Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Chương 2 – Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số trang 39 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

14. Thực hiện phép tính:

a) \(\displaystyle\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right);\)

b) \(-\displaystyle\frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right);\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2}}}{{{x^2}}}.\displaystyle\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}};\)

d) \(\displaystyle\frac{{x + 3}}{{{x^2}-1}}.\displaystyle\frac{{1-3x + 3{x^2}-{x^3}}}{{9x + 27}}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right)\) \(= \displaystyle\frac{{12{y^3}.2{y^2}}}{{7{x^2}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{7x.7}}{{12{y^3}}}} \right) = -\displaystyle\frac{{14{y^2}}}{x}.\)

b) \(-\displaystyle\frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right)\) \(=-\displaystyle\frac{{9{y^3}.4}}{{15{x^2}.{x^2}}}.\left( {-\displaystyle\frac{{15{x^2}.3}}{{9{y^3}}}} \right) = \displaystyle\frac{{12}}{{{x^2}}}.\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2}}}{{{x^2}}}.\displaystyle\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) \(= \displaystyle\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x-y} \right)}}{{{x^2}}}.\displaystyle\frac{{{x^2}.{x^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) \(= \displaystyle\frac{{{x^2}\left( {x-y} \right)}}{{x + y}}.\)

d) \(\displaystyle\frac{{x + 3}}{{{x^2}-1}}.\displaystyle\frac{{1-3x + 3{x^2}-{x^3}}}{{9x + 27}}\) \(= \displaystyle\frac{{x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right)}}.\displaystyle\frac{{-{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{9\left( {x + 3} \right)}}\) \(= -\displaystyle\frac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{{9\left( {x + 1} \right)}}.\)

\(\)

15. Thực hiện phép tính:

a) \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}:\displaystyle\frac{x + 1}{{x-1}};\)

b) \(\displaystyle\frac{{x + y}}{{2x-y}}:\displaystyle\frac{1}{{x-y}};\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right);\)

d) \(\displaystyle\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2}-2x + 1}}:\displaystyle\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1-{x^2}}}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}:\displaystyle\frac{x + 1}{{x-1}}\) \( = \displaystyle\frac{1}{{{x^2}-x + 1}}.\displaystyle\frac{{x-1}}{{x + 1}} = \displaystyle\frac{{x-1}}{{{x^3} + 1}}.\)

b) \(\displaystyle\frac{{x + y}}{{2x-y}}:\displaystyle\frac{1}{{x-y}}\) \(= \displaystyle\frac{{x + y}}{{2x-y}}.\displaystyle\frac{{x-y}}{1} = \displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2}}}{{2x-y}}.\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) \(= \displaystyle\frac{{xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^4}y}}.\displaystyle\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} = \displaystyle\frac{1}{{{x^3}}}.\)

d) \(\displaystyle\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2}-2x + 1}}:\displaystyle\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1-{x^2}}}\) \(= \displaystyle\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-2x + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}.\displaystyle\frac{{-\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \(= -\displaystyle\frac{{{x^2}-2x + 4}}{{x-1}}.\)

\(\)

16. Tính một cách hợp lí:

a) \(\displaystyle\frac{{39x + 7}}{{x-2020}}.\displaystyle\frac{{9x-20}}{{x + 2022}}-\displaystyle\frac{{39x + 7}}{{x-2020}}.\displaystyle\frac{{8x-2042}}{{x + 2022}};\)

b) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x-9}} + \displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right);\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-1}}{{x + 100}}.\displaystyle\frac{{2x}}{{x + 2}} + \displaystyle\frac{{1-{x^2}}}{{x + 100}}.\displaystyle\frac{{x-100}}{{x + 2}}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{{39x + 7}}{{x-2020}}.\displaystyle\frac{{9x-20}}{{x + 2022}}-\displaystyle\frac{{39x + 7}}{{x-2020}}.\displaystyle\frac{{8x-2042}}{{x + 2022}}\)

\( = \displaystyle\frac{{39 + 7}}{{x-2020}}.\left( {\displaystyle\frac{{9x-20}}{{x + 2022}}-\displaystyle\frac{{8x-2042}}{{x + 2022}}} \right)\)

\( = \displaystyle\frac{{39 + 7}}{{x-2020}}.\displaystyle\frac{{x + 2022}}{{x + 2022}}\)

\( = \displaystyle\frac{{39 + 7}}{{x-2020}}.\)

b) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x-9}} + \displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right)\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {x-9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}}.\displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x-9}} + \displaystyle\frac{{\left( {x-9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}}.\displaystyle\frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}\)

\( = x + 9 + x-9 = 2x.\)

c) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-1}}{{x + 100}}.\displaystyle\frac{{2x}}{{x + 2}} + \displaystyle\frac{{1-{x^2}}}{{x + 100}}.\displaystyle\frac{{x-100}}{{x + 2}}\)

\( = \displaystyle\frac{{{x^2}-1}}{{x + 100}}\left( {\displaystyle\frac{{2x}}{{x + 2}}-\displaystyle\frac{{x-100}}{{x + 2}}} \right)\)

\( = \displaystyle\frac{{{x^2}-1}}{{x + 100}}.\displaystyle\frac{{x + 100}}{{x + 2}}\)

\( = \displaystyle\frac{{{x^2}-1}}{{x + 2}}.\)

\(\)

17. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(M = \displaystyle\frac{{x-2y}}{{3x + 6y}}:\displaystyle\frac{{{x^2}-4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}};\)

b) \(N = \left( {x-\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{1}{y} + \displaystyle\frac{2}{{x-y}}} \right);\)

c) \(P = \left( {\displaystyle\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}}-xy} \right):\left( {{x^2}-{y^2}} \right) + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}.\)

Giải

a) Rút gọn biểu thức \(M\) ta có:

\(M = \displaystyle\frac{{x-2y}}{{3x + 6y}}:\displaystyle\frac{{{x^2}-4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)

\( = \displaystyle\frac{{x-2y}}{{3x + 6y}}.\displaystyle\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2}-4{y^2}}}\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {x-2y} \right).{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2y} \right).\left( {x-2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\)

\( = \displaystyle\frac{1}{3}.\)

Ta thấy \(M = \displaystyle\frac{1}{3}\) vậy giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Rút gọn biểu thức \(N\) ta có:

\(N = \left( {x-\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{1}{y} + \displaystyle\frac{2}{{x-y}}} \right)\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}-\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{x-y}}{{y\left( {x-y} \right)}} + \displaystyle\frac{{2y}}{{y\left( {x-y} \right)}}} \right)\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + xy-{x^2}-{y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{x-y + 2y}}{{y\left( {x-y} \right)}}} \right)\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{xy-{y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{x + y}}{{y\left( {x-y} \right)}}} \right)\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{y\left( {x-y} \right)}}{{x + y}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{x + y}}{{y\left( {x-y} \right)}}} \right)\)

\( = 1.\)

Ta thấy \(N = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Rút gọn biểu thức \(P\) ta có:

\(P = \left( {\displaystyle\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}}-xy} \right):\left( {{x^2}-{y^2}} \right) + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2}-xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}}-xy} \right):\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right) + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \left( {{x^2}-xy + {y^2}-xy} \right):\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right) + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}-2xy}}{{\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \displaystyle\frac{{{{\left( {x-y} \right)}^2}}}{{\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \displaystyle\frac{{x-y}}{{x + y}} + \displaystyle\frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \displaystyle\frac{{x + y}}{{x + y}} = 1.\)

Ta thấy \(P = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

\(\)

18. Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của máy bay thứ nhất (x>0). Viết phân thức biểu thị theo x.

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay.

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay.

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Giải

a) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ nhất đã bay là: \(\displaystyle\frac{600}{x}\) (giờ).

b) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ hai đã bay là: \(\displaystyle\frac{600}{x + 300}\) (giờ).

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là:

\(\displaystyle\frac{600}{x}.\displaystyle\frac{600}{x + 300} = \displaystyle\frac{600}{x}.\displaystyle\frac{x + 300}{600} = \displaystyle\frac{x + 300}{x}.\)

Vậy phân thức biểu thị tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: \(\displaystyle\frac{{x + 300}}{x}.\)

\(\)

19. Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với x > y > 4, bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo x; y.