Chương 3 – Bài 2. Tứ giác trang 56 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
1. Tìm tứ giác lồi trong các hình sau:
Giải
a) Tứ giác ABCD luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác nên ABCD là tứ giác lồi.
b) Đường thẳng đi qua cạnh NQ của tứ giác MNPQ chia tứ giác thành hai phần nên MNPQ không phải là tứ giác lồi.
\(\)
2. Tìm số đo x trong các tứ giác sau:
Giải
Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng \(360^o\) nên ta có:
a) \(x = 360^o-47^o-86^o-128^o = 99^o.\)
b) \(x = 360^o-90^o-90^o-67^o = 113^o.\)
c) \(x = 360^o-34^o-146^o-34^o = 146^o.\)
\(\)
3. Cho tứ giác ABCD như Hình 12.
a) Tính độ dài hai đường chéo và cạnh còn lại của tứ giác ABCD.
b) Cho biết góc B bằng 53°. Tìm số đo góc C.
Giải
a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABD vuông tại A có:
\(BD^2 = AD^2 + AB^2 = 4^2 + 10^2 = 116.\) Suy ra \(BD=\sqrt{116}.\)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:
\(AC^2 = AD^2 + DC^2 = 4^2 + 7^2 = 65.\) Suy ra \(AC=\sqrt{65}.\)
Kẻ CE ⊥ AB, mà AD ⊥ AB nên CE // AD.
Suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{ACE}\) (hai góc so le trong).
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại D và \(\Delta CEA\) vuông tại E, ta có:
AC là cạnh chung; \(\widehat{DAC}=\widehat{ACE}.\)
Do đó \(\Delta ADC = \Delta CEA\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(CD = AE = 7,\ AD = CE = 4.\)
Ta có: \(BE = AB-AE = 10-7 = 3.\)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CBE vuông tại E có:
\(BC^2 = CE^2 + BE^2 = 3^2 + 4^2 = 25.\)
Suy ra \(BC=\sqrt{25}=5.\)
b) Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng \(360^o\) nên trong tứ giác ABCD có:
\(\widehat{C}=360^o-\widehat{A} -\widehat{B} -\widehat{D}\) \(=360^o-90^o-53^o-90^o=127^o.\)
\(\)
4. Bạn Hùng muốn làm một cái diều có dạng hình tứ giác KITE như Hình 13. Cho biết \(\widehat{KIT}=90^o,\ \widehat{KET}=70^o,\) IK = IT, EK = ET. Tìm số đo các góc còn lại của tứ giác KITE.
Giải
Xét \(\Delta KIE\) và \(\Delta TIE\) có:
IK = IT, EK = ET, IE là cạnh chung.
Suy ra \(\Delta KIE = \Delta TIE\) (c.c.c).
Do đó \(\widehat{IKE}=\widehat{ITE}\) (hai góc tương ứng).
Tứ giác KITE có: \(\widehat{IKE}=\widehat{ITE}+\widehat{KIT}=\widehat{KET}=360^o.\)
Suy ra \(\widehat{IKE}=\widehat{ITE}=\displaystyle\frac{360^o-\widehat{KIT}-\widehat{KET}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{360^o-90^o-70^o}{2}=100^o.\)
\(\)
5. Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{C}-\widehat{D}=10^o.\) Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Biết \(\widehat{AIB}=65^o.\) Tính số đo góc C và góc D.
Giải
Xét \(\Delta AIB,\) ta có: \(\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180^o\)
Mà \(\widehat{AIB}=65^o\) suy ra \(\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=115^o.\)
Do AI, BI lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{A},\ \widehat{B}\) nên \(\widehat{A}=2\widehat{IAB},\) \(\widehat{B}=2\widehat{IBA}.\)
Do đó \(\widehat{A} +\widehat{B} =2.(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})\) \(=2.115^o=230^o.\)
Xét tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)
Suy ra \(\widehat{C}+\widehat{D}=360^o-(\widehat{A} +\widehat{B})\) \(=360^o-230^o=130^o.\)
Mặt khác \(\widehat{C}-\widehat{D}=10^o\) nên \(\widehat{C}=10^o+\widehat{D}.\)
Do đó \(\widehat{C}+\widehat{D}=10^o+\widehat{D}+\widehat{D}=130^o.\)
Suy ra \(\widehat{D}=(130^o-10^o):2=60^o\) và \(\widehat{C}=60^o+10^o=70^o.\)
\(\)
6. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, \(\widehat{C}=65^o,\) \(\widehat{A} =115^o.\)
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính số đo góc B và góc D.
Giải
a) Ta có:
AB = AD (giả thiết), suy ra A thuộc đường trung trực của BD;
CB = CD (giả thiết), suy ra C thuộc đường trung trực của BD.
Vậy AC là đường trung trực của BD.
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC,\) ta có:
AB = AD (giả thiết); BC = DC (giả thiết); AC là cạnh chung.
Suy ra \(\Delta ABC= \Delta ADC\) (c.c.c).
Do đó \(\widehat{B} =\widehat{D}\) (hai góc tương ứng)
Xét tứ giác ABCD, ta có \(\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C}+\widehat{D}=360^o.\)
Suy ra \(115^o+\widehat{B} +65^o+\widehat{D}=360^o\)
Hay \(\widehat{B} +\widehat{D}=360^o-115^o-65^o=180^o.\)
Mà \(\widehat{B} =\widehat{D}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat{B} =\widehat{D}=180^o:2=90^o.\)
\(\)
7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I. Cho biết BC = 15 cm, CD = 24 cm và AD = 20 cm. Tính độ dài AB.
Giải
Áp dụng định lí Pythagore vào bốn tam giác AIB, BIC, CID, DIA vuông tại I, ta có:
\(AB^2 + CD^2 = IA^2 + IB^2 + IC^2 + ID^2\)
\(AB^2 + CD^2 = (IB^2 + IC^2) + (IA^2 + ID^2)\)
\(AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2\)
\(AB^2 + 24^2 = 15^2 + 20^2\)
\(AB^2 = 49\)
Suy ra \(AB=\sqrt{49}=7\ (cm).\)
\(\)
8. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.
Giải
Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\(IA + IB > AB;\)
\(IB + IC > BC;\)
\(IC + ID > CD;\)
\(IA + ID > AD.\)
Suy ra \(2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA\)
Hay \(2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA\)
Vậy \(AC+BD > \displaystyle\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1. Định lí Pythagore
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3. Hình thang – Hình thang cân
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
