Bài tập cuối chương 2

Bài tập cuối chương 2 trang 41 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

20. Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{1}{x-3}\) là:

A. \(x-3 > 0.\)

B. \(x-3 < 0.\)

C. \(x-3 \ne 0.\)

D. \(x-3 = 0.\)

Giải

Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{1}{{x-3}}\) là: \(x-3 \ne 0.\)

Chọn đáp án C.

\(\)

21. Giá trị của biểu thức \(M = \displaystyle\frac{1}{{3 + x}} + \displaystyle\frac{1}{{3-x}}\) tại \(x = 0,5\) là:

A. \(\displaystyle\frac{22}{37}.\)

B. \(\displaystyle\frac{22}{35}.\)

C. \(\displaystyle\frac{24}{35}.\)

D. \(\displaystyle\frac{24}{37}.\)

Giải

Giá trị của biểu thức \(M\) tại \(x = 0,5\) là: \(\displaystyle\frac{1}{{3 + 0,5}} + \displaystyle\frac{1}{{3-0,5}} = \displaystyle\frac{{24}}{{35}}.\)

Chọn đáp án C.

\(\)

22. Thương của phép chia phân thức \(\displaystyle\frac{y^3-x^3}{6x^3y}\) cho phân thức \(\displaystyle\frac{x^2 + xy + y^2}{2xy}\) là:

A. \(\displaystyle\frac{{y-x}}{{3x}}.\)

B. \(\displaystyle\frac{{x-y}}{{3{x^2}}}.\)

C. \(\displaystyle\frac{{x-y}}{{3x}}.\)

D. \(\displaystyle\frac{{y-x}}{{3{x^2}}}.\)

Giải

\(\displaystyle\frac{{{y^3}-{x^3}}}{{6{x^3}y}}:\displaystyle\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {y-x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)}}{{2xy.3{x^2}}}.\displaystyle\frac{{2xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\)

\( = \displaystyle\frac{{y-x}}{{3{x^2}}}.\)

Chọn đáp án D.

\(\)

23. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}-{y^2}}}-1} \right).\displaystyle\frac{{x-y}}{{2y}}\) tại \(x = 5;\ y = 7;\)

b) \(B = \displaystyle\frac{{2x + y}}{{2{x^2}-xy}} + \displaystyle\frac{{8y}}{{{y^2}-4{x^2}}} + \displaystyle\frac{{2x-y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x =-\displaystyle\frac{1}{2};\ y = \displaystyle\frac{3}{2};\)

c) \(C = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2}}}{y}-\displaystyle\frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \displaystyle\frac{1}{{x-y}}} \right)-\displaystyle\frac{x}{y}\) tại \(x = -15;\ y = 5.\)

Giải

a) \(A = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}-{y^2}}}-1} \right).\displaystyle\frac{{x-y}}{{2y}}\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + {y^2}-{x^2} + {y^2}}}{{\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \right).\displaystyle\frac{{x-y}}{{2y}}\)

\( = \displaystyle\frac{{2{y^2}}}{{\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\displaystyle\frac{{x-y}}{{2y}} = \displaystyle\frac{y}{{x + y}}.\)

Giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 5;\ y = 7\) là: \(\displaystyle\frac{7}{{5 + 7}} = \displaystyle\frac{7}{{12}}.\)

b) \(B = \displaystyle\frac{{2x + y}}{{2{x^2}-xy}} + \displaystyle\frac{{8y}}{{{y^2}-4{x^2}}} + \displaystyle\frac{{2x-y}}{{2{x^2} + xy}}\)

\( = \displaystyle\frac{{2x + y}}{{x\left( {2x-y} \right)}}-\displaystyle\frac{{8y}}{{{{\left( {2x} \right)}^2}-{y^2}}} + \displaystyle\frac{{2x-y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x-y} \right)\left( {2x + y} \right)}}-\displaystyle\frac{{8xy}}{{x\left( {2x-y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \displaystyle\frac{{\left( {2x-y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x-y} \right)}}\)

\( = \displaystyle\frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2}-8xy + {{\left( {2x-y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x-y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \displaystyle\frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2}-8xy + 4{x^2}-4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x-y} \right)}}\)

\( = \displaystyle\frac{{8{x^2}-8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x-y} \right)}} = \displaystyle\frac{{2{{\left( {2x-y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x-y} \right)}} = \displaystyle\frac{{2\left( {2x-y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}.\)

Giá trị của biểu thức\(B\) tại \(x = -\displaystyle\frac{1}{2};\ y = \displaystyle\frac{3}{2}\) là: \(\displaystyle\frac{{2\left( {2.-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}} \right)}}{{-\displaystyle\frac{1}{2}\left( {2.\displaystyle\frac{{-1}}{2} + \displaystyle\frac{3}{2}} \right)}} = 20.\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{{x^3}-{y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x-y} \right) + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x-y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right)-\displaystyle\frac{x}{y}\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{{x^3}-{y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3}-{y^3}}}} \right)-\displaystyle\frac{x}{y}\)

\( = \displaystyle\frac{{{x^3}-{y^3}}}{{xy}}.\displaystyle\frac{{2{x^2} + xy}}{{{x^3}-{y^3}}}-\displaystyle\frac{x}{y}\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {{x^3}-{y^3}} \right).x.\left( {2x + y} \right)}}{{xy.\left( {{x^3}-{y^3}} \right)}}-\displaystyle\frac{x}{y}\)

\( = \displaystyle\frac{{2x + y}}{y}-\displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{{x + y}}{y}.\)

Giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = -15;\ y = 5\) là: \(\displaystyle\frac{{-15 + 5}}{5} = 2.\)

\(\)

24. Cho biểu thức \(D = \left( {\displaystyle\frac{{x + 2}}{{3x}} + \displaystyle\frac{2}{{x + 1}}-3} \right):\displaystyle\frac{{2-4x}}{{x + 1}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.

b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5947.

c) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.

Giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x ≠ 0;\ x≠-1;\ x≠\displaystyle\frac{1}{2}.\)

\(D = \left( {\displaystyle\frac{{x + 2}}{{3x}} + \displaystyle\frac{2}{{x + 1}}-3} \right):\displaystyle\frac{{2-4x}}{{x + 1}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x-3.3x.\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}} \right).\displaystyle\frac{{x + 1}}{{2-4x}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + 3x + 2 + 6x-9{x^2}-9x}}{{3x\left( {2-4x} \right)}}} \right)-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \displaystyle\frac{{-8{x^2} + 2}}{{3x\left( {2-4x} \right)}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \displaystyle\frac{{-2\left( {2x-1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{6x\left( {1-2x} \right)}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \displaystyle\frac{{2x + 1}}{{3x}}-\displaystyle\frac{{3x-{x^2} + 1}}{{3x}} = \displaystyle\frac{{{x^2}-x}}{{3x}} = \displaystyle\frac{{x-1}}{3}.\)

Giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 5947\) là: \(\displaystyle\frac{{5947-1}}{3} = 1982.\)

c) Để \(D\) nhận giá trị nguyên thì \(\displaystyle\frac{{x-1}}{3}\) phải nhận giá trị nguyên. Suy ra \(x-1\ \vdots\ 3\), tức là \(x-1 = 3k\) hay \(x = 3k + 1\) với \(k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

\(\)

25. Cho biểu thức \(S = \displaystyle\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1-\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)-\displaystyle\frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}.\)

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.

Giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \(x \ne 0;\ x \ne -2.\)

\(S = \displaystyle\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1-\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)-\displaystyle\frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \displaystyle\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\displaystyle\frac{{x + 2-{x^2}}}{{x + 2}}-\displaystyle\frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \displaystyle\frac{{\left( {x + 2} \right).\left( {-{x^2} + x + 2} \right)}}{x}-\displaystyle\frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \displaystyle\frac{{-{x^3} + {x^2} + 2x-2{x^2} + 2x + 4-{x^2}-6x-4}}{x}\)

\( = \displaystyle\frac{{-{x^3}-2{x^2}-2x}}{x} = -{x^2}-2x-2.\)

Giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\) là: \(-0,{1^2}-2.0,1-2 = -2,21.\)

b) Ta có: \(S = -{x^2}-2x-2 = -\left( {{x^2}-2x + 1} \right)-1 = -{\left( {x-1} \right)^2}-1.\)

Suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(-{\left( {x-1} \right)^2}-1\) đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi \(x\), ta có \({\left( {x-1} \right)^2} ≥ 0\) hay \(-{\left( {x-1} \right)^2}-1 ≤-1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là \(-1\) khi \(\left( {x-1} \right) = 0\) hay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

\(\)

26. Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x.

a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B.

b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C.

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.

Giải

a) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi xuôi dòng là: \(x+4\) (km/h).

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B là: \(\displaystyle\frac{24}{x+4}\) (giờ).

b) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi ngược dòng là: \(x-4\) (km/h).

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là: \(\displaystyle\frac{16}{x-4}\) (giờ).

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là:

\(\displaystyle\frac{24}{x+4}+\displaystyle\frac{16}{x-4}=\displaystyle\frac{24(x-4)+16(x+4)}{x^2-16}\) \(=\displaystyle\frac{24x-96+16x+64}{x^2-16}=\displaystyle\frac{4x-32}{x^2-16.}\)

\(\)

27. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ N*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x.

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế.

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thức tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

Giải

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: \(\displaystyle\frac{600}{x}\) (giờ).

b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế là: \(\displaystyle\frac{600}{x+20}\) (giờ).

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là:

\(\displaystyle\frac{600}{x+2}:\displaystyle\frac{600}{x}=\displaystyle\frac{600}{x+2}.\displaystyle\frac{x}{600}=\displaystyle\frac{x}{x+20}.\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Xem bài giải tiếp theo: Bài 1. Hàm số

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều