Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn trang \(10\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). \(x = 2\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(a)\) \(x^2 \ – \ 3x + 1 > 0\);
\(b)\) \(\ – \ 4x^2 \ – \ 3x + 5 \leq 0\);
\(c)\) \(2x^2 \ – \ 5x + 2 \leq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình ta được:

\(2^2 \ – \ 3. 2 + 1 = \ – \ 1 < 0\)

Vì vậy \(x = 2\) không là nghiệm của bất phương trình \(x^2 \ – \ 3x + 1 > 0\).

\(b)\) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình ta được: \(\ – \ 4. 2^2 \ – \ 3. 2 + 5 = \ – \ 17 < 0\)

Vậy \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 4x^2 \ – \ 3x + 5 \leq 0\).

\(c)\) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình ta được:

\(2. 2^2 \ – \ 5. 2 + 2 = 0 \leq 0\)

Vậy \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình \(2x^2 \ – \ 5x + 2 \leq 0\).

\(\)

Bài \(2\). Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai đã cho, hãy nêu tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai tương ứng.

Trả lời:

\(a)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với \(x \in \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}; 1\right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\) và \(x = 1\).

Do đó \(f(x) \geq 0\) khi \(x \in \left[\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}; 1\right]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là \(S = \left[\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}; 1\right]\).

\(b)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với mọi \(x \in \mathbb{R}\) hay \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó \(f(x) < 0\) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) < 0\) là \(S = \emptyset\).

\(c)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với \(x < 3\) hoặc \(x > 4\).

Do đó \(f(x) > 0\) khi \(x < 3\) hoặc \(x > 4\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) > 0\) là \(S = (\ – \ \infty; 3) \cup (4; +\infty)\).

\(d)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía dưới trục hoành với mọi \(x \neq \ – \ 1\)

Do đó \(f(x) < 0\) khi \(x \neq \ – \ 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) < 0\) là \(S = \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 1\}\)

\(e)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm trên trục hoành với mọi \(x \neq \displaystyle \frac{5}{2}\)

Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại điểm \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\)

Do đó \(f(x) \leq 0\) khi \(x \neq \displaystyle \frac{5}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \leq 0\) là \(S = \left\{\displaystyle \frac{5}{2}\right\}\).

\(g)\) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với \(x < \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(x > \displaystyle \frac{7}{2}\)

Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại hai điểm \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\)

Do đó \(f(x) \geq 0\) khi \(x \leq \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(x \geq \displaystyle \frac{7}{2}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{3}{2}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{7}{2}; +\infty\right)\).

\(\)

Bài \(3\). Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(a)\) \(\ – \ 9x^2 + 16x + 4 \leq 0\);
\(b)\) \(6x^2 \ – \ 13x \ – \ 33 < 0\);
\(c)\) \(7x^2 \ – \ 36x + 5 \leq 0\);
\(d)\) \(\ – \ 9x^2 + 6x \ – \ 1 \geq 0\);
\(e)\) \(49x^2 +56x + 16 > 0\);
\(g)\) \(\ – \ 2x^2 + 3x \ – \ 2 \leq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 9x^2 + 16x + 4\) có \(a = \ – \ 9 < 0\) và \(\Delta = 16^2 \ – \ 4. (\ – \ 9). 4 = 112 > 0\).

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = 2\) và \(x_2 = \ – \ \displaystyle \frac{2}{9}\)

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

\(\ – \ 9x^2 + 16x + 4 \leq 0 \) khi \(x \leq \displaystyle \frac{\ – \ 2}{9}\) và \(x \geq 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 2}{9}\right) \cup (1; +\infty)\).

\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 6x^2 \ – \ 13x \ – \ 33\) có \(a = 6 > 0\) và \(\Delta =(\ – \ 13)^2 \ – \ 4. 6. (\ – \ 33) = 961 > 0\).

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = \displaystyle \frac{11}{3}\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\)

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

\(6x^2 \ – \ 13x \ – \ 33 < 0\) khi \(\displaystyle \frac{\ – \ 3}{2} < x < \displaystyle \frac{11}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình cần tìm là \(S = \left(\displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}; \displaystyle \frac{11}{3}\right)\)

\(c)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 7x^2 \ – \ 36x + 5\) có \(a = 7 > 0\) và \(\Delta =(\ – \ 36)^2 \ – \ 4. 7. 5 = 1156 > 0\).

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{7}\) và \(x_2 = 5\)

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

\(7x^2 \ – \ 36x + 5 \leq 0\) khi \(\displaystyle \frac{1}{7} \leq x \leq 5\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình cần tìm là \(S = \left[\displaystyle \frac{1}{7}; 5\right]\)

\(d)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 9x^2 + 6x \ – \ 1\) có \(a = \ – \ 9 < 0\) và \(\Delta = 6^2 \ – \ 4. (\ – \ 9). (\ – \ 1) = 0\).

Do đó \(f(x)\) có nghiệm \(x_0 = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 6}{2. (\ – \ 9)} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

\(\ – \ 9x^2 + 6x \ – \ 1 \geq 0\) khi \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{\displaystyle \frac{1}{3}\right\}\).

\(e)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 49x^2 + 56x + 16 = (7x + 4)^2\)

Tam thức bậc hai có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 4}{7}\)

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

\(49x^2 + 56x + 16 > 0\) khi \(x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 4}{7}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{\ – \ 4}{7}\right\}\).

\(g)\) Tam thức bậc hai \(\ – \ 2x^2 + 3x \ – \ 2\) có \(a = \ – \ 2 < 0\) và \(\Delta = 3^2 \ – \ 4. (\ – \ 2). (\ – \ 2) = \ – \ 7 < 0\) nên \(\ – \ 2x^2 + 3x \ – \ 2 \leq 0 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

\(\)

Bài \(4\). Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(a)\) \(x^2 \ – \ 3x < 4\);
\(b)\) \(0 < 2x^2 \ – \ 11x \ – \ 6\);
\(c)\) \(\ – \ 2(2x + 3)^2 + 4x + 30 \leq 0\);
\(d)\) \(\ – \ 3(x^2 \ – \ 4x \ – \ 1) \leq x^2 \ – \ 8x + 28\);
\(e)\) \(2(x \ – \ 1)^2 \geq 3x^2 + 6x + 27\);
\(g)\) \(2(x + 1)^2 + 9(\ – \ x + 2) < 0\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có \(x^2 \ – \ 3x < 4 \Leftrightarrow x^2 \ – \ 3x \ – \ 4 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\) có \(a = 1 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 1. (\ – \ 4) = 25 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{3 + \sqrt{25}}{2. 1} = 4\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ b \ – \ \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \ – \ \sqrt{25}}{2. 1} = \ – \ 1\)

Do đó \(x^2 \ – \ 3x \ – \ 4 < 0\) khi \(\ – \ 1 < x < 4\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \((\ – \ 1; 4)\)

\(b)\) Ta có \(0 < 2x^2 \ – \ 11x \ – \ 6\) \(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 11x \ – \ 6 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 \ – \ 11x \ – \ 6\) có \(a = 2 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 11)^2 \ – \ 4. 2. (\ – \ 6) = 169 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ (\ – \ 11) + \sqrt{169}}{2. 2} = 6\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ (\ – \ 11) \ – \ \sqrt{169}}{2. 2} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\)

Do đó \(2x^2 \ – \ 11x \ – \ 6 > 0\) khi \(x < \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\) hay \(x > 6\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\right) \cup (6; +\infty)\).

\(c)\) Ta có: \(\ – \ 2(2x + 3)^2 + 4x + 30 \leq 0 \Leftrightarrow \ – \ 4x^2 \ – \ 10x + 6 \leq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 4x^2 \ – \ 10x + 6\) có \(a = \ – \ 4 < 0\) và \(\Delta = (\ – \ 10)^2 \ – \ 4. (\ – \ 4). 6 = 196 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{10 + \sqrt{196}}{2. (\ – \ 4)} = \ – \ 3\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{10 \ – \ \sqrt{196}}{2. (\ – \ 4)} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Do đó \(\ – \ 4x^2 \ – \ 10x + 6 \leq 0\) khi \(x \leq \ – \ 3\) hoặc \(x \geq \displaystyle \frac{1}{2}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S = (\ – \ \infty; \ – \ 3) \cup \left(\displaystyle \frac{1}{2}; +\infty \right)\).

\(d)\) Ta có \(\ – \ 3(x^2 \ – \ 4x \ – \ 1) \leq x^2 \ – \ 8x + 28\) \(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 20x + 25 \geq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 4x^2 \ – \ 20x + 25\) có \(a = 4 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 20)^2 \ – \ 4. 4. 25 = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{20}{2. 4} = \displaystyle \frac{5}{2}\)

Do đó \(4x^2 \ – \ 20x + 25 \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\mathbb{R}\)

\(e)\) Ta có \(2(x \ – \ 1)^2 \geq 3x^2 + 6x + 27\) \(\Leftrightarrow x^2 + 10x + 25 \leq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + 10x + 25\) có \(a = 1 > 0\) và có \(\Delta = 10^2 \ – \ 4. 1. 25 = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 10}{2. 1} = \ – \ 5\)

Do đó \(4x^2 \ – \ 20x + 25 \leq 0\) khi và chỉ khi \(x = \ – \ 5\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \{\ – \ 5\}\)

\(g)\) Ta có: \(2(x + 1)^2 + 9(\ – \ x + 2) < 0\) \(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 5x + 20 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 \ – \ 5x + 20\) có \(a = 2 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 5)^2 \ – \ 4. 2. 20 = \ – \ 135 < 0\) nên \(f(x) = 2x^2 \ – \ 5x + 20 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\)

Bài \(5\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sqrt{15x^2 + 8x \ – \ 12}\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{x \ – \ 1}{\sqrt{\ – \ 11x^2 + 30x \ – \ 16}}\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{x \ – \ 2} \ – \ \sqrt{\ – \ x^2 + 5x \ – \ 6}\);
\(d)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \ – \ \sqrt{6x^2 \ – \ 5x \ – \ 21}\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(15x^2 + 8x \ – \ 12 \geq 0\)

Xét tam thức \(15x^2 + 8x \ – \ 12\) có \(a = 15 > 0\) và có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. 15. (\ – \ 12) = 784\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 8 + \sqrt{784}}{2. 15} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ b \ – \ \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 8 \ – \ \sqrt{784}}{2. 15} = \displaystyle \frac{\ – \ 6}{5}\)

Do đó \(15x^2 + 8x \ – \ 12 \geq 0\) khi và chỉ khi \(x \leq \displaystyle \frac{\ – \ 6}{5}\) hoặc \(x \geq \displaystyle \frac{2}{3}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 6}{5}\right] \cup \left[\displaystyle \frac{2}{3}; +\infty \right)\)

\(b)\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\ – \ 11x^2 + 30x \ – \ 16 > 0\)

Xét tam thức \(f(x) = \ – \ 11x^2 + 30x \ – \ 16\) có \(a = \ – \ 11 < 0\) và có \(\Delta = 30^2 \ – \ 4. (\ – \ 11). (\ – \ 16) = 196\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 30 + \sqrt{196}}{2. (\ – \ 11)} = \displaystyle \frac{8}{11}\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ b \ – \ \sqrt{\Delta}}{2a} = 2\)

Do đó \(\ – \ 11x^2 + 30x \ – \ 16 > 0\) khi và chỉ khi \(\displaystyle \frac{8}{11} < x < 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left(\displaystyle \frac{8}{11}; 2\right)\)

\(c)\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x \ – \ 2 \neq 0\\\ – \ x^2 + 5x \ – \ 6 \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ x^2 + 5x \ – \ 6\) có \(a = \ – \ 1 < 0\) và có \(\Delta = 5^2 \ – \ 4. (\ – \ 1). (\ – \ 6) = 1 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 2\)

\(x_2 = 3\)

Do đó \(\ – \ x^2 + 5x \ – \ 6 \geq 0\) khi và chỉ khi \(2 \leq x \leq 3\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ – \ 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\)

Suy ra \(2 < x \leq 3\)

Vậy tập xác định của hàm số là \((2; 3]\).

\(d)\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 2x + 1 > 0\\6x^2 \ – \ 5x \ – \ 21 \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 6x^2 \ – \ 5x \ – \ 21\) có \(a = 6 > 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 5)^2 \ – \ 4. 6. (\ – \ 21) = 529 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{5 + \sqrt{529}}{2. 6} = \displaystyle \frac{7}{3}\)

\(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ b \ – \ \sqrt{\Delta}}{2a} = \displaystyle \frac{5 \ – \ \sqrt{529}}{2. 6} = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\)

Do đó \(6x^2 \ – \ 5x \ – \ 21 \geq 0\) khi \(\begin{equation} \left[\begin{array}{II}x \geq \displaystyle \frac{7}{3}\\x \leq \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)

Kết hợp với điều kiện \(2x + 1 >0 \Leftrightarrow x > \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\)

Suy ra \(x \geq \displaystyle \frac{7}{3}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left[\displaystyle \frac{7}{3}; +\infty\right)\).

\(\)

Bài \(6\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để:
\(a)\) \(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \((m^2 \ – \ 1)x^2 + 2mx \ – \ 15 \leq 0\);
\(b)\) \(x = \ – \ 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(mx^2 \ – \ 2x + 1 > 0\);
\(c)\) \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\) là một nghiệm của bất phương trình \(4x^2 + 2mx \ – \ 5m \leq 0\);
\(d)\) \(x = \ – \ 2\) là một nghiệm của bất phương trình \((2m \ – \ 3)x^2 \ – \ (m^2 + 1)x \geq 0\);
\(e)\) \(x = m + 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x^2 + 2mx \ – \ m^2 \ – \ 2 < 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(x = 3\) là nghiệm của bất phương trình\(m^2 \ – \ 1)x^2 + 2mx \ – \ 15 \leq 0\) khi và chỉ khi:

\((m^2 \ – \ 1). 3^2 + 2m. 3 \ – \ 15 \leq 0 \Leftrightarrow 9m^2 + 6m \ – \ 24 \leq 0\)

Xét tam thức \(9m^2 + 6m \ – \ 24\) có \(a = 9 > 0\) và có \(\Delta = 6^2 \ – \ 4. 9. (\ – \ 24) = 900 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt là:

\(m_1 = \displaystyle \frac{4}{3}, m_2 = \ – \ 2\)

Do đó \(9m^2 + 6m \ – \ 24 \leq 0\) khi và chỉ khi \(\ – \ 2 \leq m \leq \displaystyle \frac{4}{3}\)

Vậy \(m \in \left[\ – \ 2; \displaystyle \frac{4}{3}\right]\)

\(b)\) \(x = \ – \ 1\) là nghiệm của bất phương trình\(m^2 \ – \ 2x + 1 > 0\) khi và chỉ khi:

\((m (\ – \ 1)^2 \ – \ 2. (\ – \ 1) + 1 > 0 \Leftrightarrow m + 3 > 0\)

\(\Leftrightarrow m > \ – \ 3\)

Vậy \(m \in (\ – \ 3; +\infty)\).

\(c)\) \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\) là một nghiệm của bất phương trình \(4x^2 + 2mx \ – \ 5m \leq 0\) khi và chỉ khi:

\(4. \left(\displaystyle \frac{5}{2}\right)^2 + 2m. \displaystyle \frac{5}{2} \ – \ 5m \leq 0\)

\(\Leftrightarrow 25 \leq 0\) Vô lý

Vậy không có giá trị \(m\) thoả mãn yêu cầu.

\(d)\) \(x = \ – \ 2\) là một nghiệm của bất phương trình \((2m \ – \ 3)x^2 \ – \ (m^2 + 1)x \geq 0\) khi và chỉ khi:

\((2m \ – \ 3). (\ – \ 2)^2 \ – \ (m^2 + 1). (\ – \ 2) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2m^2 + 8m \ – \ 10 \geq 0\)

Xét tam thức \(2m^2 + 8m \ – \ 10\) có \(a = 2 > 0\) và có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. 2. (\ – \ 10) = 144 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt là:

\(m_1 = \ – \ 5, m_2 = 1\)

Do đó \(2m^2 + 8m \ – \ 10 \geq 0\) khi và chỉ khi \(m < \ – \ 5\) hoặc \(m > 1\)

Vậy \(m \in (\ – \ \infty; \ – \ 5) \cup (1; +\infty)\)

\(e)\) \(x = m + 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x^2 + 2mx \ – \ m^2 \ – \ 2 < 0\) khi và chỉ khi \(2. (m+1^2 + 2m. (m+1) \ – \ m^2 \ – \ 2 < 0\) hay \(3m^2 + 6m < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(m) = 3m^2 + 6m\) có \(a = 3 > 0\) và có \(\Delta = 6^2 – 4. 3. 0 = 36\) nên có hai nghiệm phân biệt \(m_1 = \ – \ 2, m_2 = 0\)

Do đó \(3m^2 + 6m < 0\) khi \(\ – \ 2 < m < 0\)

Vậy \(m \in (\ – \ 2; 0)\)

\(\)

Bài \(7\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì:
\(a)\) Phương trình \(4x^2 + 2(m \ – \ 2)x + m^2 = 0\) có nghiệm;
\(b)\) Phương trình \((m + 1)x^2 + 2mx \ – \ 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt;
\(c)\) Phương trình \(mx^2 + (m + 1)x + 3m + 10 = 0\) vô nghiệm;
\(d)\) Bất phương trình \(2x^2 + (m + 2)x + (2m \ – \ 4) \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\);
\(e)\) Bất phương trình \(\ – \ 3x^2 + 2mx + m^2 \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

Trả lời:

\(a)\) Phương trình \(4x^2 + 2(m \ – \ 2)x + m^2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta = [2.( m – 2 )]^2 \ – \ 4. 4. m^2 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 3m^2 \ – \ 4m + 4 \geq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(m) = \ – \ 3m^2 \ – \ 4m + 4\) có \(a = \ – \ 3 < 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). 4 = 64 > 0\) nên \(f(m)\) có hai nghiệm phân biệt \(m_1 = \displaystyle \frac{2}{3}\) và \(m_2 = \ – \ 2\)

Do đó \(\ – \ 3m^2 \ – \ 4m + 4 \geq 0\) khi và chỉ khi \(\ – \ 2 \leq m \leq \displaystyle \frac{2}{3}\)

Vậy \(m \in \left[\ – \ 2; \displaystyle \frac{2}{3}\right]\)

\(b)\) Phương trình \((m + 1)x^2 + 2mx \ – \ 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m + 1 \neq 0\\ \Delta = (2m)^2 \ – \ 4. (m + 1). (\ – \ 4) > 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m \neq \ – \ 1 \\ \Delta = m^2 + 4m + 4 > 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta có: \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 > 0\) với mọi \(m \neq \ – \ 2\)

Kết hợp lại ta được \(m \neq \ – \ 2\) và \(n \neq \ – \ 1\)

Vậy \(m \in \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 2; \ – \ 1\}\).

\(c)\) Xét \(m = 0\) ta có phương trình đã cho trở thành \(x + 10 = 0\) nên phương trình có nghiệm \(x = \ – \ 10\) không thoả mãn

Xét \(m \neq 0\): Phương trình \(mx^2 + (m + 1)x + 3m + 10 = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta < 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 1)^2 \ – \ 4. m. (3m + 10) < 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 11m^2 \ – \ 38m + 1 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(m) = \ – \ 11m^2 \ – \ 38m + 1\) có \(a = \ – \ 11 < 0\) và có \(\Delta = (\ – \ 38)^2 \ – \ 4. (\ – \ 11). 1 = 1488 > 0\) nên \(f(m)\) có hai nghiệm phân biệt \(m_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 19 + 2\sqrt{93}}{11}\) và \(m_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 19 \ – \ 2\sqrt{93}}{11}\)

Do đó \(\ – \ 11m^2 \ – \ 38m + 1 < 0\) khi và chỉ khi \(m < \displaystyle \frac{\ – \ 19 \ – \ 2\sqrt{93}}{11}\) hoặc \(m > \displaystyle \frac{\ – \ 19 + 2\sqrt{93}}{11}\)

Vậy \(m \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 19 \ – \ 2\sqrt{93}}{11}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{\ – \ 19 + 2\sqrt{93}}{11}; +\infty\right)\).

\(d)\) Bất phương trình \(2x^2 + (m + 2)x + (2m \ – \ 4) \geq 0\) có \(a = 2 > 0\) nên có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta \leq 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 2)^2 \ – \ 4. 2 (2m \ – \ 4) \leq 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 \ – \ 12m + 36 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow (m \ – \ 6)^2 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow m = 6\)

Vậy \(m = 6\)

\(e)\) Bất phương trình \(\ – \ 3x^2 + 2mx + m^2 \geq 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}a = \ – \ 3 > 0\\\Delta \leq 0 \end{array} \right. \end{equation}\) Vô lý.

Vậy không tồn tại giá trị của \(m\) thoả mãn.

\(\)

Bài \(8\). Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán \(x\) sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:
\(I(x) = \ – \ 0,1x^2 + 235x \ – \ 70000\),
với \(I\) được tính bằng nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Trả lời:

Cửa hàng có lãi khi và chỉ khi \(I(x) > 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 0,1 x^2 + 235x \ – \ 70000 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(\ – \ 0,1 x^2 + 235x \ – \ 70000\)  có \(a = \ – \ 0,1 < 0\) và có \(\Delta = 235^2 \ – \ 4. (\ – \ 0,1). (\ – \ 70000) = 27225 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt là \(x_ 1 = 2000, x_2 = 350\)

Do đó \(\ – \ 0,1 x^2 + 235x \ – \ 70000 > 0\) khi và chỉ khi \(350 < x < 2000\)

Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra từ \(351\) đến \(1999\) thì cửa hàng trên có lãi.

\(\)

Bài \(9\). Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao \(h_0 (m)\) với vận tốc \(v_0 (m/s)\). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau \(t (s)\) được cho bởi hàm số \(h(t) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0\) với \(g = 10 m/s^2\) là gia tốc trọng trường.
\(a)\) Tính \(h_0\) và \(v_0\) biết độ cao của quả bóng sau \(0,5\) giây và \(1\) giây lần lượt là \(4,75 m\) và \(5 m\).
\(b)\) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên \(4 m\) không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?
\(c)\) Cũng ném từ độ cao \(h_0\) như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau \(1\) giây trong khoảng từ (2 m\) đến \(3 m\) thì vận tốc ném bóng \(v_0\) cần là bao nhiêu?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Với \(g = 10 m/s^2\) ta được:

\(h(t) = \ – \ 5t^2 + v_0t + h_0\)

\(a)\) Độ cao quả bóng sau \(0,5\) giây là \(4,75 m\) nên ta có:

\(4,75 = (\ – \ 5). 0,5^2 + v_0. 0,5 + h_0\) hay \(0,5v_0 + h_0 = 6\) \((1)\)

Độ cao của quả bóng sau \(1\) giây là \(5 m\) nên ta có:

\(5 = (\ – \ 5). 1^2 + v_0. 1 + h_0\) hay \(v_0 + h_0 = 10\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra \(v_0 = 8, h_0 = 2\)

Vậy \(h(t) = \ – \ 5t^2 + 8t + 2\)

\(b)\) Bóng cao trên \(4m \) nên \(\ – \ 5t^2 + 8t + 2 > 4\) hay \(\ – \ 5t^2 + 8t \ – \ 2 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(t) = \ – \ 5t^2 + 8t \ – \ 2\) có \(a = \ – \ 5 < 0\) và có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. (\ – \ 5). (\ – \ 2) = 24 > 0\) nên \(f(t)\) có hai nghiệm phân biệt \(t_1 = \displaystyle \frac{4 + \sqrt{6}}{5}\) và \(t_2 = \displaystyle \frac{4 \ – \ \sqrt{6}}{5}\).

Do đó \(f(t) > 0\) khi và chỉ khi \( \displaystyle \frac{4 \ – \ \sqrt{6}}{5} < t < \displaystyle \frac{4 + \sqrt{6}}{5}\)

Khi đó, thời gian quả bóng đạt độ cao trên \(4 m\) là:

\(\displaystyle \frac{4 + \sqrt{6}}{5} \ – \ \displaystyle \frac{4 \ – \ \sqrt{6}}{5} \approx 0,98 (s)\)

Vậy quả bóng có thể đạt độ cao trên \(4 m\) trong khoảng thời gian dưới \(0,98\) giây.

\(c)\) Độ cao quả bóng sau \(1\) giây trong khoảng từ \(2 m\) đến \(3 m\) khi và chỉ khi:

\(2 < \ – \ 5 + v_0 + 2 < 3\)

\(\Leftrightarrow 5 < v_0 < 6\) (m/s)

Vậy vận tốc ném cần ném trong khoảng \(5 m/s\) đến \(6 m/s\).

\(\)

Bài \(10\). Từ độ cao \(y_0\) mét, một quả bóng được ném xiên lên một góc \(\alpha\) so với phương ngang với vận tốc đầu \(v_0\) có phương trình chuyển động
\(y = \displaystyle \frac{\ – \ g}{2v_0^2 \cos{\alpha}^2} x^2 + \tan{\alpha} x + y_0\) với \(g = 10 m/s^2\).
\(a)\) Viết phương trình chuyển động của quả bóng nếu \(\alpha = 30^o, y_0 = 2m\) và \(v_0 = 7 m/s\).
\(b)\) Để ném được quả bóng qua bức tường cao \(2,5 m\) thì nguời ném phải đứng cách tường bao xa?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

\(a)\) Thay \(\alpha = 30^o, y_0 = 2m\) và \(v_0 = 7 m/s\) vào phương trình chuyển động ta được:

\(y = \displaystyle \frac{\ – \ 10}{2. 7^2. \cos{30^o}^2} + \tan{30^o}. x + 2\)

\(\Leftrightarrow y = \ – \ 0,14x^2 + 0,58x + 2\)

Vậy phương trình chuyển động là \(y = \ – \ 0,14x^2 + 0,58x + 2\)

\(b)\) Với \(x\) là khoảng cách từ người ném đến tường thì bóng được ném qua tường khi và chỉ khi \(y(x) > 2,5\) hay \(\ – \ 0,14x^2 + 0,58x + 2 > 2,5\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 0,14x^2 + 0,58x \ – \ 0,5 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 0,14x^2 + 0,58x \ – \ 0,5\) có \(a = \ – \ 0,14 < 0\) và có \(\Delta = 0,58^2 \ – \ 4. (\ – \ 0,14). (\ – \ 0,5) = 0,0564 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 2,92; x_2 = 1,22\)

Do đó \(\ – \ 0,14x^2 + 0,58x \ – \ 0,5 > 0\) khi và chỉ khi \(1,22 < x < 2,92\)

Vậy người ném bóng cần phải đứng cách tường một khoảng từ trên \(1,22 m\) đến dưới \(2,92 m\).

\(\)

Bài \(11\). Một hình chữ nhật có chu vi bằng \(20 cm\). Để diện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng \(15 cm^2\) thì chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi \(x (cm)\) là chiều rộng hình chữ nhật.

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là \(\displaystyle \frac{20}{2} \ – \ x\) hay \(10 \ – \ x (cm)\)

Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đều lớn hơn \(0\) và chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài, ta có:

\(0 < x \leq 10 \ – \ x\) hay \(0 < x \leq 5 (cm)\) \((1)\)

Diện tích của hình chữ nhật là \(S = x. (10 \ – \ x)\)

Diện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng \(15 cm^2\) nên \(x (10 \ – \ x) \geq 15\)

\(\Leftrightarrow \ – \ x^2 + 10x \ – \ 15 \geq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ x^2 + 10x \ – \ 15\) có \(a = \ – \ 1 < 0\) và có \(\Delta = 10^2 \ – \ 4. (\ – \ 1). (\ – \ 15) = 40 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 10 + \sqrt{40}}{2. (\ – \ 1)} = 5 \ – \ \sqrt{10}\)

\(x_2 = 5 + \sqrt{10}\)

Do đó \(f(x) \geq 0\) khi và chỉ khi \(5 \ – \ \sqrt{10} \leq x \leq 5 + \sqrt{10}\)

Kết hợp với điều kiện ở \((1)\) ta được:

\(5 \ – \ \sqrt{10} \leq x \leq 5\)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật cần tìm nằm trong khoảng \(5 \ – \ \sqrt{10} cm\) đến \(5 cm\).

\(\)

Bài \(12\). Thiết kế của một chiếc cổng có hình parabol với chiều cao \(5m\) và khoảng cách giứa hai chân cổng là \(4 m\).
\(a)\) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc toạ độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là \(1 m\). Hãy viết phương trình của vòm cổng.
\(b)\) Người ta cần chuyển một thùng hàng hình hộp chữ nhật với chiều cao \(3 m\). Chiều rộng của thùng hàng tối đa là bao nhiêu để thùng có thể chuyển lọt qua được cổng?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

\(a)\) Giả sử phương trình mô tả cổng có dạng \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\).

Khi đó gốc tọa độ đặt tại chân cổng nên ta có:

\(0 = a. 0^2 + b. 0 + c \Leftrightarrow c = 0\)

Chân cổng còn lại có hoành độ bằng khoảng cách hai chân cổng là \(4 m\) nên ta có:

\(0 = a. 4^2 + b. 4 + c\). Mà \(c = 0\) suy ra:

\(4a^2 + 4b = 0\) \((1)\)

Đỉnh cổng có tọa độ \((2; 5)\) nên ta có:

\(5 = a. 2^2 + b. 2 \Leftrightarrow 4a^2 + 2b = 5\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(a = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}, b = 5\)

Vậy phương trình vòm cổng cần tìm là \(y = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}x^2 + 5x\).

\(b)\) Ta cần xác định các hoành độ \(x\) mà tại đó vòm cổng cao hơn thùng hàng nên ta có bất phương trình sau: \( y = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}x^2 + 5x \geq 3\) hay \(\displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}x^2 + 5x \ – \ 3 \geq 0\).

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}x^2 + 5x \ – \ 3\) có \(\Delta = 5^2 \ – \ 4. \displaystyle \frac{\ – \ 5}{4}. (\ – \ 3) = 10 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt:

\( x_1 = 0,74\) và \(x_2 = 3,26\).

Do đó, \(f(x) \geq 0\) khi và chỉ khi \(0,74 \leq x \leq 3,26\).

Vậy chiều rộng tối đa của thùng hàng là \(3,26 \ – \ 0,74 = 2,52 m\) thì thùng hàng có thể chuyển lọt qua cổng.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 1 – Dấu của tam thức bậc hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Phương trình quy về phương trình bậc hai
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech