystyle \frac{\lim \sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}}}{\lim \left(6 + \frac{2}{n}\right)} = \displaystyle \frac{1}{6}\).

\(d)\) \(\lim \left(2 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3^n}\right) = \lim 2 \ – \ \lim \displaystyle \frac{1}{3^n} = 2 \ – \ 0 = 2\)

\(e)\) \(\lim \displaystyle \frac{3^n + 2^n}{4. 3^n} = \lim \displaystyle \frac{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}{4} = \displaystyle \frac{\lim \left[1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n\right]}{\lim 4}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(g)\) \(\lim \displaystyle \frac{2 + \frac{1}{n}}{3^n} = \displaystyle \frac{\lim \left(2 + \displaystyle \frac{1}{n}\right)}{\lim 3^n} = 0\)

\(\)

Bài \(3\). \(a)\) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\), với \(u_1 = \displaystyle \frac{2}{3}, q = \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\).
\(b)\) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(1,(6)\) dưới dạng phân số.

Trả lời:

\(a)\) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(u_1 = \displaystyle \frac{2}{3}\) và công bội \(q = \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\) là:

\(S = \lim \displaystyle \frac{\frac{2}{3}. \left[1 \ – \ \left(\ – \ \frac{1}{4}\right)^n\right]}{1 \ – \ \left(\frac{1}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}} = \displaystyle \frac{8}{15}\)

\(b)\) Ta có:

\(1,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + … \).

Dãy số \(0,6; 0,06; 0,006; …\) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 0,6\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{10}\).

Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

\(S = 0,6 + 0,06 + 0,006 + …. = \displaystyle \frac{0,6}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Suy ra \(1,(6) = 1 + \displaystyle \frac{2}{3} = \displaystyle \frac{5}{3}\)

\(\)

Bài \(4\). Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng \(1\), người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình \(3\). Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
\(a)\) Tính diện tích \(S_n\) của hình vuông được tạo thành ở bước thứ \(n\);
\(b)\) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(S_n\) là diện tích hình vuông thứ \(n\).

Ta có: \(S_1 = 1, S_2 = \displaystyle \frac{1}{2}, S_3 = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2, …\)

Ta thấy dãy \(S_n\) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{2}\) nên có công thức số hạng tổng quát là:

\(S_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\).

\(b)\) Ta có: \(|q| = |\displaystyle \frac{1}{2}| < 1\) nên dãy \((S_n)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó ta có:

\(S = 1 + \displaystyle \frac{1}{2} + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^3 + … + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \frac{1}{2}} = 2\)

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là \(2\) đvdt.

\(\)

Bài \(5\). Có \(1\) kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của cong người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã).
Gọi \(u_n\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ \(n\).
\(a)\) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
\(b)\) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\).
\(c)\) Từ kết quả câu \(b)\), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{\ – \ 6}\) gam.

Trả lời:

\(u_n\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ \(n\).

Ta có: \(u_1 = 1, u_2 = \displaystyle \frac{1}{2}, u_3 = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2, …\)

Suy ra \((u_n)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{2}\) nên có số hạng tổng quát là:

\(u_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\).

\(b)\) Ta có: \(\lim u_n = \lim \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1} = 0\)

\(c)\) Đổi \(u_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1} kg = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}. 10^3 g\)

Để chất phóng xạ bé hơn \(10^{\ – \ 6} g\) thì:

\(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}. 10^3 < 10^{\ – \ 6}\)

\(\Leftrightarrow n \geq 30\).

Vậy sau ít nhất \(30\) chu kì tương ứng \(30. 24000 = 720000\) năm thì \(1 kg\) phóng xạ này không còn độc hại với con người.

\(\)

Bài \(6\). Gọi \((C)\) là nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\),
\((C_1)\) là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\displaystyle \frac{AB}{2}\),
\((C_2)\) là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\displaystyle \frac{AB}{4}\),…
\((C_n)\) là đường gồm \(2^n\) nửa đường tròn đường kính \(\displaystyle \frac{AB}{2^n}\),… (Hình \(4\)).
Gọi \(p_n\) là độ dài của \(C_n\), \(S_n\) là diện tích hình phẳng giới hạn với \(C_n\) và đoạn thẳng \(AB\).
\(a)\) Tính \(p_n, S_n\).
\(b)\) Tìm các giới hạn của các dãy số \((p_n), (S_n)\).

Trả lời:

Ta có: \(p_n = 2^n. \displaystyle \frac{R}{2^n}. \pi = \pi. R\).

\(S_n = 2^n. \displaystyle \frac{\pi}{2}. \left(\displaystyle \frac{R}{2^n}\right)^2 = \displaystyle \frac{\pi R^2}{2}. \displaystyle \frac{1}{2^n}\).

\(b)\) Ta có:

\(\lim p_n = \pi. R\)

\(\lim S_n = \lim \left(\displaystyle \frac{\pi R^2}{2}. \displaystyle \frac{1}{2^n}\right) = 0\)

Bài 1. Giới hạn của dãy Bài 1. Giới hạn của dãy số Bài 1. Giới hạn của dãy Bài 1. Giới hạn của dãy số

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương II
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Giới hạn của hàm số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech